Номер 1.87, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.87, страница 44.

Условие.

1.87 а) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9};$

б) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 6x + 9};$

в) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4};$

г) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 4x + 4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.

Заметим, что выражения под корнями являются полными квадратами, так как соответствуют формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$y = \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{(x-3)^2}$

Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получим функцию с модулями:

$y = |x+1| + |x-3|$

Для того чтобы раскрыть модули, необходимо рассмотреть числовые промежутки, которые определяются нулями подмодульных выражений: $x+1=0 \implies x=-1$ и $x-3=0 \implies x=3$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала.

1. При $x < -1$. На этом интервале оба выражения под модулями отрицательны: $x+1 < 0$ и $x-3 < 0$. Поэтому $|x+1| = -(x+1)$ и $|x-3| = -(x-3)$.

$y = -(x+1) - (x-3) = -x - 1 - x + 3 = -2x + 2$.

2. При $-1 \le x < 3$. На этом интервале $x+1 \ge 0$, а $x-3 < 0$. Поэтому $|x+1| = x+1$ и $|x-3| = -(x-3)$.

$y = (x+1) - (x-3) = x + 1 - x + 3 = 4$.

3. При $x \ge 3$. На этом интервале оба выражения под модулями неотрицательны: $x+1 > 0$ и $x-3 \ge 0$. Поэтому $|x+1| = x+1$ и $|x-3| = x-3$.

$y = (x+1) + (x-3) = x + 1 + x - 3 = 2x - 2$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x+2, & \text{при } x < -1 \\ 4, & \text{при } -1 \le x < 3 \\ 2x-2, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$

б)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$.

Упростим подкоренные выражения, которые являются полными квадратами:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

Подставим их в уравнение:

$y = \sqrt{(x-1)^2} - \sqrt{(x+3)^2}$

Применяя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |x-1| - |x+3|$

Раскроем модули, рассмотрев интервалы, определяемые нулями подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = -3$.

1. При $x < -3$: $x-1 < 0$ и $x+3 < 0$.

$y = -(x-1) - (-(x+3)) = -x + 1 + x + 3 = 4$.

2. При $-3 \le x < 1$: $x-1 < 0$ и $x+3 \ge 0$.

$y = -(x-1) - (x+3) = -x + 1 - x - 3 = -2x - 2$.

3. При $x \ge 1$: $x-1 \ge 0$ и $x+3 > 0$.

$y = (x-1) - (x+3) = x - 1 - x - 3 = -4$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} 4, & \text{при } x < -3 \\ -2x-2, & \text{при } -3 \le x < 1 \\ -4, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

в)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$.

Упростим подкоренные выражения, являющиеся полными квадратами:

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

Подставим их в уравнение:

$y = \sqrt{(x-2)^2} + \sqrt{(x+2)^2}$

Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |x-2| + |x+2|$

Раскроем модули, рассмотрев интервалы, определяемые нулями подмодульных выражений: $x = 2$ и $x = -2$.

1. При $x < -2$: $x-2 < 0$ и $x+2 < 0$.

$y = -(x-2) - (x+2) = -x + 2 - x - 2 = -2x$.

2. При $-2 \le x < 2$: $x-2 < 0$ и $x+2 \ge 0$.

$y = -(x-2) + (x+2) = -x + 2 + x + 2 = 4$.

3. При $x \ge 2$: $x-2 \ge 0$ и $x+2 > 0$.

$y = (x-2) + (x+2) = x - 2 + x + 2 = 2x$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -2 \\ 4, & \text{при } -2 \le x < 2 \\ 2x, & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$

г)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 4x + 4}$.

Упростим подкоренные выражения, являющиеся полными квадратами:

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Подставим их в уравнение:

$y = \sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-2)^2}$

Применяя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |x+2| - |x-2|$

Раскроем модули, рассмотрев интервалы, определяемые нулями подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 2$.

1. При $x < -2$: $x+2 < 0$ и $x-2 < 0$.

$y = -(x+2) - (-(x-2)) = -x - 2 + x - 2 = -4$.

2. При $-2 \le x < 2$: $x+2 \ge 0$ и $x-2 < 0$.

$y = (x+2) - (-(x-2)) = x + 2 + x - 2 = 2x$.

3. При $x \ge 2$: $x+2 > 0$ и $x-2 \ge 0$.

$y = (x+2) - (x-2) = x + 2 - x + 2 = 4$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -4, & \text{при } x < -2 \\ 2x, & \text{при } -2 \le x < 2 \\ 4, & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$