Номер 2.12, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.12, страница 56.

Условие.

2.12 Вычислите:

а) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} $;

б) $ \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin \frac{x}{3}}{x} $;

в) $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления данного предела воспользуемся первым замечательным пределом, который имеет вид: $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

В нашем случае выражение $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}$ полностью соответствует форме первого замечательного предела, если сделать замену переменной.

Пусть $u = 2x$. Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), то и $u$ также стремится к нулю ($u \to 0$).

Выполнив замену, получаем:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Ответ: 1

б) Для вычисления предела $\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin \frac{x}{3}}{x}$ необходимо преобразовать выражение так, чтобы можно было применить первый замечательный предел.

Вынесем константу 3 за знак предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin \frac{x}{3}}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{3}}{x}$.

Аргумент синуса равен $\frac{x}{3}$. Чтобы в знаменателе получить такое же выражение, умножим и разделим знаменатель на 3:

$3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{3}}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{3}}{3 \cdot \frac{x}{3}}$.

Вынесем константу $\frac{1}{3}$ из знаменателя за знак предела:

$3 \cdot \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}} = 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{3}}{\frac{x}{3}}$.

Теперь сделаем замену переменной. Пусть $u = \frac{x}{3}$. Когда $x \to 0$, то и $u \to 0$. Предел принимает вид:

$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Следовательно, исходный предел равен 1.

Ответ: 1

в) Данный предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x}$ также вычисляется с помощью первого замечательного предела: $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Здесь аргументом синуса и выражением в знаменателе является $\pi x$. Сделаем замену переменной.

Пусть $u = \pi x$. Так как $\pi$ является константой, то при $x \to 0$ переменная $u = \pi x$ также стремится к нулю ($u \to 0$).

После замены переменной предел принимает стандартную форму первого замечательного предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Ответ: 1