Номер 1.83, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.83, страница 39.

Условие.

1.83**

a) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|};$

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|};$

в) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|} + \frac{\cos x}{|\cos x|};$

г) $y = \sin x + |\sin x|;$

д) $y = \cos x + |\cos x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть, как раскрывается модуль $|\sin x|$ в зависимости от знака $\sin x$. Также следует учесть область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель $|\sin x| = 0$ тогда и только тогда, когда $\sin x = 0$. Это происходит при $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

2. Раскрытие модуля.
- Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.
Неравенство $\sin x > 0$ справедливо для $x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.
- Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1$.
Неравенство $\sin x < 0$ справедливо для $x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция является кусочно-постоянной, принимая значения $1$ и $-1$.

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } \sin x > 0 \\ -1, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$. Область определения: $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}$

Решение аналогично предыдущему пункту, но для функции косинуса.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель $|\cos x| = 0$ тогда и только тогда, когда $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения функции: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

2. Раскрытие модуля.
- Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$.
Неравенство $\cos x > 0$ справедливо для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.
- Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\cos x}{-\cos x} = -1$.
Неравенство $\cos x < 0$ справедливо для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.

Функция также является кусочно-постоянной.

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } \cos x > 0 \\ -1, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|} + \frac{\cos x}{|\cos x|}$

Эта функция является суммой функций из пунктов а) и б). Ее значение зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$ одновременно.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция определена, когда оба знаменателя не равны нулю: $|\sin x| \neq 0$ и $|\cos x| \neq 0$.
Это означает $\sin x \neq 0$ ($x \neq k\pi$) и $\cos x \neq 0$ ($x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$).
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ не может быть кратным $\frac{\pi}{2}$.
ОДЗ: $x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2. Анализ по четвертям.
- I четверть ($x \in (2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$): $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$.
$y = \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 1 + 1 = 2$.
- II четверть ($x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \pi + 2k\pi)$): $\sin x > 0$ и $\cos x < 0$.
$y = \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{-\cos x} = 1 - 1 = 0$.
- III четверть ($x \in (\pi + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$): $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$.
$y = \frac{\sin x}{-\sin x} + \frac{\cos x}{-\cos x} = -1 - 1 = -2$.
- IV четверть ($x \in (\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$): $\sin x < 0$ и $\cos x > 0$.
$y = \frac{\sin x}{-\sin x} + \frac{\cos x}{\cos x} = -1 + 1 = 0$.

Функция принимает значения $2, 0, -2$ в зависимости от координатной четверти, в которой находится угол $x$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } \sin x > 0 \text{ и } \cos x > 0 \\ 0, & \text{если } \sin x \cdot \cos x < 0 \\ -2, & \text{если } \sin x < 0 \text{ и } \cos x < 0 \end{cases}$. Область определения: $x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \sin x + |\sin x|$

Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как нет ни деления, ни корней. Раскроем модуль в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x \ge 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.
Условие $\sin x \ge 0$ выполняется для $x \in [2k\pi, \pi + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x - \sin x = 0$.
Условие $\sin x < 0$ выполняется для $x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, график функции состоит из удвоенных положительных полуволн синусоиды и отрезков на оси абсцисс, где синусоида отрицательна.

Ответ: $y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$.

д) $y = \cos x + |\cos x|$

Решение полностью аналогично пункту г), но для функции косинуса. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид:
$y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.
Условие $\cos x \ge 0$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид:
$y = \cos x - \cos x = 0$.
Условие $\cos x < 0$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

График функции состоит из удвоенных положительных полуволн косинусоиды и отрезков на оси абсцисс, где косинусоида отрицательна.

Ответ: $y = \begin{cases} 2\cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$.