Номер 1.82, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.82, страница 39.
№1.82 (с. 39)
Условие. №1.82 (с. 39)
скриншот условия

1.82 a) $y = x|x|;$
В) $y = |x||x - 2|;$
Д) $y = (|x| - 1)(|x| + 4);$
б) $y = (x - 1)|x - 1|;$
Г) $y = |x + 2||x - 2|;$
е) $(|x| - 3)(|x| + 2).$
Решение 1. №1.82 (с. 39)






Решение 3. №1.82 (с. 39)


Решение 4. №1.82 (с. 39)
а) $y = x|x|$
Для того чтобы раскрыть модуль в выражении $y = x|x|$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной $x$.
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:
$y = x \cdot x = x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вверх, для неотрицательных $x$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:
$y = x \cdot (-x) = -x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вниз, для отрицательных $x$.
Объединяя оба случая, мы можем представить функцию в виде кусочно-заданной функции.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$
б) $y = (x - 1)|x - 1|$
Для раскрытия модуля в выражении $y = (x - 1)|x - 1|$ рассмотрим знак выражения под модулем, то есть $x - 1$. Критической точкой является $x=1$.
1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:
$y = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2$.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1)$. Функция принимает вид:
$y = (x - 1)(-(x - 1)) = -(x - 1)^2$.
Объединяя эти два случая, получаем кусочно-заданную функцию.
Ответ: $y = \begin{cases} (x - 1)^2, & \text{при } x \ge 1 \\ -(x - 1)^2, & \text{при } x < 1 \end{cases}$
в) $y = |x||x - 2|$
В данном выражении два модуля: $|x|$ и $|x - 2|$. Критические точки, в которых подмодульные выражения равны нулю, это $x=0$ и $x=2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны.
1. При $x < 0$: $|x| = -x$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
$y = (-x) \cdot (-(x - 2)) = x(x - 2) = x^2 - 2x$.
2. При $0 \le x < 2$: $|x| = x$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
$y = x \cdot (-(x - 2)) = -x(x - 2) = -x^2 + 2x$.
3. При $x \ge 2$: $|x| = x$ и $|x - 2| = x - 2$.
$y = x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x$.
Объединяя полученные результаты, получаем кусочно-заданную функцию. Также можно заметить, что исходное выражение эквивалентно $y = |x(x-2)| = |x^2-2x|$.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{при } x < 0 \text{ или } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x, & \text{при } 0 \le x < 2 \end{cases}$
г) $y = |x + 2||x - 2|$
Воспользуемся свойством модулей $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$:
$y = |(x + 2)(x - 2)|$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению в скобках:
$y = |x^2 - 4|$.
Теперь раскроем модуль, рассмотрев знак выражения $x^2 - 4$. Оно равно нулю при $x = -2$ и $x = 2$.
1. Если $x^2 - 4 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, то $|x^2 - 4| = x^2 - 4$.
2. Если $x^2 - 4 < 0$, то есть $x \in (-2, 2)$, то $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.
Таким образом, функция задается кусочно.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{при } |x| \ge 2 \\ 4 - x^2, & \text{при } |x| < 2 \end{cases}$
д) $y = (|x| - 1)(|x| + 4)$
Сначала раскроем скобки, рассматривая $|x|$ как единую переменную:
$y = |x|^2 + 4|x| - |x| - 4 = |x|^2 + 3|x| - 4$.
Поскольку $|x|^2 = x^2$ для любого действительного $x$, мы можем переписать функцию как:
$y = x^2 + 3|x| - 4$.
Теперь раскроем модуль $|x|$:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3x - 4$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3(-x) - 4 = x^2 - 3x - 4$.
Заметим, что это четная функция, так как $y(-x) = (-x)^2 + 3|-x| - 4 = x^2 + 3|x| - 4 = y(x)$.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 3x - 4, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 - 3x - 4, & \text{при } x < 0 \end{cases}$
е) $y = (|x| - 3)(|x| + 2)$
Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки:
$y = |x|^2 + 2|x| - 3|x| - 6 = |x|^2 - |x| - 6$.
Используя свойство $|x|^2 = x^2$, получаем:
$y = x^2 - |x| - 6$.
Теперь раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x^2 - x - 6$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = x^2 - (-x) - 6 = x^2 + x - 6$.
Данная функция также является четной.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x - 6, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + x - 6, & \text{при } x < 0 \end{cases}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.82 расположенного на странице 39 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.82 (с. 39), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.