Страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

2.1 Дана функция $f(x) = 5 + \frac{1}{x}$. Заполните таблицу и определите, к какому значению стремятся значения функции при $x \to a$, если: а) $a = +\infty$; б) $a = -\infty$; в) $a = 1$.

a) x: 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000

y = f(x): (пусто)

x: -1, -10, -100, -1000, -10 000, -100 000

y = f(x): (пусто)

x: 1,1, 0,9, 1,01, 0,99, 1,001, 0,999

y = f(x): (пусто)

Чему равны пределы: $\lim_{x \to +\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right)$, $\lim_{x \to -\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right)$, $\lim_{x \to 1} \left(5 + \frac{1}{x}\right)$?

Для решения задачи, связанной с функцией $f(x) = 5 + \frac{1}{x}$, мы последовательно заполним таблицы и определим, к какому значению стремится функция в каждом из указанных случаев.

а) Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$.

Вычислим значения $f(x)$ для заданных положительных $x$:

• $f(1) = 5 + \frac{1}{1} = 6$
• $f(10) = 5 + \frac{1}{10} = 5,1$
• $f(100) = 5 + \frac{1}{100} = 5,01$
• $f(1000) = 5 + \frac{1}{1000} = 5,001$
• $f(10000) = 5 + \frac{1}{10000} = 5,0001$
• $f(100000) = 5 + \frac{1}{100000} = 5,00001$

Заполненная таблица:

Из таблицы видно, что чем больше значение $x$, тем ближе значение дроби $\frac{1}{x}$ к нулю. Соответственно, значение функции $f(x)$ стремится к 5.

Ответ: при $x \to +\infty$ значения функции стремятся к 5.

б) Исследуем поведение функции при $x \to -\infty$.

Вычислим значения $f(x)$ для заданных отрицательных $x$:

• $f(-1) = 5 + \frac{1}{-1} = 5 - 1 = 4$
• $f(-10) = 5 + \frac{1}{-10} = 5 - 0,1 = 4,9$
• $f(-100) = 5 + \frac{1}{-100} = 5 - 0,01 = 4,99$
• $f(-1000) = 5 + \frac{1}{-1000} = 5 - 0,001 = 4,999$
• $f(-10000) = 5 + \frac{1}{-10000} = 5 - 0,0001 = 4,9999$
• $f(-100000) = 5 + \frac{1}{-100000} = 5 - 0,00001 = 4,99999$

Заполненная таблица:

Из таблицы видно, что когда $x$ стремится к $-\infty$, значение дроби $\frac{1}{x}$ также стремится к нулю. Значения функции $f(x)$ приближаются к 5 (снизу).

Ответ: при $x \to -\infty$ значения функции стремятся к 5.

в) Исследуем поведение функции при $x \to 1$.

Вычислим значения $f(x)$ для $x$, близких к 1:

• $f(1,1) = 5 + \frac{1}{1,1} \approx 5 + 0,909 = 5,909$
• $f(0,9) = 5 + \frac{1}{0,9} \approx 5 + 1,111 = 6,111$
• $f(1,01) = 5 + \frac{1}{1,01} \approx 5 + 0,990 = 5,990$
• $f(0,99) = 5 + \frac{1}{0,99} \approx 5 + 1,010 = 6,010$
• $f(1,001) = 5 + \frac{1}{1,001} \approx 5 + 0,999 = 5,999$
• $f(0,999) = 5 + \frac{1}{0,999} \approx 5 + 1,001 = 6,001$

Заполненная таблица:

Из таблицы видно, что при приближении $x$ к 1 (с любой стороны), значение функции $f(x)$ приближается к 6. Это значение совпадает со значением функции в самой точке: $f(1) = 5 + \frac{1}{1} = 6$.

Ответ: при $x \to 1$ значения функции стремятся к 6.

Чему равны пределы:

Основываясь на результатах выше и свойствах пределов, вычислим их формально.

