Страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

2.33 Определите какой-либо промежуток, на котором непрерывна функция:

a) $y = \sin 2x$;

б) $y = \text{tg} \frac{x}{2}$;

в) $y = x^{-\frac{3}{2}}$;

г) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 1)$.

а) Функция $y = \sin 2x$ является композицией двух элементарных функций: $u = 2x$ и $y = \sin u$. Линейная функция $u=2x$ непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Функция синуса $y=\sin u$ также непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией. Следовательно, функция $y = \sin 2x$ непрерывна на всей своей области определения, то есть для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ является элементарной тригонометрической функцией. Она непрерывна на всей своей области определения. Область определения тангенса $y = \operatorname{tg} u$ — это все действительные числа, кроме тех, где $\cos u = 0$. В данном случае $u = \frac{x}{2}$. Точки разрыва функции находятся из условия:
$\cos\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Функция непрерывна на любом интервале, не содержащем этих точек. Например, для $n = -1$ и $n = 0$ получаем точки разрыва $x = -\pi$ и $x = \pi$. Между ними функция непрерывна. Таким образом, можно выбрать промежуток $(-\pi; \pi)$.
Ответ: $(-\pi; \pi)$.

в) Функция $y = x^{-\frac{3}{2}}$ является степенной функцией. Её можно записать как $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ или $y = \frac{1}{\sqrt{x^3}}$. Область определения этой функции находится из условия, что выражение под корнем должно быть положительным (поскольку оно в знаменателе, оно не может быть равно нулю).
$x^3 > 0$
Это неравенство выполняется, когда $x > 0$.
Степенная функция непрерывна на всей своей области определения. Следовательно, функция непрерывна на промежутке $(0; +\infty)$.
Ответ: $(0; +\infty)$.

г) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+1)$ является логарифмической. Логарифмическая функция непрерывна на всей своей области определения. Область определения логарифмической функции — это все значения, при которых выражение под знаком логарифма строго положительно.
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Таким образом, функция непрерывна на промежутке $(-1; +\infty)$.
Ответ: $(-1; +\infty)$.

2.34 Определите все промежутки, на которых непрерывна функция:

а) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} \operatorname{tg} x$;

в) $y = \log_2 (x + 1)$.

а) Данная функция $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$ является композицией элементарных функций (показательной, квадратного корня, тригонометрической), а любая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Таким образом, задача сводится к нахождению области определения функции.
Область определения находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$\sin x \ge 0$.
Решением этого тригонометрического неравенства являются промежутки, где синус положителен или равен нулю. Это происходит в I и II координатных четвертях.
С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), получаем:
$2\pi k \le x \le \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это и есть промежутки, на которых функция непрерывна.
Ответ: $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

б) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}} (\operatorname{tg} x)$ является композицией элементарных функций (логарифмической и тригонометрической) и непрерывна на своей области определения.
Область определения этой функции задается системой условий:
1. Аргумент тангенса должен быть определен: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\operatorname{tg} x > 0$.
Решаем второе неравенство. Тангенс положителен в I и III координатных четвертях.
С учетом периодичности функции тангенс ($\pi$), получаем:
$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти интервалы автоматически удовлетворяют первому условию (в конечных точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ тангенс не определен, поэтому неравенство строгое).
Следовательно, это и есть искомые промежутки непрерывности.
Ответ: $x \in (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) Функция $y = \log_2(x+1)$ является композицией элементарных функций (логарифмической и линейной) и непрерывна на своей области определения.
Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго положительным:
$x+1 > 0$.
Решая это линейное неравенство, находим:
$x > -1$.
Таким образом, область определения функции, а значит и промежуток ее непрерывности, есть интервал $(-1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.

2.35° a) Сформулируйте теорему о промежуточном значении непрерывной функции.

б) Пусть функция $y = f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и $f(a) > 0$, $f(b) < 0$. На каком основании утверждают, что на интервале $(a; b)$ найдётся точка $c$, такая, что $f(c) = 0$?

а) Теорема о промежуточном значении (также известная как теорема Больцано-Коши) утверждает следующее: если функция $y = f(x)$ непрерывна на замкнутом отрезке $[a; b]$, то для любого числа $C$, которое находится строго между значениями функции на концах этого отрезка, то есть $f(a) < C < f(b)$ или $f(b) < C < f(a)$, найдётся хотя бы одна точка $c$ на открытом интервале $(a; b)$, такая, что $f(c) = C$.

Иными словами, график непрерывной функции на отрезке не может "перепрыгнуть" через какое-либо промежуточное значение, не приняв его.

Ответ: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, то для любого числа $C$, лежащего строго между $f(a)$ и $f(b)$, существует точка $c \in (a; b)$, такая что $f(c) = C$.

б) Утверждение о том, что найдётся точка $c \in (a; b)$ такая, что $f(c) = 0$, основывается на теореме о промежуточном значении, которая была сформулирована в пункте а). Конкретно, это частный случай, известный как теорема Больцано-Коши о нуле функции.

Применим теорему к данным условиям. Во-первых, нам дано, что функция $y=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, что является основным требованием теоремы. Во-вторых, нам дано, что значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: $f(a) > 0$ и $f(b) < 0$.

Рассмотрим число $C=0$. Так как $f(b) < 0$ и $f(a) > 0$, то число $0$ находится между значениями $f(b)$ и $f(a)$. Таким образом, $C=0$ является промежуточным значением для функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$.

