Страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.75° Как построить график функции $y = |f(x)|$, если дан график функции $y = f(x)$?

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, имея готовый график функции $y = f(x)$, следует исходить из определения абсолютной величины (модуля).

По определению, модуль раскрывается следующим образом: $|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Применительно к функции $f(x)$ это означает, что значение $y$ в каждой точке $x$ будет вычисляться по-разному в зависимости от знака $f(x)$: $y = |f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{если } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{если } f(x) < 0 \end{cases}$

Это правило напрямую определяет алгоритм построения графика:

1. Анализируем случай $f(x) \ge 0$. Это те участки графика $y=f(x)$, которые лежат выше оси абсцисс ($Ox$) или на самой оси. Для этих участков, согласно определению, $|f(x)| = f(x)$. Это значит, что соответствующая часть графика функции $y = |f(x)|$ полностью совпадает с графиком $y = f(x)$. Таким образом, всю часть графика, находящуюся в верхней полуплоскости (и на оси $Ox$), мы оставляем без изменений.
2. Анализируем случай $f(x) < 0$. Это те участки графика $y=f(x)$, которые лежат ниже оси абсцисс ($Ox$). Для этих участков $|f(x)| = -f(x)$. Преобразование графика $y = f(x)$ в $y = -f(x)$ — это симметричное (зеркальное) отражение относительно оси абсцисс ($Ox$). Следовательно, всю часть графика, находящуюся в нижней полуплоскости, необходимо симметрично отразить относительно оси $Ox$ в верхнюю полуплоскость.

В результате объединения этих двух шагов весь итоговый график функции $y = |f(x)|$ будет расположен не ниже оси $Ox$ (т.е. в верхней полуплоскости и на самой оси).

Ответ: Чтобы построить график функции $y=|f(x)|$, зная график функции $y=f(x)$, нужно ту часть графика $y=f(x)$, которая лежит выше оси $Ox$ или на ней, оставить без изменений, а ту часть, которая лежит ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.

1.76 Дан график функции $y = f(x)$ (рис. 51, а, б). Постройте график функции $y = |f(x)|$.

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, зная график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, основанное на определении модуля числа. Модуль числа $|a|$ равен самому числу $a$, если $a \geq 0$, и равен $-a$, если $a < 0$.

Применительно к функции это означает:

• Если $f(x) \geq 0$ (то есть, график функции находится на или выше оси $Ox$), то $|f(x)| = f(x)$. В этом случае график остается без изменений.
• Если $f(x) < 0$ (то есть, график функции находится ниже оси $Ox$), то $|f(x)| = -f(x)$. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика относительно оси $Ox$.

Таким образом, общий алгоритм построения графика $y = |f(x)|$ следующий:

1. Все точки графика функции $y = f(x)$, которые находятся на оси $Ox$ или в верхней полуплоскости (где $y \geq 0$), оставляем на своих местах.
2. Все точки графика функции $y = f(x)$, которые находятся в нижней полуплоскости (где $y < 0$), симметрично отражаем относительно оси $Ox$ в верхнюю полуплоскость.

Так как изображения для рисунков 51, а и б не предоставлены, приведем общее решение для каждого пункта, которое необходимо применить к соответствующему графику.

а)

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$ для графика, представленного на рисунке 51, а:

1. Определите интервалы по оси $x$, на которых график функции $f(x)$ расположен выше или на оси $Ox$. На этих интервалах новый график $y = |f(x)|$ будет полностью совпадать с исходным графиком $y = f(x)$.
2. Определите интервалы по оси $x$, на которых график функции $f(x)$ расположен строго ниже оси $Ox$.
3. Для этих интервалов постройте зеркальное отражение соответствующей части графика относительно оси $Ox$. Например, если точка $(x_0, y_0)$ принадлежала исходному графику и $y_0 < 0$, то на новом графике ей будет соответствовать точка $(x_0, -y_0)$, где $-y_0 > 0$.

В результате весь построенный график функции $y = |f(x)|$ будет расположен в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

Ответ: Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше оси абсцисс и на самой оси, сохраняется, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс, симметрично отражается относительно этой оси.

б)

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ для графика, представленного на рисунке 51, б, применяется тот же самый алгоритм:

1. Часть графика $y = f(x)$, для которой выполняется условие $f(x) \geq 0$ (точки на и выше оси $Ox$), остается без изменений.
2. Часть графика $y = f(x)$, для которой выполняется условие $f(x) < 0$ (точки ниже оси $Ox$), симметрично отражается относительно оси $Ox$.

Например, если на рисунке 51, б, график пересекает ось $Ox$ в нескольких точках, то в этих точках график $y = |f(x)|$ будет "касаться" оси $Ox$ и уходить вверх. Если у исходной функции был локальный минимум с отрицательным значением $y_{min}$, то у новой функции в этой же точке $x$ будет локальный максимум со значением $|y_{min}|$.

Ответ: Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше оси абсцисс и на самой оси, сохраняется, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс, симметрично отражается относительно этой оси.

1.77° Как построить график функции $y = f(|x|)$, если дан график функции $y = f(x)$?

