Страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Найдите левый и правый пределы функции $y=f(x)$ при $x \to a$, если (2.6—2.8):

2.6 а) $f(x) = x^3, a = 1;$

б) $f(x) = x^{-2}, a = \frac{1}{2};$

в) $f(x) = \sin x, a = \pi;$

г) $f(x) = \cos x, a = \frac{\pi}{2}.$

а) $f(x) = x^3, a = 1;$

Функция $f(x) = x^3$ является степенной функцией. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

По свойству непрерывных функций, левый и правый односторонние пределы в точке непрерывности существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке.

Находим левый предел (при $x$, стремящемся к 1 слева): $ \lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1-} x^3 = 1^3 = 1 $.

Находим правый предел (при $x$, стремящемся к 1 справа): $ \lim_{x \to 1+} f(x) = \lim_{x \to 1+} x^3 = 1^3 = 1 $.

Ответ: левый предел равен 1, правый предел равен 1.

б) $f(x) = x^{-2}, a = \frac{1}{2};$

Функция $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ является рациональной функцией. Она определена и непрерывна на всей своей области определения, то есть для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Точка $a = \frac{1}{2}$ принадлежит области непрерывности функции. Следовательно, левый и правый пределы в этой точке равны значению функции $f(\frac{1}{2})$.

Находим левый предел: $ \lim_{x \to \frac{1}{2}-} f(x) = \lim_{x \to \frac{1}{2}-} x^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 $.

Находим правый предел: $ \lim_{x \to \frac{1}{2}+} f(x) = \lim_{x \to \frac{1}{2}+} x^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 $.

Ответ: левый предел равен 4, правый предел равен 4.

в) $f(x) = \sin x, a = \pi;$

Функция $f(x) = \sin x$ является тригонометрической функцией. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

Так как функция непрерывна в точке $a = \pi$, ее левый и правый пределы в этой точке равны значению функции $f(\pi)$.

Находим левый предел: $ \lim_{x \to \pi-} f(x) = \lim_{x \to \pi-} \sin x = \sin(\pi) = 0 $.

Находим правый предел: $ \lim_{x \to \pi+} f(x) = \lim_{x \to \pi+} \sin x = \sin(\pi) = 0 $.

Ответ: левый предел равен 0, правый предел равен 0.

г) $f(x) = \cos x, a = \frac{\pi}{2}.$

Функция $f(x) = \cos x$ является тригонометрической функцией. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

Поскольку функция непрерывна в точке $a = \frac{\pi}{2}$, ее левый и правый пределы в этой точке равны значению функции $f(\frac{\pi}{2})$.

Находим левый предел: $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} \cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $.

Находим правый предел: $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+} \cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $.

Ответ: левый предел равен 0, правый предел равен 0.

2.7 a) $f(x) = \frac{1}{x+2}, a = -2;$

б) $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}, a = 2;$

В) $f(x) = \frac{-3}{(x-1)^4}, a = 1;$

Г) $f(x) = \frac{1}{2^x-1}, a = 0.$

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x+2}$ и точка $a = -2$.
Точка $a = -2$ не входит в область определения функции, так как при $x = -2$ знаменатель дроби обращается в ноль. Следовательно, в этой точке функция имеет разрыв.
Для того чтобы определить тип разрыва, найдем односторонние пределы в точке $a = -2$.
Левосторонний предел: $ \lim_{x \to -2^-} \frac{1}{x+2} = -\infty $, так как при $x \to -2^-$ знаменатель $x+2$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным ($x < -2$).
Правосторонний предел: $ \lim_{x \to -2^+} \frac{1}{x+2} = +\infty $, так как при $x \to -2^+$ знаменатель $x+2$ стремится к нулю, оставаясь положительным ($x > -2$).
Поскольку односторонние пределы в точке $a = -2$ бесконечны, то это точка разрыва второго рода.
Ответ: $a = -2$ — точка разрыва второго рода.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}$ и точка $a = 2$.
Функция не определена в точке $a = 2$, так как при этом значении $x$ знаменатель обращается в ноль. Значит, в точке $a = 2$ функция имеет разрыв.
Определим тип разрыва, вычислив односторонние пределы.
Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty $, так как при $x \to 2^-$ выражение $x-2$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным, а его квадрат $(x-2)^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным.
Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{(x-2)^2} = +\infty $, так как при $x \to 2^+$ выражение $x-2$ стремится к нулю, оставаясь положительным, и его квадрат $(x-2)^2$ также стремится к нулю, оставаясь положительным.
Так как оба односторонних предела равны бесконечности, точка $a = 2$ является точкой разрыва второго рода.
Ответ: $a = 2$ — точка разрыва второго рода.

