Номер 2.17, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.17, страница 59.

Условие.

Вычислите (2.17–2.19):

2.17 а) $lim_{x \to 0} \frac{tg x}{7x};$

б) $lim_{x \to 0} \frac{tg 7x}{x};$

в) $lim_{x \to 0} \frac{tg 5x}{10x};$

г) $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{5x};$

д) $lim_{x \to 0} \frac{5x}{sin 5x};$

е) $lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{2x};$

ж) $lim_{x \to 0} \frac{tg x}{sin x};$

з) $lim_{x \to 0} \frac{tg 5x}{sin x};$

и) $lim_{x \to 0} \frac{tg 2x}{sin 5x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения всех задач используется первый замечательный предел и его следствия:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 $

А также их обобщенные формы для $ \alpha(x) \to 0 $:

$ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin(\alpha(x))}{\alpha(x)} = 1 $ и $ \lim_{x \to x_0} \frac{\tan(\alpha(x))}{\alpha(x)} = 1 $.

а) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{7x} $.

Выносим константу $ \frac{1}{7} $ за знак предела и используем следствие из первого замечательного предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{7x} = \frac{1}{7} \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7} $

Ответ: $ \frac{1}{7} $.

б) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 7x}{x} $.

Чтобы использовать стандартный предел, знаменатель должен быть равен аргументу тангенса. Для этого умножим и разделим выражение на 7:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 7x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 7x}{7x} \cdot 7 $

Вынесем константу 7 за знак предела. Так как при $ x \to 0 $, выражение $ 7x $ также стремится к нулю, мы можем применить обобщенный предел:

$ 7 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan 7x}{7x} = 7 \cdot 1 = 7 $

Ответ: $ 7 $.

в) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{10x} $.

Преобразуем выражение, чтобы выделить стандартный предел. Вынесем константу $ \frac{1}{10} $, а затем умножим и разделим на 5:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{10x} = \frac{1}{10} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{x} = \frac{1}{10} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} \cdot 5 = \frac{5}{10} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} $

Применяя обобщенный предел, получаем:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{5x} $.

Выносим константу $ \frac{1}{5} $ за знак предела и используем первый замечательный предел:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{5x} = \frac{1}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $.

д) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} $.

Сделаем замену переменной $ y = 5x $. При $ x \to 0 $, новая переменная $ y \to 0 $. Предел принимает вид:

$ \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} $

Этот предел является обратным к первому замечательному пределу:

$ \lim_{y \to 0} \left(\frac{\sin y}{y}\right)^{-1} = \left(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}\right)^{-1} = 1^{-1} = 1 $

Ответ: $ 1 $.

е) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} $.

Преобразуем выражение, чтобы использовать первый замечательный предел. Вынесем константу $ \frac{1}{2} $, а затем умножим и разделим на 3:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} $

Применяя обобщенный первый замечательный предел, получаем:

$ \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

ж) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x} $.

Воспользуемся определением тангенса: $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \cdot \sin x} $

Поскольку $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $, то $ \sin x \neq 0 $. Следовательно, можно сократить дробь на $ \sin x $:

$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: $ 1 $.

з) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\sin x} $.

Разделим числитель и знаменатель на $ x $ (так как $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $). Это позволит нам использовать известные пределы для числителя и знаменателя по отдельности.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan 5x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} $

По свойству предела частного (так как предел знаменателя отличен от нуля), имеем:

$ \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} \cdot 5}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{5 \cdot 1}{1} = 5 $

Ответ: $ 5 $.

и) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} $.

Аналогично предыдущему пункту, разделим числитель и знаменатель на $ x $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}} $

Используем свойство предела частного:

$ \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}} $

Вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:

Предел числителя: $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 $.

Предел знаменателя: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5 $.

Тогда искомый предел равен отношению этих пределов:

$ \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $.