Номер 2.15, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.15, страница 59.

Условие.

2.15 Вычислите:

а) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x)$;

б) $\lim_{x \to 1} (x^4 - 2x^2 + x + 1)$;

в) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}$;

г) $\lim_{x \to -2} \frac{\sin(x + 2)}{x + 2}$;

д) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$;

е) $\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}$;

ж) $\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{x}}$;

з) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{2 + x}{2}\right)^{\frac{4}{x}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Функция $f(x) = \sin x + \cos x$ является непрерывной на всей числовой прямой как сумма двух непрерывных функций. Поэтому предел функции при $x \to \frac{\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке. Выполним прямую подстановку:
$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1 $.
Ответ: 1

б) Функция $f(x) = x^4 - 2x^2 + x + 1$ является многочленом, который непрерывен на всей числовой прямой. Следовательно, предел можно найти прямой подстановкой значения $x=1$ в выражение:
$ \lim_{x \to 1} (x^4 - 2x^2 + x + 1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 + 1 = 1 - 2 + 1 + 1 = 1 $.
Ответ: 1

в) При подстановке $x=1$ в выражение $\frac{x^3 - 1}{x - 1}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть ее, разложим числитель на множители по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) $.
Теперь предел можно переписать и сократить дробь:
$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) $.
После сокращения неопределенность исчезает, и мы можем выполнить подстановку:
$ 1^2 + 1 + 1 = 3 $.
Ответ: 3

г) При подстановке $x=-2$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Этот предел сводится к первому замечательному пределу $ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $.
Сделаем замену переменной: пусть $ t = x + 2 $. Тогда при $ x \to -2 $, новая переменная $ t \to 0 $.
Подставим новую переменную в исходное выражение:
$ \lim_{x \to -2} \frac{\sin(x+2)}{x+2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $.
Ответ: 1

д) При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для раскрытия этой неопределенности используем тригонометрическую формулу $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$:
$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} $.
Перепишем выражение, чтобы использовать первый замечательный предел:
$ \lim_{x \to 0} 2 \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 $.
Ответ: 2

е) При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $1^\infty$. Этот предел сводится ко второму замечательному пределу $ \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e $.
Преобразуем выражение, чтобы привести его к стандартному виду:
$ \lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \left((1 + 3x)^{\frac{1}{3x}}\right)^3 $.
Сделаем замену $ t = 3x $. При $ x \to 0 $, $ t \to 0 $.
$ \lim_{t \to 0} \left((1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^3 = \left(\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^3 = e^3 $.
Ответ: $e^3$

ж) При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $1^\infty$. Этот предел также сводится ко второму замечательному пределу.
$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} \left[ \left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{3x}} \right]^3 $.
Сделаем замену $ t = \frac{3x}{2} $. При $ x \to 0 $, $ t \to 0 $.
$ \lim_{t \to 0} \left[ (1 + t)^{\frac{1}{t}} \right]^3 = \left( \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} \right)^3 = e^3 $.
Ответ: $e^3$

з) При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $1^\infty$. Преобразуем выражение в основании степени:
$ \frac{2+x}{2} = 1 + \frac{x}{2} $.
Предел принимает вид:
$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{4}{x}} $.
Приведем его ко второму замечательному пределу:
$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{4}{x}} = \lim_{x \to 0} \left[ \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{2}{x}} \right]^2 $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} $. При $ x \to 0 $, $ t \to 0 $.
$ \lim_{t \to 0} \left[ (1 + t)^{\frac{1}{t}} \right]^2 = \left( \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} \right)^2 = e^2 $.
Ответ: $e^2$