Страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

2.15 Вычислите:

а) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x)$;

б) $\lim_{x \to 1} (x^4 - 2x^2 + x + 1)$;

в) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}$;

г) $\lim_{x \to -2} \frac{\sin(x + 2)}{x + 2}$;

д) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$;

е) $\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}}$;

ж) $\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{x}}$;

з) $\lim_{x \to 0} \left(\frac{2 + x}{2}\right)^{\frac{4}{x}}$.

а) Функция $f(x) = \sin x + \cos x$ является непрерывной на всей числовой прямой как сумма двух непрерывных функций. Поэтому предел функции при $x \to \frac{\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке. Выполним прямую подстановку:
$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 0 = 1 $.
Ответ: 1

б) Функция $f(x) = x^4 - 2x^2 + x + 1$ является многочленом, который непрерывен на всей числовой прямой. Следовательно, предел можно найти прямой подстановкой значения $x=1$ в выражение:
$ \lim_{x \to 1} (x^4 - 2x^2 + x + 1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 + 1 = 1 - 2 + 1 + 1 = 1 $.
Ответ: 1

в) При подстановке $x=1$ в выражение $\frac{x^3 - 1}{x - 1}$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Чтобы раскрыть ее, разложим числитель на множители по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$ x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) $.
Теперь предел можно переписать и сократить дробь:
$ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) $.
После сокращения неопределенность исчезает, и мы можем выполнить подстановку:
$ 1^2 + 1 + 1 = 3 $.
Ответ: 3

г) При подстановке $x=-2$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Этот предел сводится к первому замечательному пределу $ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $.
Сделаем замену переменной: пусть $ t = x + 2 $. Тогда при $ x \to -2 $, новая переменная $ t \to 0 $.
Подставим новую переменную в исходное выражение:
$ \lim_{x \to -2} \frac{\sin(x+2)}{x+2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $.
Ответ: 1

д) При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для раскрытия этой неопределенности используем тригонометрическую формулу $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2(\alpha)$:
$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} $.
Перепишем выражение, чтобы использовать первый замечательный предел:
$ \lim_{x \to 0} 2 \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2 $.
Ответ: 2

е) При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $1^\infty$. Этот предел сводится ко второму замечательному пределу $ \lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e $.
Преобразуем выражение, чтобы привести его к стандартному виду:
$ \lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \left((1 + 3x)^{\frac{1}{3x}}\right)^3 $.
Сделаем замену $ t = 3x $. При $ x \to 0 $, $ t \to 0 $.
$ \lim_{t \to 0} \left((1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^3 = \left(\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^3 = e^3 $.
Ответ: $e^3$

ж) При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $1^\infty$. Этот предел также сводится ко второму замечательному пределу.
$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} \left[ \left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{3x}} \right]^3 $.
Сделаем замену $ t = \frac{3x}{2} $. При $ x \to 0 $, $ t \to 0 $.
$ \lim_{t \to 0} \left[ (1 + t)^{\frac{1}{t}} \right]^3 = \left( \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} \right)^3 = e^3 $.
Ответ: $e^3$

з) При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $1^\infty$. Преобразуем выражение в основании степени:
$ \frac{2+x}{2} = 1 + \frac{x}{2} $.
Предел принимает вид:
$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{4}{x}} $.
Приведем его ко второму замечательному пределу:
$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{4}{x}} = \lim_{x \to 0} \left[ \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{2}{x}} \right]^2 $.
Сделаем замену $ t = \frac{x}{2} $. При $ x \to 0 $, $ t \to 0 $.
$ \lim_{t \to 0} \left[ (1 + t)^{\frac{1}{t}} \right]^2 = \left( \lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} \right)^2 = e^2 $.
Ответ: $e^2$

2.16 Докажите, что:

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1$;

б) $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{\sin x} = 1$.

а)

Для доказательства данного равенства преобразуем выражение под знаком предела. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}$.