• Предел при $x \to +\infty$: $ \lim_{x \to +\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} 5 + \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 5 + 0 = 5 $
• Предел при $x \to -\infty$: $ \lim_{x \to -\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} 5 + \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 5 + 0 = 5 $
• Предел при $x \to 1$: $ \lim_{x \to 1} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = 5 + \frac{1}{1} = 6 $, что следует из непрерывности функции в точке $x=1$.

Ответ: $ \lim_{x \to +\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = 5 $; $ \lim_{x \to -\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = 5 $; $ \lim_{x \to 1} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = 6 $.

2.2 Объясните, что означает запись:

а) $\lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{x}\right) = 2;$

б) $\lim_{x \to -3} x^2 = 9;$

в) $\lim_{x \to 5} \frac{1}{|x - 5|} = +\infty;$

г) $\lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} = \infty.$

а) Запись $ \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{x}\right) = 2 $ означает, что при неограниченном возрастании переменной $x$ (когда $x$ стремится к плюс бесконечности), значения функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x}$ становятся сколь угодно близкими к числу 2.

Геометрически это означает, что график функции $y = 2 + \frac{1}{x}$ имеет горизонтальную асимптоту $y = 2$ при $x \to +\infty$.

На формальном языке (определение предела функции при $x \to +\infty$): для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ можно найти такое положительное число $M$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $x > M$, будет выполняться неравенство:

$ \left|\left(2 + \frac{1}{x}\right) - 2\right| < \epsilon $

Это неравенство равносильно $| \frac{1}{x} | < \epsilon$, или, так как $x > 0$, $x > \frac{1}{\epsilon}$. Таким образом, в качестве $M$ можно взять $\frac{1}{\epsilon}$.

Ответ: Данная запись означает, что значения функции $f(x) = 2 + \frac{1}{x}$ можно сделать сколь угодно близкими к 2, выбирая достаточно большие положительные значения $x$.

б) Запись $ \lim_{x \to -3} x^2 = 9 $ означает, что когда переменная $x$ стремится к числу -3 (приближаясь к нему как слева, так и справа), значения функции $f(x) = x^2$ становятся сколь угодно близкими к числу 9.

На формальном языке (определение предела функции в точке по Коши): для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon > 0$ существует такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - (-3)| < \delta$ (то есть $0 < |x + 3| < \delta$), будет выполняться неравенство:

$ |x^2 - 9| < \epsilon $

Это показывает, что мы можем заставить значение функции $x^2$ находиться в любой сколь угодно малой окрестности точки 9, выбирая значения $x$ из достаточно малой проколотой окрестности точки -3.

Ответ: Данная запись означает, что значения функции $f(x) = x^2$ можно сделать сколь угодно близкими к 9, выбирая значения $x$ достаточно близкими к -3.

в) Запись $ \lim_{x \to 5} \frac{1}{|x - 5|} = +\infty $ означает, что функция $f(x) = \frac{1}{|x - 5|}$ является бесконечно большой при $x \to 5$. Когда переменная $x$ стремится к 5 (как слева, так и справа), знаменатель $|x-5|$ стремится к нулю, оставаясь при этом положительным. В результате значение дроби неограниченно возрастает.

На формальном языке (определение бесконечного предела): для любого сколь угодно большого положительного числа $M > 0$ существует такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 5| < \delta$, будет выполняться неравенство:

$ \frac{1}{|x - 5|} > M $

Из этого неравенства следует, что $|x - 5| < \frac{1}{M}$, то есть в качестве $\delta$ можно взять $\frac{1}{M}$. Геометрически это означает, что график функции $y = \frac{1}{|x-5|}$ имеет вертикальную асимптоту $x=5$.

Ответ: Данная запись означает, что значения функции $f(x) = \frac{1}{|x - 5|}$ можно сделать сколь угодно большими, выбирая значения $x$ достаточно близкими к 5.

г) Запись $ \lim_{x \to 5} \frac{1}{x - 5} = \infty $ (без знака) часто используется для обозначения того, что предел не существует в обычном смысле, но абсолютное значение функции неограниченно возрастает. В данном случае необходимо рассматривать односторонние пределы.

