Номер 2.18, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.18, страница 59.
№2.18 (с. 59)
Условие. №2.18 (с. 59)
скриншот условия

2.18 a) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x}$;
б) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{x}$;
в) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x}$;
г) $lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4x}\right)^{2x}$.
Решение 1. №2.18 (с. 59)




Решение 2. №2.18 (с. 59)

Решение 3. №2.18 (с. 59)

Решение 4. №2.18 (с. 59)
Все представленные пределы относятся к типу неопределенности $1^\infty$ и решаются с использованием второго замечательного предела, который гласит:
$\lim_{z \to \infty} \left(1 + \frac{1}{z}\right)^z = e$
где $e \approx 2.718$ — число Эйлера. Общая форма, полезная для решения данных задач:
$\lim_{f(x) \to \infty} \left(1 + \frac{k}{f(x)}\right)^{f(x)} = e^k$
а) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x}$
Используя свойство степени, перепишем выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^3$
Теперь воспользуемся свойством предела степени, которое позволяет вынести постоянную степень за знак предела:
$\left[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^3$
Предел в скобках является вторым замечательным пределом, который равен $e$.
Таким образом, итоговый результат равен $e^3$.
Ответ: $e^3$.
б) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^x$
Чтобы привести выражение к форме второго замечательного предела, необходимо, чтобы показатель степени совпадал со знаменателем дроби в скобках. В данном случае нам нужен показатель $3x$. Для этого умножим и разделим показатель $x$ на 3:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{3x \cdot \frac{1}{3}} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{3x}\right]^{\frac{1}{3}}$
Предел выражения в квадратных скобках является вторым замечательным пределом. Если сделать замену $y=3x$, то при $x \to \infty$, $y \to \infty$, и предел примет вид $\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e$.
Таким образом, исходный предел равен $e^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $e^{\frac{1}{3}}$.
в) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x}$
Аналогично предыдущему пункту, преобразуем показатель степени. Нам нужен показатель $5x$.
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x \cdot \frac{2x}{5x}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x \cdot \frac{2}{5}} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x}\right]^{\frac{2}{5}}$
Выражение в квадратных скобках стремится к $e$ (по аналогии с заменой $y=5x$).
Следовательно, весь предел равен $e^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $e^{\frac{2}{5}}$.
г) $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4x}\right)^{2x}$
Перепишем выражение, представив вычитание как сложение с отрицательным числом:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{2x}$
Теперь нам нужен показатель степени, равный $-4x$. Преобразуем показатель $2x$:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x \cdot \frac{2x}{-4x}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x}\right]^{-\frac{1}{2}}$
Выражение в квадратных скобках стремится к $e$. Если сделать замену $y=-4x$, то при $x \to \infty$, $y \to -\infty$, а второй замечательный предел справедлив и в этом случае: $\lim_{y \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e$.
Таким образом, искомый предел равен $e^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $e^{-\frac{1}{2}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 2.18 расположенного на странице 59 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2.18 (с. 59), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.