Теперь представим предел в виде произведения двух пределов, что возможно благодаря свойству предела произведения:

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}\right) = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}\right)$.

Первый множитель в этом выражении является первым замечательным пределом, значение которого известно:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Второй предел найдем путем прямой подстановки значения $x=0$, поскольку функция $y = \cos x$ непрерывна в этой точке и $\cos 0 = 1 \neq 0$:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Перемножая полученные значения, мы доказываем исходное равенство:

$1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1.

б)

Для доказательства этого равенства также начнем с замены тангенса на отношение синуса к косинусу: $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}$.

В определении предела переменная $x$ стремится к нулю, но не принимает это значение ($x \neq 0$), следовательно, $\sin x \neq 0$ в окрестности нуля. Это позволяет нам сократить дробь на $\sin x$:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \cdot \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x}$.

Функция $y=\cos x$ непрерывна в точке $x=0$, поэтому мы можем вычислить предел прямой подстановкой:

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, равенство доказано.

Ответ: 1.

Вычислите (2.17–2.19):

2.17 а) $lim_{x \to 0} \frac{tg x}{7x};$

б) $lim_{x \to 0} \frac{tg 7x}{x};$

в) $lim_{x \to 0} \frac{tg 5x}{10x};$

г) $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{5x};$

д) $lim_{x \to 0} \frac{5x}{sin 5x};$

е) $lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{2x};$

ж) $lim_{x \to 0} \frac{tg x}{sin x};$

з) $lim_{x \to 0} \frac{tg 5x}{sin x};$

и) $lim_{x \to 0} \frac{tg 2x}{sin 5x}.$

Для решения всех задач используется первый замечательный предел и его следствия:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 $

А также их обобщенные формы для $ \alpha(x) \to 0 $:

$ \lim_{x \to x_0} \frac{\sin(\alpha(x))}{\alpha(x)} = 1 $ и $ \lim_{x \to x_0} \frac{\tan(\alpha(x))}{\alpha(x)} = 1 $.

а) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{7x} $.

Выносим константу $ \frac{1}{7} $ за знак предела и используем следствие из первого замечательного предела:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{7x} = \frac{1}{7} \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \frac{1}{7} \cdot 1 = \frac{1}{7} $

Ответ: $ \frac{1}{7} $.

б) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 7x}{x} $.

Чтобы использовать стандартный предел, знаменатель должен быть равен аргументу тангенса. Для этого умножим и разделим выражение на 7:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 7x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 7x}{7x} \cdot 7 $

Вынесем константу 7 за знак предела. Так как при $ x \to 0 $, выражение $ 7x $ также стремится к нулю, мы можем применить обобщенный предел:

$ 7 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\tan 7x}{7x} = 7 \cdot 1 = 7 $

Ответ: $ 7 $.

в) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{10x} $.

Преобразуем выражение, чтобы выделить стандартный предел. Вынесем константу $ \frac{1}{10} $, а затем умножим и разделим на 5:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{10x} = \frac{1}{10} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{x} = \frac{1}{10} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} \cdot 5 = \frac{5}{10} \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} $

Применяя обобщенный предел, получаем:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{5x} $.

Выносим константу $ \frac{1}{5} $ за знак предела и используем первый замечательный предел:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{5x} = \frac{1}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $.

д) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} $.

Сделаем замену переменной $ y = 5x $. При $ x \to 0 $, новая переменная $ y \to 0 $. Предел принимает вид:

$ \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} $

Этот предел является обратным к первому замечательному пределу:

$ \lim_{y \to 0} \left(\frac{\sin y}{y}\right)^{-1} = \left(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}\right)^{-1} = 1^{-1} = 1 $

Ответ: $ 1 $.

е) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} $.

Преобразуем выражение, чтобы использовать первый замечательный предел. Вынесем константу $ \frac{1}{2} $, а затем умножим и разделим на 3:

$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = \frac{3}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} $

Применяя обобщенный первый замечательный предел, получаем:

$ \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

ж) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin x} $.

