Страница 60 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

2.19 a) $lim_{x \to \infty} \frac{3x + 7}{2x + 1};$

б) $lim_{x \to \infty} \frac{2x - 2}{5x + 6};$

В) $lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 - 5x^2 + 7}{5x^2 + 7x - 5};$

г) $lim_{x \to -\infty} \frac{3x^4 + 5x - 1}{2x^3 + 3x^2 + 9x + 1};$

Д) $lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2};$

e) $lim_{x \to -1} \frac{x^4 - 1}{x^3 + 1}.$

В пределе $\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 7}{2x + 1}$ мы сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$, так как при $x \to \infty$ и числитель, и знаменатель стремятся к бесконечности.

Для разрешения этой неопределенности разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на $x$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x + 7}{2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x} + \frac{7}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{7}{x}}{2 + \frac{1}{x}}$

Поскольку при $x \to \infty$ дроби $\frac{7}{x}$ и $\frac{1}{x}$ стремятся к нулю, мы можем заменить их на 0:

$\frac{3 + 0}{2 + 0} = \frac{3}{2}$

Также можно применить правило, согласно которому предел отношения двух многочленов одинаковой степени при $x \to \infty$ равен отношению их старших коэффициентов, что в данном случае также равно $\frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

Предел $\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 2}{5x + 6}$ также представляет собой неопределенность вида $\frac{\infty}{\infty}$.

Действуем аналогично предыдущему пункту: делим числитель и знаменатель на $x$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 2}{5x + 6} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x}{x} - \frac{2}{x}}{\frac{5x}{x} + \frac{6}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{2}{x}}{5 + \frac{6}{x}}$

Так как $\frac{2}{x} \to 0$ и $\frac{6}{x} \to 0$ при $x \to \infty$, получаем:

$\frac{2 - 0}{5 + 0} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

Рассмотрим предел $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3 - 5x^2 + 7}{5x^2 + 7x - 5}$. Здесь мы снова имеем неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$.

В этом случае степень многочлена в числителе (3) больше степени многочлена в знаменателе (2). Это означает, что предел будет равен бесконечности. Чтобы определить знак бесконечности, сравним поведение старших членов:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^3}{5x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{5}x = +\infty$

Поскольку $x$ стремится к положительной бесконечности, результат также будет положительной бесконечностью.

Ответ: $+\infty$

В пределе $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^4 + 5x - 1}{2x^3 + 3x^2 + 9x + 1}$ степень числителя (4) также больше степени знаменателя (3), что приводит к бесконечному пределу.

Для определения знака рассмотрим отношение старших членов при $x \to -\infty$:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^4}{2x^3} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{2}x$

Так как $x$ стремится к отрицательной бесконечности ($x \to -\infty$), то выражение $\frac{3}{2}x$ также стремится к отрицательной бесконечности.

Ответ: $-\infty$

Для вычисления предела $\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ подставим $x=2$ в выражение. Это дает $\frac{2^3-8}{2-2} = \frac{0}{0}$, что является неопределенностью.

Чтобы раскрыть ее, разложим числитель на множители по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

Теперь предел можно переписать и сократить:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4)$

Теперь подставляем $x=2$ в полученное выражение:

$2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

Ответ: $12$

В пределе $\lim_{x \to -1} \frac{x^4 - 1}{x^3 + 1}$ подстановка $x=-1$ приводит к неопределенности вида $\frac{0}{0}$.

Для ее устранения разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель (как разность квадратов): $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$.

Знаменатель (как сумма кубов): $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Подставляем разложения в предел и сокращаем на общий множитель $(x+1)$:

$\lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{(x - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - x + 1}$

Теперь можно выполнить подстановку $x = -1$:

$\frac{(-1 - 1)((-1)^2 + 1)}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{(-2)(1 + 1)}{1 + 1 + 1} = \frac{-4}{3}$

Ответ: $-\frac{4}{3}$