в) Дана функция $f(x) = \frac{-3}{(x-1)^4}$ и точка $a = 1$.
В точке $a = 1$ функция не определена, поскольку знаменатель $(x-1)^4$ становится равным нулю. Это точка разрыва.
Найдем односторонние пределы для классификации разрыва.
Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 1^-} \frac{-3}{(x-1)^4} = -\infty $, так как при $x \to 1^-$ знаменатель $(x-1)^4$ является бесконечно малой положительной величиной, а числитель отрицателен.
Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 1^+} \frac{-3}{(x-1)^4} = -\infty $, так как при $x \to 1^+$ знаменатель $(x-1)^4$ также является бесконечно малой положительной величиной.
Оба односторонних предела равны $-\infty$, следовательно, точка $a = 1$ является точкой разрыва второго рода.
Ответ: $a = 1$ — точка разрыва второго рода.

г) Дана функция $f(x) = \frac{1}{2^x - 1}$ и точка $a = 0$.
Точка $a = 0$ не принадлежит области определения функции, так как знаменатель $2^x - 1$ при $x=0$ равен $2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Следовательно, $x=0$ — точка разрыва.
Исследуем поведение функции в окрестности этой точки с помощью односторонних пределов.
Левосторонний предел: $ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{2^x - 1} = -\infty $. При $x \to 0^-$, имеем $x < 0$, поэтому $2^x < 2^0 = 1$, и знаменатель $2^x - 1$ стремится к нулю, оставаясь отрицательным.
Правосторонний предел: $ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2^x - 1} = +\infty $. При $x \to 0^+$, имеем $x > 0$, поэтому $2^x > 2^0 = 1$, и знаменатель $2^x - 1$ стремится к нулю, оставаясь положительным.
Поскольку односторонние пределы бесконечны, точка $a = 0$ является точкой разрыва второго рода.
Ответ: $a = 0$ — точка разрыва второго рода.

2.8 a) $f(x) = \frac{1}{\sin x}, a = 0;$

б) $f(x) = \operatorname{tg} x, a = -\frac{\pi}{2};$

В) $f(x) = \operatorname{ctg} x, a = 2\pi;$

Г) $f(x) = \frac{1}{\cos x}, a = \frac{3\pi}{2}.$

а) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ в точке $a=0$. В этой точке функция не определена, поскольку знаменатель обращается в ноль: $\sin(0) = 0$. Следовательно, в точке $a=0$ функция имеет разрыв. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы.

Предел справа (при $x \to 0^+$): когда $x$ стремится к нулю, принимая малые положительные значения, $\sin x$ также является малой положительной величиной ($\sin x \to 0^+$).$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sin x} = +\infty $$

Предел слева (при $x \to 0^-$): когда $x$ стремится к нулю, принимая малые по модулю отрицательные значения, $\sin x$ является малой отрицательной величиной ($\sin x \to 0^-$).$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\sin x} = -\infty $$

Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, точка $a=0$ является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв). Прямая $x=0$ — вертикальная асимптота графика функции.

Ответ: в точке $a=0$ функция имеет разрыв второго рода.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \operatorname{tg} x$ в точке $a = -\frac{\pi}{2}$. Представим тангенс как $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$. В точке $a = -\frac{\pi}{2}$ знаменатель $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$, а числитель $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Функция не определена, значит в этой точке у нее разрыв. Найдем односторонние пределы.

Предел справа (при $x \to (-\frac{\pi}{2})^+$): $x$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, где $\cos x > 0$. Следовательно, $\cos x \to 0^+$.$$ \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^+} \operatorname{tg} x = \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^+} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-1}{+0} = -\infty $$

Предел слева (при $x \to (-\frac{\pi}{2})^-$): $x$ находится в интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$, где $\cos x < 0$. Следовательно, $\cos x \to 0^-$.$$ \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^-} \operatorname{tg} x = \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^-} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-1}{-0} = +\infty $$

Так как односторонние пределы бесконечны, точка $a = -\frac{\pi}{2}$ является точкой разрыва второго рода. Прямая $x = -\frac{\pi}{2}$ — вертикальная асимптота.

Ответ: в точке $a = -\frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв второго рода.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $a = 2\pi$. Представим котангенс как $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$. В точке $a = 2\pi$ знаменатель $\sin(2\pi) = 0$, а числитель $\cos(2\pi) = 1$. Функция не определена, следовательно, в этой точке она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы.

