Номер 2.33, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 2. Предел функции и непрерывность - номер 2.33, страница 67.

Условие.

2.33 Определите какой-либо промежуток, на котором непрерывна функция:

a) $y = \sin 2x$;

б) $y = \text{tg} \frac{x}{2}$;

в) $y = x^{-\frac{3}{2}}$;

г) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Функция $y = \sin 2x$ является композицией двух элементарных функций: $u = 2x$ и $y = \sin u$. Линейная функция $u=2x$ непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Функция синуса $y=\sin u$ также непрерывна на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией. Следовательно, функция $y = \sin 2x$ непрерывна на всей своей области определения, то есть для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ является элементарной тригонометрической функцией. Она непрерывна на всей своей области определения. Область определения тангенса $y = \operatorname{tg} u$ — это все действительные числа, кроме тех, где $\cos u = 0$. В данном случае $u = \frac{x}{2}$. Точки разрыва функции находятся из условия:
$\cos\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
Функция непрерывна на любом интервале, не содержащем этих точек. Например, для $n = -1$ и $n = 0$ получаем точки разрыва $x = -\pi$ и $x = \pi$. Между ними функция непрерывна. Таким образом, можно выбрать промежуток $(-\pi; \pi)$.
Ответ: $(-\pi; \pi)$.

в) Функция $y = x^{-\frac{3}{2}}$ является степенной функцией. Её можно записать как $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ или $y = \frac{1}{\sqrt{x^3}}$. Область определения этой функции находится из условия, что выражение под корнем должно быть положительным (поскольку оно в знаменателе, оно не может быть равно нулю).
$x^3 > 0$
Это неравенство выполняется, когда $x > 0$.
Степенная функция непрерывна на всей своей области определения. Следовательно, функция непрерывна на промежутке $(0; +\infty)$.
Ответ: $(0; +\infty)$.

г) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(x+1)$ является логарифмической. Логарифмическая функция непрерывна на всей своей области определения. Область определения логарифмической функции — это все значения, при которых выражение под знаком логарифма строго положительно.
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Таким образом, функция непрерывна на промежутке $(-1; +\infty)$.
Ответ: $(-1; +\infty)$.