Страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

2.20° Какую функцию называют непрерывной на промежутке?

Функцию $y=f(x)$ называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Это общее определение, которое уточняется в зависимости от типа промежутка (является ли он открытым, закрытым или полуоткрытым), так как понятие непрерывности на концах промежутка отличается.

Для интервала (открытого промежутка)
Функция $f(x)$ непрерывна на интервале $(a, b)$, если она непрерывна в каждой точке $x_0$ этого интервала. То есть для любой точки $x_0 \in (a, b)$ должно выполняться равенство: $ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $.

Для отрезка (закрытого промежутка)
Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, если выполняются три условия:

1. она непрерывна на интервале $(a, b)$;
2. она непрерывна в точке $a$ справа, то есть существует односторонний предел справа, равный значению функции в этой точке: $ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) $;
3. она непрерывна в точке $b$ слева, то есть существует односторонний предел слева, равный значению функции в этой точке: $ \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) $.

С наглядной, интуитивной точки зрения, график функции, непрерывной на промежутке, является сплошной линией, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги на всем этом промежутке.

Ответ: Функцию называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его внутренней точке, а также непрерывна справа на левом конце и непрерывна слева на правом конце этого промежутка (в том случае, если эти концы принадлежат самому промежутку).

2.21 Что называют:

а) приращением аргумента;

б) приращением функции?

а) приращением аргумента

Пусть имеется независимая переменная $x$, которую называют аргументом функции. Если начальное значение аргумента $x_0$ изменяется до нового значения $x_1$, то разность между новым и начальным значениями называют приращением аргумента.

Приращение аргумента принято обозначать греческой буквой $\Delta$ (дельта), то есть $\Delta x$. Таким образом, формула для нахождения приращения аргумента:

$\Delta x = x_1 - x_0$

Из этой формулы следует, что новое значение аргумента можно выразить через его начальное значение и приращение: $x_1 = x_0 + \Delta x$. Приращение $\Delta x$ может быть как положительным (если $x_1 > x_0$), так и отрицательным (если $x_1 < x_0$). Оно показывает, на сколько изменилась независимая переменная.

Ответ: Приращением аргумента называется разность между его конечным (новым) и начальным значениями. Если начальное значение аргумента — $x_0$, а конечное — $x_1$, то приращение аргумента $\Delta x = x_1 - x_0$.

б) приращением функции

Рассмотрим функцию $y=f(x)$. Когда аргумент $x$ получает приращение $\Delta x$ и изменяется от начального значения $x_0$ до нового значения $x_1 = x_0 + \Delta x$, значение функции $y$ также изменяется.

Начальное значение функции равно $y_0 = f(x_0)$, а новое значение функции равно $y_1 = f(x_1) = f(x_0 + \Delta x)$. Разность между новым и начальным значениями функции называется приращением функции.

Приращение функции обозначается $\Delta y$ или $\Delta f$ и соответствует приращению аргумента $\Delta x$. Формула для нахождения приращения функции:

$\Delta y = y_1 - y_0 = f(x_1) - f(x_0)$

Подставив $x_1 = x_0 + \Delta x$, получим наиболее часто используемую форму записи, которая является ключевой для определения понятия производной:

$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Таким образом, приращение функции — это изменение значения зависимой переменной, которое произошло из-за изменения её аргумента.

Ответ: Приращением функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ изменение значения функции, которое вычисляется по формуле $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.