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо разобрать, как модуль аргумента влияет на вид функции.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака аргумента $x$:
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. В этом случае наша функция принимает вид $y = f(x)$. Это означает, что для всех неотрицательных значений $x$ (то есть в правой координатной полуплоскости, включая ось OY) график функции $y = f(|x|)$ полностью совпадает с исходным графиком функции $y = f(x)$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. В этом случае наша функция принимает вид $y = f(-x)$. Это означает, что значение функции $y = f(|x|)$ в любой отрицательной точке $x$ (например, в точке $x = -a$, где $a > 0$) будет равно значению исходной функции $y = f(x)$ в симметричной положительной точке $-x$ (то есть в точке $x = a$). Геометрически это значит, что часть графика для $x < 0$ является зеркальным отражением (симметрией) части графика для $x > 0$ относительно оси ординат (оси OY).

Из этого следует, что функция $y = f(|x|)$ всегда является четной, поскольку $f(|-x|) = f(|x|)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции всегда симметричен относительно оси OY.

Таким образом, можно сформулировать следующий алгоритм построения графика:
1) Часть графика функции $y=f(x)$, которая соответствует значениям $x \ge 0$ (расположена в правой полуплоскости и на оси OY), оставляется без изменений.
2) Часть графика функции $y=f(x)$, которая соответствует значениям $x < 0$ (расположена в левой полуплоскости), удаляется.
3) Сохраненная на первом шаге часть графика отражается симметрично относительно оси OY в левую полуплоскость.

Полученное объединение исходной части графика для $x \ge 0$ и ее симметричного отражения для $x < 0$ и будет искомым графиком функции $y = f(|x|)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = f(|x|)$ необходимо: 1) удалить часть графика $y=f(x)$, находящуюся в левой полуплоскости ($x < 0$); 2) часть графика $y=f(x)$, находящуюся в правой полуплоскости ($x \ge 0$), оставить без изменений; 3) отразить оставшуюся часть графика симметрично относительно оси OY в левую полуплоскость.

1.78 Дан график функции $y = f(x)$ (см. рис. 51). Постройте график функции $y = f(|x|)$.

а) $y = f(x)$

б) $y = f(x)$

Рис. 51

а)

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, зная график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, которое затрагивает аргумент функции. Общее правило для построения графика функции $y = f(|x|)$ следующее:

1. Часть графика функции $y = f(x)$, которая соответствует неотрицательным значениям аргумента ($x \ge 0$), то есть находится в правой полуплоскости и на оси $y$, остается без изменений.
2. Часть графика функции $y = f(x)$, которая соответствует отрицательным значениям аргумента ($x < 0$), то есть находится в левой полуплоскости, удаляется.
3. Оставшаяся часть графика (из пункта 1) симметрично отражается относительно оси ординат ($Oy$) в левую полуплоскость.

В результате этих действий получается график четной функции, симметричный относительно оси $y$, поскольку $f(|-x|) = f(|x|)$.

Применим это правило к графику, изображенному на рисунке 51, а):

1. Сохраняем часть исходного графика для $x \ge 0$. Эта часть начинается на оси $y$ в точке с ординатой примерно $1.5$, пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, достигает локального минимума в точке с координатами примерно $(2, -2)$, затем снова пересекает ось абсцисс в точке $x=3$ и далее возрастает.

2. Удаляем часть исходного графика для $x < 0$, которая представляет собой дугу параболы с вершиной в левой полуплоскости.

3. Отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) относительно оси $y$. При этом точка $(1, 0)$ отобразится в точку $(-1, 0)$, точка минимума $(2, -2)$ — в точку $(-2, -2)$, а точка $(3, 0)$ — в точку $(-3, 0)$.

Итоговый график будет состоять из двух ветвей, симметричных относительно оси $y$.

Ответ: График функции $y = f(|x|)$ для случая а) получается путем сохранения части исходного графика для $x \ge 0$ и добавления ее зеркального отражения относительно оси $y$ для $x < 0$. Исходная часть графика для $x < 0$ отбрасывается. Полученный график симметричен относительно оси $y$, пересекает ось $x$ в точках $-3, -1, 1, 3$ и имеет два локальных минимума в точках с абсциссами примерно $-2$ и $2$.

б)

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ по графику $y = f(x)$ воспользуемся тем же алгоритмом, что и в пункте а).

1. Сохраняем часть исходного графика $y = f(x)$ для $x \ge 0$. Судя по рисунку 51, б), эта часть начинается в точке $(0, 1)$, достигает локального максимума в точке $(1, 2)$, затем убывает, пересекая ось абсцисс в точке $(4, 0)$, достигает локального минимума в точке с координатами примерно $(5, -1)$ и затем возрастает.

2. Удаляем часть исходного графика для $x < 0$.

3. Симметрично отражаем сохраненную часть графика ($x \ge 0$) относительно оси $y$. Точка $(0, 1)$ на оси симметрии останется на месте. Локальный максимум в $(1, 2)$ отразится в локальный максимум в $(-1, 2)$. Точка пересечения оси $x$ $(4, 0)$ отразится в точку $(-4, 0)$. Локальный минимум в $(5, -1)$ отразится в локальный минимум в $(-5, -1)$.

Полученный график функции $y = f(|x|)$ будет симметричен относительно оси ординат.

Ответ: График функции $y = f(|x|)$ для случая б) строится путем сохранения части исходного графика, где $x \ge 0$, и ее симметричного отражения относительно оси $y$. Часть исходного графика для $x < 0$ удаляется. Новый график симметричен относительно оси $y$, имеет точку $(0, 1)$ на оси симметрии, локальные максимумы в точках $x=-1$ и $x=1$, и локальные минимумы в точках с абсциссами примерно $x=-5$ и $x=5$.