Номер 2.18, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.18, страница 59.

Условие.

2.18 a) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x}$;

б) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{x}$;

в) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x}$;

г) $lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4x}\right)^{2x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Все представленные пределы относятся к типу неопределенности $1^\infty$ и решаются с использованием второго замечательного предела, который гласит:

$\lim_{z \to \infty} \left(1 + \frac{1}{z}\right)^z = e$

где $e \approx 2.718$ — число Эйлера. Общая форма, полезная для решения данных задач:

$\lim_{f(x) \to \infty} \left(1 + \frac{k}{f(x)}\right)^{f(x)} = e^k$

а) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x}$

Используя свойство степени, перепишем выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^3$
Теперь воспользуемся свойством предела степени, которое позволяет вынести постоянную степень за знак предела:
$\left[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^3$
Предел в скобках является вторым замечательным пределом, который равен $e$.
Таким образом, итоговый результат равен $e^3$.
Ответ: $e^3$.

б) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^x$

Чтобы привести выражение к форме второго замечательного предела, необходимо, чтобы показатель степени совпадал со знаменателем дроби в скобках. В данном случае нам нужен показатель $3x$. Для этого умножим и разделим показатель $x$ на 3:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{3x \cdot \frac{1}{3}} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{3x}\right]^{\frac{1}{3}}$
Предел выражения в квадратных скобках является вторым замечательным пределом. Если сделать замену $y=3x$, то при $x \to \infty$, $y \to \infty$, и предел примет вид $\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e$.
Таким образом, исходный предел равен $e^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $e^{\frac{1}{3}}$.

в) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x}$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем показатель степени. Нам нужен показатель $5x$.
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x \cdot \frac{2x}{5x}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x \cdot \frac{2}{5}} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x}\right]^{\frac{2}{5}}$
Выражение в квадратных скобках стремится к $e$ (по аналогии с заменой $y=5x$).
Следовательно, весь предел равен $e^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $e^{\frac{2}{5}}$.

г) $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4x}\right)^{2x}$

Перепишем выражение, представив вычитание как сложение с отрицательным числом:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{2x}$
Теперь нам нужен показатель степени, равный $-4x$. Преобразуем показатель $2x$:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x \cdot \frac{2x}{-4x}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x}\right]^{-\frac{1}{2}}$
Выражение в квадратных скобках стремится к $e$. Если сделать замену $y=-4x$, то при $x \to \infty$, $y \to -\infty$, а второй замечательный предел справедлив и в этом случае: $\lim_{y \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e$.
Таким образом, искомый предел равен $e^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $e^{-\frac{1}{2}}$.