Номер 1.80, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.80, страница 39.

Условие.

1.80 a) $y = 1 - \frac{1}{|x|}$;

б) $y = \frac{1}{|x|} + 2$;

В) $y = 3^{|x|}$;

Г) $y = 3^{-|x|}$.

Решение 1.

Решение 4.

a) $y = 1 - \frac{1}{|x|}$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 1 - \frac{1}{|-x|} = 1 - \frac{1}{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Для построения графика можно сначала построить его для $x > 0$, а затем симметрично отразить относительно оси OY.

1. Построение для $x > 0$:
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 1 - \frac{1}{x}$. Этот график можно получить из графика гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ путем сдвига вверх на 1 единицу.
- График $y = -\frac{1}{x}$ расположен во II и IV координатных четвертях.
- График $y = 1 - \frac{1}{x}$ получается сдвигом графика $y = -\frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=1$. Вертикальная асимптота остается $x=0$.
Для $x > 0$ мы рассматриваем только правую ветвь гиперболы $y = 1 - \frac{1}{x}$. Она пересекает ось OX в точке, где $y=0 \implies 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies x=1$. Точка пересечения — $(1, 0)$. Эта ветвь возрастает.

2. Построение для $x < 0$:
Отражаем часть графика, построенную для $x > 0$, симметрично относительно оси OY. Левая ветвь будет симметрична правой и будет убывать на интервале $(-\infty, 0)$. Она пересечет ось OX в точке $(-1, 0)$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Область значений: так как $\frac{1}{|x|} > 0$, то $-\frac{1}{|x|} < 0$, и $y = 1 - \frac{1}{|x|} < 1$. $E(y) = (-\infty, 1)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: $y = 0$ при $1 - \frac{1}{|x|} = 0 \implies |x| = 1 \implies x = \pm 1$.
5. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$; горизонтальная асимптота $y=1$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Ветви расположены ниже горизонтальной асимптоты $y=1$ и имеют вертикальную асимптоту $x=0$. Функция убывает на интервале $(-\infty, 0)$ и возрастает на интервале $(0, +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{|x|} + 2$

Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x|} + 2 = \frac{1}{|x|} + 2 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Построим график для $x > 0$ и отразим его.

1. Построение для $x > 0$:
При $x > 0$, $|x| = x$, функция имеет вид $y = \frac{1}{x} + 2$. Этот график получается из графика гиперболы $y = \frac{1}{x}$ сдвигом вверх на 2 единицы.
- Для $x>0$ график $y = \frac{1}{x}$ — это ветвь в I координатной четверти.
- График $y = \frac{1}{x} + 2$ получается сдвигом этой ветви на 2 единицы вверх. Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=2$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется. Эта ветвь убывает.

2. Построение для $x < 0$:
Симметрично отражаем построенную для $x > 0$ часть графика относительно оси OY. Получаем вторую ветвь, которая возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Область значений: так как $\frac{1}{|x|} > 0$, то $y = \frac{1}{|x|} + 2 > 2$. $E(y) = (2, +\infty)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: $y = 0 \implies \frac{1}{|x|} + 2 = 0 \implies \frac{1}{|x|} = -2$. Решений нет. График не пересекает ось OX.
5. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$; горизонтальная асимптота $y=2$.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Ветви расположены выше горизонтальной асимптоты $y=2$ и имеют вертикальную асимптоту $x=0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty, 0)$ и убывает на интервале $(0, +\infty)$.

в) $y = 3^{|x|}$

Функция является четной, поскольку $y(-x) = 3^{|-x|} = 3^{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

1. Построение для $x \geq 0$:
При $x \geq 0$, $|x| = x$, функция принимает вид $y = 3^x$. Это стандартная показательная функция с основанием больше 1. График проходит через точку $(0, 1)$ и возрастает.

2. Построение для $x < 0$:
Отражаем часть графика $y=3^x$ для $x \geq 0$ симметрично относительно оси OY. Можно также заметить, что при $x < 0$, $|x| = -x$, и тогда $y = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$. Это убывающая показательная функция. Обе части графика "стыкуются" в точке $(0, 1)$.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: Минимальное значение достигается при $|x|=0$, то есть $x=0$. $y_{min} = 3^0 = 1$. $E(y) = [1, +\infty)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: $3^{|x|} = 0$. Уравнение не имеет решений.
5. Асимптоты: вертикальных и горизонтальных асимптот нет.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.
7. Точки экстремума: $x=0$ — точка минимума, $y_{min}=1$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY, имеет V-образную форму с плавной кривизной. Точка минимума находится в $(0, 1)$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.

г) $y = 3^{-|x|}$

Функцию можно записать как $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$. Она является четной, так как $y(-x) = 3^{-|-x|} = 3^{-|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

1. Построение для $x \geq 0$:
При $x \geq 0$, $|x| = x$, функция имеет вид $y = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$. Это стандартная убывающая показательная функция. График проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближаясь к оси OX ($y=0$).

2. Построение для $x < 0$:
Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. При $x < 0$, $|x| = -x$, тогда $y = 3^{-(-x)} = 3^x$. Это возрастающая показательная функция. Обе ветви графика "стыкуются" в точке $(0, 1)$.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: Максимальное значение достигается при $|x|=0$, то есть $x=0$. $y_{max} = 3^0 = 1$. Значения функции всегда положительны. $E(y) = (0, 1]$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: $3^{-|x|} = 0$. Уравнение не имеет решений.
5. Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX) при $x \to \pm\infty$.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$.
7. Точки экстремума: $x=0$ — точка максимума, $y_{max}=1$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY, имеет форму "холма" или "колокола". Точка максимума находится в $(0, 1)$. Ось OX является горизонтальной асимптотой. Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$.