Номер 2.30, страница 64 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.30, страница 64.

Условие.

2.30 Докажите, что если функции $y = f(x)$ и $y = \varphi (x)$ непрерывны в точке $x_0$, то в этой точке непрерывна также функция:

а) $y = f(x) + \varphi (x)$;

б) $y = f(x) - \varphi (x)$;

в) $y = f(x) \cdot \varphi (x)$;

г) $y = \frac{f(x)}{\varphi (x)}$ при условии $\varphi (x_0) \neq 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

По определению, функция $g(x)$ является непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и ее предел при $x \to x_0$ существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0)$.

Из условия задачи нам дано, что функции $y = f(x)$ и $y = \varphi(x)$ непрерывны в точке $x_0$. Это означает, что:

1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

2. $\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = \varphi(x_0)$

Для доказательства мы будем использовать теоремы о пределах.

а) y = f(x) + φ(x);

Чтобы доказать, что функция $y(x) = f(x) + \varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$, нам нужно показать, что предел этой функции при $x \to x_0$ равен ее значению в точке $x_0$. Найдем предел функции $y(x)$ при $x \to x_0$: $\lim_{x \to x_0} y(x) = \lim_{x \to x_0} (f(x) + \varphi(x))$. Согласно свойству предела суммы, предел суммы двух функций равен сумме их пределов (если они существуют): $\lim_{x \to x_0} (f(x) + \varphi(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} \varphi(x)$. Поскольку функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ непрерывны в точке $x_0$, их пределы равны значениям функций в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ и $\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = \varphi(x_0)$. Подставим эти значения: $\lim_{x \to x_0} y(x) = f(x_0) + \varphi(x_0)$. Значение самой функции $y(x)$ в точке $x_0$ равно $y(x_0) = f(x_0) + \varphi(x_0)$. Так как $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$, функция $y = f(x) + \varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) y = f(x) − φ(x);

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Чтобы доказать, что функция $y(x) = f(x) - \varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$, нужно показать, что $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$. Найдем предел функции $y(x)$ при $x \to x_0$: $\lim_{x \to x_0} y(x) = \lim_{x \to x_0} (f(x) - \varphi(x))$. Используя свойство предела разности, которое гласит, что предел разности двух функций равен разности их пределов: $\lim_{x \to x_0} (f(x) - \varphi(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x \to x_0} \varphi(x)$. Из условия непрерывности функций $f(x)$ и $\varphi(x)$ в точке $x_0$: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ и $\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = \varphi(x_0)$. Следовательно: $\lim_{x \to x_0} y(x) = f(x_0) - \varphi(x_0)$. Значение функции $y(x)$ в точке $x_0$ есть $y(x_0) = f(x_0) - \varphi(x_0)$. Поскольку $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$, функция $y = f(x) - \varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$.

Ответ: Утверждение доказано.

в) y = f(x) · φ(x);

Для доказательства непрерывности функции $y(x) = f(x) \cdot \varphi(x)$ в точке $x_0$ необходимо установить, что $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$. Рассмотрим предел функции $y(x)$ при $x \to x_0$: $\lim_{x \to x_0} y(x) = \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot \varphi(x))$. По свойству предела произведения, предел произведения двух функций равен произведению их пределов: $\lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot \varphi(x)) = (\lim_{x \to x_0} f(x)) \cdot (\lim_{x \to x_0} \varphi(x))$. Так как $f(x)$ и $\varphi(x)$ непрерывны в точке $x_0$, мы знаем, что: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ и $\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = \varphi(x_0)$. Подставляя эти значения, получаем: $\lim_{x \to x_0} y(x) = f(x_0) \cdot \varphi(x_0)$. Значение функции $y(x)$ в точке $x_0$ равно $y(x_0) = f(x_0) \cdot \varphi(x_0)$. Таким образом, $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$, что и доказывает непрерывность функции $y = f(x) \cdot \varphi(x)$ в точке $x_0$.

Ответ: Утверждение доказано.

г) y = f(x)/φ(x) при условии φ(x₀) ≠ 0.

Чтобы доказать непрерывность функции $y(x) = \frac{f(x)}{\varphi(x)}$ в точке $x_0$, мы должны показать, что $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$. Дополнительное условие $\varphi(x_0) \ne 0$ является ключевым. Найдем предел функции $y(x)$ при $x \to x_0$: $\lim_{x \to x_0} y(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{\varphi(x)}$. Согласно свойству предела частного, предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{\varphi(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} \varphi(x)}$. Это свойство применимо, так как из непрерывности $\varphi(x)$ в точке $x_0$ следует $\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = \varphi(x_0)$, а по условию $\varphi(x_0) \ne 0$. Подставим известные пределы непрерывных функций $f(x)$ и $\varphi(x)$: $\lim_{x \to x_0} y(x) = \frac{f(x_0)}{\varphi(x_0)}$. Значение функции $y(x)$ в точке $x_0$ определяется как $y(x_0) = \frac{f(x_0)}{\varphi(x_0)}$. Так как $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$, функция $y = \frac{f(x)}{\varphi(x)}$ непрерывна в точке $x_0$ при условии $\varphi(x_0) \ne 0$.

Ответ: Утверждение доказано.