1. Предел справа: когда $x$ стремится к 5, оставаясь больше 5 ($x \to 5+$), знаменатель $x-5$ является малым положительным числом. Следовательно, $ \lim_{x \to 5+} \frac{1}{x - 5} = +\infty $.

2. Предел слева: когда $x$ стремится к 5, оставаясь меньше 5 ($x \to 5-$), знаменатель $x-5$ является малым отрицательным числом. Следовательно, $ \lim_{x \to 5-} \frac{1}{x - 5} = -\infty $.

Поскольку односторонние пределы не равны (и не являются конечными числами), двусторонний предел в точке $x=5$ не существует. Запись `... = ∞` означает, что функция является бесконечно большой (без указания знака).

На формальном языке это означает: для любого сколь угодно большого положительного числа $M > 0$ существует такое положительное число $\delta > 0$, что для всех $x$, удовлетворяющих условию $0 < |x - 5| < \delta$, будет выполняться неравенство:

$ \left|\frac{1}{x - 5}\right| > M $

Ответ: Данная запись означает, что двусторонний предел функции в точке $x=5$ не существует, но при приближении $x$ к 5 абсолютное значение функции $|f(x)| = |\frac{1}{x-5}|$ неограниченно возрастает (стремится к $+\infty$).

2.3 Объясните, почему верно равенство:

а) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x - 1|} = +\infty;$

б) $\lim_{x \to -1} \frac{-1}{(x + 1)^2} = -\infty;$

в) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^3} = \infty;$

г) $\lim_{x \to -2} \frac{-3}{x + 2} = \infty.$

а) $\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x - 1|} = +\infty$

Рассмотрим поведение функции при $x$, стремящемся к 1. Знаменатель дроби, $|x - 1|$, представляет собой расстояние от точки $x$ до точки 1 на числовой оси. Когда $x$ стремится к 1 (как слева, так и справа), это расстояние стремится к нулю. Важно, что из-за модуля значение $|x - 1|$ всегда неотрицательно. Для $x \ne 1$, значение $|x - 1|$ всегда строго положительно. Таким образом, при $x \to 1$, знаменатель $|x - 1|$ стремится к нулю, оставаясь при этом положительным. Математически это записывается как $|x - 1| \to 0^+$. Числитель дроби — это константа 1 (положительное число). В результате мы имеем отношение постоянного положительного числа к бесконечно малой положительной величине. Такое отношение является бесконечно большой положительной величиной. Символически: $\lim_{x \to 1} \frac{1}{|x - 1|} = \frac{1}{0^+} = +\infty$. Равенство верно.

Ответ: Равенство верно, так как при $x \to 1$ числитель равен 1, а знаменатель $|x - 1|$ является положительной бесконечно малой величиной.

б) $\lim_{x \to -1} \frac{-1}{(x + 1)^2} = -\infty$

Рассмотрим предел функции при $x$, стремящемся к -1. Знаменатель дроби — это $(x + 1)^2$. Когда $x \to -1$, выражение $(x + 1)$ стремится к 0. Поскольку выражение $(x + 1)$ возводится в квадрат, результат $(x + 1)^2$ всегда неотрицателен. Для любого $x \ne -1$, значение $(x + 1)^2$ будет строго положительным. Следовательно, при $x \to -1$, знаменатель $(x + 1)^2$ стремится к нулю, оставаясь положительным. То есть, $(x + 1)^2 \to 0^+$. Числитель дроби — это константа -1 (отрицательное число). Мы получаем отношение постоянного отрицательного числа к бесконечно малой положительной величине. Такое отношение является бесконечно большой отрицательной величиной. Символически: $\lim_{x \to -1} \frac{-1}{(x + 1)^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$. Равенство верно.

Ответ: Равенство верно, так как при $x \to -1$ числитель равен -1, а знаменатель $(x + 1)^2$ является положительной бесконечно малой величиной.