Воспользуемся определением тангенса: $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \cdot \sin x} $

Поскольку $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $, то $ \sin x \neq 0 $. Следовательно, можно сократить дробь на $ \sin x $:

$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1 $

Ответ: $ 1 $.

з) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\sin x} $.

Разделим числитель и знаменатель на $ x $ (так как $ x \to 0 $, но $ x \neq 0 $). Это позволит нам использовать известные пределы для числителя и знаменателя по отдельности.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan 5x}{x}}{\frac{\sin x}{x}} $

По свойству предела частного (так как предел знаменателя отличен от нуля), имеем:

$ \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\tan 5x}{5x} \cdot 5}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}} = \frac{5 \cdot 1}{1} = 5 $

Ответ: $ 5 $.

и) Вычислим предел $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} $.

Аналогично предыдущему пункту, разделим числитель и знаменатель на $ x $.

$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\tan 2x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}} $

Используем свойство предела частного:

$ \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x}} $

Вычислим пределы числителя и знаменателя отдельно:

Предел числителя: $ \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2 $.

Предел знаменателя: $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5 $.

Тогда искомый предел равен отношению этих пределов:

$ \frac{2}{5} $

Ответ: $ \frac{2}{5} $.

2.18 a) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x}$;

б) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{x}$;

в) $lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x}$;

г) $lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4x}\right)^{2x}$.

Все представленные пределы относятся к типу неопределенности $1^\infty$ и решаются с использованием второго замечательного предела, который гласит:

$\lim_{z \to \infty} \left(1 + \frac{1}{z}\right)^z = e$

где $e \approx 2.718$ — число Эйлера. Общая форма, полезная для решения данных задач:

$\lim_{f(x) \to \infty} \left(1 + \frac{k}{f(x)}\right)^{f(x)} = e^k$

а) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x}$

Используя свойство степени, перепишем выражение под знаком предела:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^3$
Теперь воспользуемся свойством предела степени, которое позволяет вынести постоянную степень за знак предела:
$\left[\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right]^3$
Предел в скобках является вторым замечательным пределом, который равен $e$.
Таким образом, итоговый результат равен $e^3$.
Ответ: $e^3$.

б) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^x$

Чтобы привести выражение к форме второго замечательного предела, необходимо, чтобы показатель степени совпадал со знаменателем дроби в скобках. В данном случае нам нужен показатель $3x$. Для этого умножим и разделим показатель $x$ на 3:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{3x \cdot \frac{1}{3}} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{3x}\right)^{3x}\right]^{\frac{1}{3}}$
Предел выражения в квадратных скобках является вторым замечательным пределом. Если сделать замену $y=3x$, то при $x \to \infty$, $y \to \infty$, и предел примет вид $\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e$.
Таким образом, исходный предел равен $e^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $e^{\frac{1}{3}}$.

в) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x}$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем показатель степени. Нам нужен показатель $5x$.
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x \cdot \frac{2x}{5x}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x \cdot \frac{2}{5}} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{5x}\right)^{5x}\right]^{\frac{2}{5}}$
Выражение в квадратных скобках стремится к $e$ (по аналогии с заменой $y=5x$).
Следовательно, весь предел равен $e^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $e^{\frac{2}{5}}$.

г) $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{4x}\right)^{2x}$

Перепишем выражение, представив вычитание как сложение с отрицательным числом:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{2x}$
Теперь нам нужен показатель степени, равный $-4x$. Преобразуем показатель $2x$:
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{2x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x \cdot \frac{2x}{-4x}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{-1}{4x}\right)^{-4x}\right]^{-\frac{1}{2}}$
Выражение в квадратных скобках стремится к $e$. Если сделать замену $y=-4x$, то при $x \to \infty$, $y \to -\infty$, а второй замечательный предел справедлив и в этом случае: $\lim_{y \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^y = e$.
Таким образом, искомый предел равен $e^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $e^{-\frac{1}{2}}$.