Предел справа (при $x \to (2\pi)^+$): $x$ находится в интервале $(2\pi, 2\pi + \frac{\pi}{2})$, где $\sin x > 0$. Следовательно, $\sin x \to 0^+$.$$ \lim_{x \to (2\pi)^+} \operatorname{ctg} x = \lim_{x \to (2\pi)^+} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{+0} = +\infty $$

Предел слева (при $x \to (2\pi)^-$): $x$ находится в интервале $(2\pi - \frac{\pi}{2}, 2\pi)$, где $\sin x < 0$. Следовательно, $\sin x \to 0^-$.$$ \lim_{x \to (2\pi)^-} \operatorname{ctg} x = \lim_{x \to (2\pi)^-} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{-0} = -\infty $$

Поскольку односторонние пределы бесконечны, точка $a = 2\pi$ является точкой разрыва второго рода. Прямая $x = 2\pi$ — вертикальная асимптота.

Ответ: в точке $a = 2\pi$ функция имеет разрыв второго рода.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ в точке $a = \frac{3\pi}{2}$. В этой точке знаменатель $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, поэтому функция не определена и имеет разрыв. Определим его тип, вычислив односторонние пределы.

Предел справа (при $x \to (\frac{3\pi}{2})^+$): $x$ находится в интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, где $\cos x > 0$. Следовательно, $\cos x \to 0^+$.$$ \lim_{x \to (\frac{3\pi}{2})^+} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{+0} = +\infty $$

Предел слева (при $x \to (\frac{3\pi}{2})^-$): $x$ находится в интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, где $\cos x < 0$. Следовательно, $\cos x \to 0^-$.$$ \lim_{x \to (\frac{3\pi}{2})^-} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-0} = -\infty $$

Так как односторонние пределы равны бесконечности, точка $a = \frac{3\pi}{2}$ является точкой разрыва второго рода. Прямая $x = \frac{3\pi}{2}$ — вертикальная асимптота.

Ответ: в точке $a = \frac{3\pi}{2}$ функция имеет разрыв второго рода.

Найдите предел функции $y = f(x)$ при $x \to a$, используя понятия левого и правого пределов, если (2.9–2.10):

2.9 a) $f(x) = -x^5$, $a = 0$;

б) $f(x) = x^4$, $a = 1$;

в) $f(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$, $a = \frac{\pi}{6}$;

г) $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$, $a = \frac{\pi}{3}$.

$y$

$1$

$y = \sin \frac{1}{x}$

$-\frac{2}{\pi}$

$-\frac{1}{\pi}$

$-\frac{2}{3\pi}$

$-\frac{1}{2\pi}$

$O$

$\frac{1}{2\pi}$

$\frac{1}{\pi}$

$\frac{2}{\pi}$

$x$

$-1$

Рис. 64

а) $f(x) = -x^5$, $a = 0$

Для нахождения предела функции воспользуемся понятием односторонних пределов. Предел существует, если левый и правый пределы в точке существуют и равны между собой. Все рассматриваемые функции являются непрерывными в указанных точках, поэтому их предел равен значению функции в этой точке.

Найдем левый предел (при $x \to 0-$):

$\lim_{x \to 0-} (-x^5) = - (0-)^5 = 0$.

Найдем правый предел (при $x \to 0+$):

$\lim_{x \to 0+} (-x^5) = - (0+)^5 = 0$.

Так как левый предел равен правому пределу ($0=0$), то предел функции в точке $a=0$ существует и равен их общему значению.

Ответ: $0$.

б) $f(x) = x^4$, $a = 1$

Функция $f(x) = x^4$ является непрерывной на всей числовой оси. Найдем ее односторонние пределы в точке $a=1$.

Левый предел: $\lim_{x \to 1-} x^4 = 1^4 = 1$.

Правый предел: $\lim_{x \to 1+} x^4 = 1^4 = 1$.

Поскольку односторонние пределы равны, предел функции $\lim_{x \to 1} x^4$ существует и равен 1.

Ответ: $1$.

в) $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$, $a = \frac{\pi}{6}$

Функция $f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ является непрерывной, так как является композицией непрерывных функций. Найдем односторонние пределы.

Левый предел: $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}-} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi + 2\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Правый предел: $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}+} \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Односторонние пределы равны, следовательно, предел функции $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \sin(x + \frac{\pi}{3})$ существует и равен 1.

Ответ: $1$.

г) $f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$, $a = \frac{\pi}{3}$

Функция $f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$ является непрерывной на всей числовой прямой. Найдем ее односторонние пределы в точке $a=\frac{\pi}{3}$.

Левый предел: $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}-} \cos(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{2\pi - \pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Правый предел: $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}+} \cos(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как левый и правый пределы равны, предел функции $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \cos(x - \frac{\pi}{6})$ существует и равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.