в) $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^3} = \infty$

В данном случае предел является двусторонним, и поведение функции может зависеть от того, с какой стороны $x$ приближается к 2. Поэтому необходимо рассмотреть односторонние пределы.
1. Предел справа ($x \to 2^+$): $x$ приближается к 2, оставаясь больше 2 (например, $x=2.001$). В этом случае разность $(x - 2)$ является малой положительной величиной ($x - 2 \to 0^+$). Возведение в куб сохраняет знак, поэтому $(x - 2)^3$ также является малой положительной величиной ($(x - 2)^3 \to 0^+$). Тогда предел справа равен: $\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{(x - 2)^3} = \frac{1}{0^+} = +\infty$.
2. Предел слева ($x \to 2^-$): $x$ приближается к 2, оставаясь меньше 2 (например, $x=1.999$). В этом случае разность $(x - 2)$ является малой отрицательной величиной ($x - 2 \to 0^-$). Возведение в куб сохраняет знак, поэтому $(x - 2)^3$ также является малой отрицательной величиной ($(x - 2)^3 \to 0^-$). Тогда предел слева равен: $\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{(x - 2)^3} = \frac{1}{0^-} = -\infty$.
Поскольку односторонние пределы не равны ($\lim_{x \to 2^-} f(x) \ne \lim_{x \to 2^+} f(x)$), двусторонний предел в строгом смысле не существует. Однако в некоторых контекстах, если абсолютное значение функции стремится к бесконечности ($|f(x)| \to +\infty$), говорят, что предел равен бесконечности (без знака). В данном случае, так как пределы слева и справа равны $-\infty$ и $+\infty$, модуль функции в обоих случаях стремится к $+\infty$. Запись $\lim_{x \to 2} \frac{1}{(x - 2)^3} = \infty$ означает именно этот случай.

Ответ: Равенство верно в смысле бесконечности без знака, так как односторонние пределы равны $+\infty$ (справа) и $-\infty$ (слева), что означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает при $x \to 2$.

г) $\lim_{x \to -2} \frac{-3}{x + 2} = \infty$

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим односторонние пределы, так как знаменатель $x + 2$ меняет знак в окрестности точки $x = -2$.
1. Предел справа ($x \to -2^+$): $x$ приближается к -2, оставаясь больше -2 (например, $x=-1.999$). В этом случае сумма $(x + 2)$ является малой положительной величиной ($x + 2 \to 0^+$). Числитель равен -3. Тогда предел справа равен: $\lim_{x \to -2^+} \frac{-3}{x + 2} = \frac{-3}{0^+} = -\infty$.
2. Предел слева ($x \to -2^-$): $x$ приближается к -2, оставаясь меньше -2 (например, $x=-2.001$). В этом случае сумма $(x + 2)$ является малой отрицательной величиной ($x + 2 \to 0^-$). Числитель равен -3. Тогда предел слева равен: $\lim_{x \to -2^-} \frac{-3}{x + 2} = \frac{-3}{0^-} = +\infty$.
Односторонние пределы различны. Предел справа равен $-\infty$, а предел слева равен $+\infty$. Как и в пункте (в), равенство $\lim_{x \to -2} \frac{-3}{x + 2} = \infty$ следует понимать в том смысле, что предел не существует как конечное число или как $+\infty$ или $-\infty$, но абсолютное значение функции стремится к бесконечности. То есть, $|\frac{-3}{x+2}| \to +\infty$ при $x \to -2$.

Ответ: Равенство верно в смысле бесконечности без знака, так как односторонние пределы равны $-\infty$ (справа) и $+\infty$ (слева), и, следовательно, абсолютное значение функции неограниченно возрастает при $x \to -2$.

