Номер 1.82, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.82, страница 39.

Условие.

1.82 a) $y = x|x|;$

В) $y = |x||x - 2|;$

Д) $y = (|x| - 1)(|x| + 4);$

б) $y = (x - 1)|x - 1|;$

Г) $y = |x + 2||x - 2|;$

е) $(|x| - 3)(|x| + 2).$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = x|x|$

Для того чтобы раскрыть модуль в выражении $y = x|x|$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:
$y = x \cdot x = x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вверх, для неотрицательных $x$.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:
$y = x \cdot (-x) = -x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вниз, для отрицательных $x$.

Объединяя оба случая, мы можем представить функцию в виде кусочно-заданной функции.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = (x - 1)|x - 1|$

Для раскрытия модуля в выражении $y = (x - 1)|x - 1|$ рассмотрим знак выражения под модулем, то есть $x - 1$. Критической точкой является $x=1$.

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:
$y = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1)$. Функция принимает вид:
$y = (x - 1)(-(x - 1)) = -(x - 1)^2$.

Объединяя эти два случая, получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} (x - 1)^2, & \text{при } x \ge 1 \\ -(x - 1)^2, & \text{при } x < 1 \end{cases}$

в) $y = |x||x - 2|$

В данном выражении два модуля: $|x|$ и $|x - 2|$. Критические точки, в которых подмодульные выражения равны нулю, это $x=0$ и $x=2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны.

1. При $x < 0$: $|x| = -x$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
$y = (-x) \cdot (-(x - 2)) = x(x - 2) = x^2 - 2x$.

2. При $0 \le x < 2$: $|x| = x$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
$y = x \cdot (-(x - 2)) = -x(x - 2) = -x^2 + 2x$.

3. При $x \ge 2$: $|x| = x$ и $|x - 2| = x - 2$.
$y = x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x$.

Объединяя полученные результаты, получаем кусочно-заданную функцию. Также можно заметить, что исходное выражение эквивалентно $y = |x(x-2)| = |x^2-2x|$.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{при } x < 0 \text{ или } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x, & \text{при } 0 \le x < 2 \end{cases}$

г) $y = |x + 2||x - 2|$

Воспользуемся свойством модулей $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$:
$y = |(x + 2)(x - 2)|$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению в скобках:
$y = |x^2 - 4|$.

Теперь раскроем модуль, рассмотрев знак выражения $x^2 - 4$. Оно равно нулю при $x = -2$ и $x = 2$.

1. Если $x^2 - 4 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, то $|x^2 - 4| = x^2 - 4$.

2. Если $x^2 - 4 < 0$, то есть $x \in (-2, 2)$, то $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.

Таким образом, функция задается кусочно.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{при } |x| \ge 2 \\ 4 - x^2, & \text{при } |x| < 2 \end{cases}$

д) $y = (|x| - 1)(|x| + 4)$

Сначала раскроем скобки, рассматривая $|x|$ как единую переменную:
$y = |x|^2 + 4|x| - |x| - 4 = |x|^2 + 3|x| - 4$.
Поскольку $|x|^2 = x^2$ для любого действительного $x$, мы можем переписать функцию как:
$y = x^2 + 3|x| - 4$.

Теперь раскроем модуль $|x|$:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3x - 4$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3(-x) - 4 = x^2 - 3x - 4$.

Заметим, что это четная функция, так как $y(-x) = (-x)^2 + 3|-x| - 4 = x^2 + 3|x| - 4 = y(x)$.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 3x - 4, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 - 3x - 4, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

е) $y = (|x| - 3)(|x| + 2)$

Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки:
$y = |x|^2 + 2|x| - 3|x| - 6 = |x|^2 - |x| - 6$.
Используя свойство $|x|^2 = x^2$, получаем:
$y = x^2 - |x| - 6$.

Теперь раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x^2 - x - 6$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = x^2 - (-x) - 6 = x^2 + x - 6$.

Данная функция также является четной.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x - 6, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + x - 6, & \text{при } x < 0 \end{cases}$