Номер 1.78, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.78, страница 38.

Условие.

1.78 Дан график функции $y = f(x)$ (см. рис. 51). Постройте график функции $y = f(|x|)$.

а) $y = f(x)$

б) $y = f(x)$

Рис. 51

Решение 1.

Решение 4.

а)

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, зная график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, которое затрагивает аргумент функции. Общее правило для построения графика функции $y = f(|x|)$ следующее:

1. Часть графика функции $y = f(x)$, которая соответствует неотрицательным значениям аргумента ($x \ge 0$), то есть находится в правой полуплоскости и на оси $y$, остается без изменений.
2. Часть графика функции $y = f(x)$, которая соответствует отрицательным значениям аргумента ($x < 0$), то есть находится в левой полуплоскости, удаляется.
3. Оставшаяся часть графика (из пункта 1) симметрично отражается относительно оси ординат ($Oy$) в левую полуплоскость.

В результате этих действий получается график четной функции, симметричный относительно оси $y$, поскольку $f(|-x|) = f(|x|)$.

Применим это правило к графику, изображенному на рисунке 51, а):

1. Сохраняем часть исходного графика для $x \ge 0$. Эта часть начинается на оси $y$ в точке с ординатой примерно $1.5$, пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, достигает локального минимума в точке с координатами примерно $(2, -2)$, затем снова пересекает ось абсцисс в точке $x=3$ и далее возрастает.

2. Удаляем часть исходного графика для $x < 0$, которая представляет собой дугу параболы с вершиной в левой полуплоскости.

3. Отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) относительно оси $y$. При этом точка $(1, 0)$ отобразится в точку $(-1, 0)$, точка минимума $(2, -2)$ — в точку $(-2, -2)$, а точка $(3, 0)$ — в точку $(-3, 0)$.

Итоговый график будет состоять из двух ветвей, симметричных относительно оси $y$.

Ответ: График функции $y = f(|x|)$ для случая а) получается путем сохранения части исходного графика для $x \ge 0$ и добавления ее зеркального отражения относительно оси $y$ для $x < 0$. Исходная часть графика для $x < 0$ отбрасывается. Полученный график симметричен относительно оси $y$, пересекает ось $x$ в точках $-3, -1, 1, 3$ и имеет два локальных минимума в точках с абсциссами примерно $-2$ и $2$.

б)

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ по графику $y = f(x)$ воспользуемся тем же алгоритмом, что и в пункте а).

1. Сохраняем часть исходного графика $y = f(x)$ для $x \ge 0$. Судя по рисунку 51, б), эта часть начинается в точке $(0, 1)$, достигает локального максимума в точке $(1, 2)$, затем убывает, пересекая ось абсцисс в точке $(4, 0)$, достигает локального минимума в точке с координатами примерно $(5, -1)$ и затем возрастает.

2. Удаляем часть исходного графика для $x < 0$.

3. Симметрично отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) относительно оси $y$. Точка $(0, 1)$ на оси симметрии останется на месте. Локальный максимум в $(1, 2)$ отразится в локальный максимум в $(-1, 2)$. Точка пересечения оси $x$ $(4, 0)$ отразится в точку $(-4, 0)$. Локальный минимум в $(5, -1)$ отразится в локальный минимум в $(-5, -1)$.

Полученный график функции $y = f(|x|)$ будет симметричен относительно оси ординат.

Ответ: График функции $y = f(|x|)$ для случая б) строится путем сохранения части исходного графика, где $x \ge 0$, и ее симметричного отражения относительно оси $y$. Часть исходного графика для $x < 0$ удаляется. Новый график симметричен относительно оси $y$, имеет точку $(0, 1)$ на оси симметрии, локальные максимумы в точках $x=-1$ и $x=1$, и локальные минимумы в точках с абсциссами примерно $x=-5$ и $x=5$.