Определите, чему равен предел (2.4—2.5):

2.4 а) $ \lim_{x \to 2} x^3 $;

б) $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x $;

в) $ \lim_{x \to \pi} \cos x $;

г) $ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2}{\frac{1}{2}x} $.

a) Для нахождения предела функции $y = x^3$ при $x \to 2$, воспользуемся свойством непрерывности степенной функции. Функция $y = x^3$ непрерывна на всей числовой оси. Это означает, что предел функции в точке равен значению функции в этой точке. Поэтому для вычисления предела достаточно подставить значение $x=2$ в выражение функции:
$\lim_{x \to 2} x^3 = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

б) Для нахождения предела функции $y = \sin x$ при $x \to \frac{\pi}{2}$, учтем, что тригонометрическая функция синус непрерывна для любого значения аргумента. Следовательно, предел функции при стремлении $x$ к $\frac{\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке. Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
Ответ: 1

в) Для нахождения предела функции $y = \cos x$ при $x \to \pi$, воспользуемся тем, что тригонометрическая функция косинус непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, для вычисления предела можно просто подставить предельное значение аргумента в функцию:
$\lim_{x \to \pi} \cos x = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: -1

г) Для нахождения предела функции $y = \frac{2}{x}$ при $x \to \frac{1}{2}$, рассмотрим область определения этой функции. Функция является дробно-рациональной и непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не равен нулю, то есть при $x \neq 0$. Поскольку точка $x = \frac{1}{2}$ входит в область непрерывности функции, мы можем найти предел путем прямой подстановки этого значения в функцию:
$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2}{x} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{1} = 4$.
Ответ: 4

2.5* a) $\lim_{x \to +\infty} (-1)^{[x]} \cdot x^3;$

б) $\lim_{x \to -\infty} (-1)^{[x]} \cdot x^3;$

в) $\lim_{x \to 0} \frac{(-1)^{[\frac{1}{x}]}}{x};$

г) $\lim_{x \to 0} \frac{(-1)^{[\frac{1}{x}]}}{x^2};$

д) $\lim_{x \to +\infty} (-2)^{[x]};$

е) $\lim_{x \to +\infty} (-\pi)^{[x]}.$

а) $ \lim_{x \to +\infty} (-1)^{[x]} \cdot x^3 $
Рассмотрим две последовательности $x_n = 2n$ и $y_n = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$. Обе последовательности стремятся к $+\infty$ при $n \to \infty$. Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$.
Для последовательности $x_n = 2n$:
$[x_n] = [2n] = 2n$ (четное число).
Значение функции: $f(x_n) = (-1)^{2n} \cdot (2n)^3 = 1 \cdot 8n^3 = 8n^3$.
Предел для этой подпоследовательности: $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 8n^3 = +\infty$.
Для последовательности $y_n = 2n + 1$:
$[y_n] = [2n+1] = 2n+1$ (нечетное число).
Значение функции: $f(y_n) = (-1)^{2n+1} \cdot (2n+1)^3 = -1 \cdot (2n+1)^3 = -(2n+1)^3$.
Предел для этой подпоследовательности: $\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} -(2n+1)^3 = -\infty$.
Поскольку существуют две последовательности, сходящиеся к $+\infty$, для которых пределы функции различны, то предел функции при $x \to +\infty$ не существует.
Ответ: предел не существует.

б) $ \lim_{x \to -\infty} (-1)^{[x]} \cdot x^3 $
Рассмотрим две последовательности $x_n = -2n$ и $y_n = -(2n - 1)$, где $n \in \mathbb{N}$. Обе последовательности стремятся к $-\infty$ при $n \to \infty$.
Для последовательности $x_n = -2n$:
$[x_n] = [-2n] = -2n$ (четное число).
Значение функции: $f(x_n) = (-1)^{-2n} \cdot (-2n)^3 = 1 \cdot (-8n^3) = -8n^3$.
Предел для этой подпоследовательности: $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} (-8n^3) = -\infty$.
Для последовательности $y_n = -(2n - 1) = -2n+1$:
$[y_n] = [-2n+1] = -2n+1$ (нечетное число).
Значение функции: $f(y_n) = (-1)^{-2n+1} \cdot (-2n+1)^3 = -1 \cdot (-(2n-1)^3) = (2n-1)^3$.
Предел для этой подпоследовательности: $\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} (2n-1)^3 = +\infty$.
Поскольку существуют две последовательности, сходящиеся к $-\infty$, для которых пределы функции различны, то предел функции при $x \to -\infty$ не существует.
Ответ: предел не существует.