Согласно теореме о промежуточном значении, раз все её условия выполнены, то обязательно найдётся точка $c$ на интервале $(a; b)$, в которой функция принимает это промежуточное значение. То есть, $f(c) = C = 0$.

Геометрическая интерпретация этого факта такова: график непрерывной функции, соединяющий точку $(a, f(a))$, расположенную над осью абсцисс, с точкой $(b, f(b))$, расположенной под осью абсцисс, неизбежно должен пересечь эту ось. Точка пересечения графика с осью абсцисс и будет иметь координату $x = c$.

Ответ: На основании теоремы о промежуточном значении непрерывной функции. Поскольку функция непрерывна на $[a; b]$ и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков ($f(a) > 0$, $f(b) < 0$), она обязана принять любое промежуточное значение между $f(a)$ и $f(b)$, включая значение $0$.

2.36 Объясните, почему у функции $y = f(x)$ на указанном отрезке имеется нуль, если:

а) $f(x) = 5x + 2$, $[-1; 2];$

б) $f(x) = x^2 + 6x - 1$, $[0; 1];$

в) $f(x) = x^3 + 6x^2 - 4x - 1$, $[0; 1].$

Для объяснения воспользуемся следствием из теоремы о промежуточном значении (теоремой Больцано-Коши). Она гласит: если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и принимает на его концах значения разных знаков (то есть $f(a) \cdot f(b) < 0$), то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка $c \in (a; b)$, в которой $f(c) = 0$. Нуль функции — это такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Все представленные функции являются многочленами, а многочлены непрерывны на всей числовой оси, следовательно, они непрерывны и на указанных отрезках. Нам остается только проверить значения функций на концах отрезков.

а) Дана функция $f(x) = 5x + 2$ на отрезке $[-1; 2]$.
1. Функция является линейной и непрерывна на отрезке $[-1; 2]$.
2. Найдем значения функции на концах отрезка:
При $x = -1$: $f(-1) = 5 \cdot (-1) + 2 = -5 + 2 = -3$.
При $x = 2$: $f(2) = 5 \cdot 2 + 2 = 10 + 2 = 12$.
3. Значения функции на концах отрезка имеют разные знаки: $f(-1) = -3 < 0$ и $f(2) = 12 > 0$.
Следовательно, согласно теореме Больцано-Коши, на интервале $(-1; 2)$ существует как минимум один нуль функции.
Ответ: Функция непрерывна на отрезке $[-1; 2]$ и принимает на его концах значения разных знаков ($f(-1)=-3$ и $f(2)=12$), поэтому на этом отрезке у нее есть нуль.

б) Дана функция $f(x) = x^2 + 6x - 1$ на отрезке $[0; 1]$.
1. Функция является квадратичной и непрерывна на отрезке $[0; 1]$.
2

2.37* Докажите, что уравнение $x^5 - 55 = 0$ имеет корень на отрезке $[2; 4]$.

Для доказательства того, что уравнение $x^5 - 55 = 0$ имеет корень на отрезке $[2; 4]$, воспользуемся теоремой Больцано-Коши о промежуточном значении.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 - 55$. Эта функция является многочленом, а многочлены непрерывны на всей числовой прямой. Следовательно, функция $f(x)$ непрерывна и на отрезке $[2; 4]$.

Теперь вычислим значения функции на концах этого отрезка:

При $x = 2$ значение функции равно: $f(2) = 2^5 - 55 = 32 - 55 = -23$.

При $x = 4$ значение функции равно: $f(4) = 4^5 - 55 = 1024 - 55 = 969$.

Мы получили, что на концах отрезка $[2; 4]$ значения функции имеют разные знаки: $f(2) < 0$ и $f(4) > 0$.

Согласно теореме Больцано-Коши, если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует хотя бы один корень уравнения $f(x) = 0$.

Так как все условия теоремы для функции $f(x) = x^5 - 55$ на отрезке $[2; 4]$ выполнены, мы можем утверждать, что на данном отрезке существует как минимум один корень, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2.38* Докажите, что уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0$ имеет корень на отрезке $[1; 2]$.

Для доказательства того, что уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0$ имеет корень на отрезке $[1; 2]$, воспользуемся теоремой Больцано–Коши о промежуточном значении для непрерывных функций.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 5x^2 - 7x - 1$. Эта функция является многочленом, а следовательно, она непрерывна на всей числовой прямой, и в частности на отрезке $[1; 2]$.

Теперь вычислим значения функции на концах этого отрезка.

При $x = 1$:
$f(1) = 1^3 + 5(1)^2 - 7(1) - 1 = 1 + 5 - 7 - 1 = -2$.

При $x = 2$:
$f(2) = 2^3 + 5(2)^2 - 7(2) - 1 = 8 + 5(4) - 14 - 1 = 8 + 20 - 14 - 1 = 13$.

Мы видим, что на концах отрезка $[1; 2]$ функция принимает значения разных знаков: $f(1) = -2 < 0$ и $f(2) = 13 > 0$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на замкнутом интервале $[1; 2]$ и значения на его концах имеют противоположные знаки, то согласно теореме Больцано–Коши, существует по крайней мере одна точка $c$ внутри интервала $(1; 2)$, для которой $f(c) = 0$.

Это означает, что уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0$ имеет по меньшей мере один корень на интервале $(1; 2)$, а следовательно, и на отрезке $[1; 2]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.