Номер 2.4, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.4, страница 49.

Условие.

Определите, чему равен предел (2.4—2.5):

2.4 а) $ \lim_{x \to 2} x^3 $;

б) $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x $;

в) $ \lim_{x \to \pi} \cos x $;

г) $ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2}{\frac{1}{2}x} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Для нахождения предела функции $y = x^3$ при $x \to 2$, воспользуемся свойством непрерывности степенной функции. Функция $y = x^3$ непрерывна на всей числовой оси. Это означает, что предел функции в точке равен значению функции в этой точке. Поэтому для вычисления предела достаточно подставить значение $x=2$ в выражение функции:
$\lim_{x \to 2} x^3 = 2^3 = 8$.
Ответ: 8

б) Для нахождения предела функции $y = \sin x$ при $x \to \frac{\pi}{2}$, учтем, что тригонометрическая функция синус непрерывна для любого значения аргумента. Следовательно, предел функции при стремлении $x$ к $\frac{\pi}{2}$ равен значению функции в этой точке. Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ в функцию:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
Ответ: 1

в) Для нахождения предела функции $y = \cos x$ при $x \to \pi$, воспользуемся тем, что тригонометрическая функция косинус непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, для вычисления предела можно просто подставить предельное значение аргумента в функцию:
$\lim_{x \to \pi} \cos x = \cos(\pi) = -1$.
Ответ: -1

г) Для нахождения предела функции $y = \frac{2}{x}$ при $x \to \frac{1}{2}$, рассмотрим область определения этой функции. Функция является дробно-рациональной и непрерывна во всех точках, где ее знаменатель не равен нулю, то есть при $x \neq 0$. Поскольку точка $x = \frac{1}{2}$ входит в область непрерывности функции, мы можем найти предел путем прямой подстановки этого значения в функцию:
$\lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2}{x} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{1} = 4$.
Ответ: 4