в) $ \lim_{x \to 0} \frac{(-1)^{[1/x]}}{x} $
Для нахождения предела при $x \to 0$, исследуем поведение функции на двух последовательностях, стремящихся к нулю. Рассмотрим предел справа ($x \to 0+$).
Возьмем последовательности $x_n = \frac{1}{2n}$ и $y_n = \frac{1}{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$. Обе последовательности стремятся к $0+$ при $n \to \infty$.
Для $x_n = \frac{1}{2n}$:
$[1/x_n] = [2n] = 2n$ (четное).
Значение функции: $f(x_n) = \frac{(-1)^{2n}}{1/(2n)} = 1 \cdot 2n = 2n$.
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 2n = +\infty$.
Для $y_n = \frac{1}{2n+1}$:
$[1/y_n] = [2n+1] = 2n+1$ (нечетное).
Значение функции: $f(y_n) = \frac{(-1)^{2n+1}}{1/(2n+1)} = -1 \cdot (2n+1) = -(2n+1)$.
$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} -(2n+1) = -\infty$.
Так как правосторонний предел не существует (имеет разные частичные пределы), то и двусторонний предел не существует.
Ответ: предел не существует.

г) $ \lim_{x \to 0} \frac{(-1)^{[1/x]}}{x^2} $
Как и в предыдущем пункте, рассмотрим две последовательности, стремящиеся к нулю: $x_n = \frac{1}{2n}$ и $y_n = \frac{1}{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$.
Для $x_n = \frac{1}{2n}$:
$[1/x_n] = [2n] = 2n$ (четное).
Значение функции: $f(x_n) = \frac{(-1)^{2n}}{(1/2n)^2} = \frac{1}{1/(4n^2)} = 4n^2$.
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 4n^2 = +\infty$.
Для $y_n = \frac{1}{2n+1}$:
$[1/y_n] = [2n+1] = 2n+1$ (нечетное).
Значение функции: $f(y_n) = \frac{(-1)^{2n+1}}{(1/(2n+1))^2} = \frac{-1}{1/(2n+1)^2} = -(2n+1)^2$.
$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} -(2n+1)^2 = -\infty$.
Поскольку существуют две последовательности, сходящиеся к 0, для которых пределы функции различны, то предел функции при $x \to 0$ не существует.
Ответ: предел не существует.

д) $ \lim_{x \to +\infty} (-2)^{[x]} $
При $x \to +\infty$ целая часть $[x]$ принимает последовательные целые значения $n$, также стремящиеся к $+\infty$. Рассмотрим поведение функции на целочисленной последовательности $x_n=n$.
Тогда $f(x_n) = (-2)^{[n]} = (-2)^n$.
Последовательность $a_n = (-2)^n$ представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем $q=-2$. Так как $|q|=2>1$, последовательность расходится. Её члены: $-2, 4, -8, 16, \dots$.
Последовательность колеблется, и её модуль $|a_n| = 2^n$ стремится к $+\infty$. Функция не стремится ни к какому конечному или бесконечному пределу.
Ответ: предел не существует.

е) $ \lim_{x \to +\infty} (-\pi)^{[x]} $
Задача аналогична предыдущей. При $x \to +\infty$ целая часть $[x]$ принимает последовательные целые значения $n \to +\infty$. Рассмотрим поведение функции на целочисленной последовательности $x_n=n$.
Тогда $f(x_n) = (-\pi)^{[n]} = (-\pi)^n$.
Последовательность $a_n = (-\pi)^n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=-\pi$. Так как $|q|=|-\pi|=\pi \approx 3.14 > 1$, последовательность расходится.
При четных $n=2k$: $a_{2k} = (-\pi)^{2k} = \pi^{2k} \to +\infty$.
При нечетных $n=2k+1$: $a_{2k+1} = (-\pi)^{2k+1} = -\pi \cdot \pi^{2k} \to -\infty$.
Функция колеблется между значениями, стремящимися к $+\infty$ и $-\infty$.
Ответ: предел не существует.