Страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.59 а) $y = x^3$ и $y = (-x)^3$;

б) $y = x^4$ и $y = (-x)^4$;

в) $y = 3^x$ и $y = 3^{-x}$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$;

д) $y = \sin x$ и $y = \sin (-x)$;

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg} (-x)$.

а) Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = (-x)^3$.

Упростим выражение для второй функции, используя свойства степени: $y = (-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -x^3$.

Таким образом, мы сравниваем функции $y = x^3$ и $y = -x^3$. Эти функции не являются тождественными. Функция $f(x) = x^3$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. График функции $y = -x^3$ является симметричным отражением графика функции $y = x^3$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Также, поскольку $y = (-x)^3$ является функцией вида $y = f(-x)$ для $f(x)=x^3$, ее график также является отражением графика $y=x^3$ относительно оси ординат (оси Oy). Для нечетной функции эти два преобразования эквивалентны.

Ответ: функции $y = x^3$ и $y = (-x)^3$ различны. Вторая функция может быть записана как $y = -x^3$.

б) Рассмотрим две функции: $y = x^4$ и $y = (-x)^4$.

Упростим выражение для второй функции, используя свойства степени: $y = (-x)^4 = (-1)^4 \cdot x^4 = 1 \cdot x^4 = x^4$.

Таким образом, мы сравниваем функции $y = x^4$ и $y = x^4$. Эти две функции тождественны. Это связано с тем, что функция $f(x) = x^4$ является четной, то есть $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$ для любого значения $x$.

Ответ: функции $y = x^4$ и $y = (-x)^4$ являются одной и той же функцией.

в) Рассмотрим две функции: $y = 3^x$ и $y = 3^{-x}$.

Вторую функцию можно представить в виде $y = (\frac{1}{3})^x$. Пусть $f(x) = 3^x$. Тогда вторая функция имеет вид $y = 3^{-x} = f(-x)$. Функции $y = 3^x$ и $y = 3^{-x}$ не являются тождественными. Например, при $x = 1$, значения функций равны $y=3$ и $y=1/3$ соответственно. График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: функции $y = 3^x$ и $y = 3^{-x}$ различны. График второй функции является зеркальным отражением графика первой относительно оси Oy.

г) Рассмотрим две функции: $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$.

Пусть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Тогда вторая функция имеет вид $y = f(-x) = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$. Эти функции различны и имеют разные области определения. Для первой функции область определения — $x > 0$, а для второй — $-x > 0$, то есть $x < 0$. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$ различны. График второй функции является зеркальным отражением графика первой относительно оси Oy.

д) Рассмотрим две функции: $y = \sin x$ и $y = \sin(-x)$.

Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin x$ для любого значения $x$. Таким образом, вторая функция может быть переписана как $y = -\sin x$.

Сравниваемые функции — это $y = \sin x$ и $y = -\sin x$. Они не являются тождественными. График функции $y = -\sin x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Так как синус — нечетная функция, это преобразование эквивалентно отражению относительно оси ординат.

Ответ: функции $y = \sin x$ и $y = \sin(-x)$ различны. Вторая функция может быть записана как $y = -\sin x$.

е) Рассмотрим две функции: $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg}(-x)$.

Функция тангенс является нечетной, что означает $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ для любого $x$ из области определения. Таким образом, вторая функция может быть переписана как $y = -\operatorname{tg} x$.

Сравниваемые функции — это $y = \operatorname{tg} x$ и $y = -\operatorname{tg} x$. Они не являются тождественными. График функции $y = -\operatorname{tg} x$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg} x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Так как тангенс — нечетная функция, это преобразование эквивалентно отражению относительно оси ординат.

Ответ: функции $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg}(-x)$ различны. Вторая функция может быть записана как $y = -\operatorname{tg} x$.

1.60 а) $y = x^3$ и $y = (x + 1)^3$;

б) $y = x^4$ и $y = (x - 1)^4$;

в) $y = 3^x$ и $y = 3^{x-2}$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 2)$;

д) $y = \sin x$ и $y = \sin (x - 1)$;

е) $y = \tan x$ и $y = \tan (x + 2)$.

Для решения данной задачи мы будем использовать правило преобразования графиков функций. График функции $y = f(x-a)$ можно получить из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $a$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг выполняется вправо. Если $a < 0$, сдвиг выполняется влево.

а) $y = x^3$ и $y = (x + 1)^3$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = x^3$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = (x+1)^3 = f(x+1)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $x+1 = x - (-1)$, то есть $a = -1$.

Так как $a = -1 < 0$, сдвиг происходит влево на $|-1| = 1$ единицу.

Ответ: График функции $y = (x + 1)^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

б) $y = x^4$ и $y = (x - 1)^4$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = x^4$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = (x-1)^4 = f(x-1)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $a = 1$.

Так как $a = 1 > 0$, сдвиг происходит вправо на $1$ единицу.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

в) $y = 3^x$ и $y = 3^{x-2}$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = 3^x$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = 3^{x-2} = f(x-2)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $a = 2$.

Так как $a = 2 > 0$, сдвиг происходит вправо на $2$ единицы.

Ответ: График функции $y = 3^{x-2}$ получается из графика функции $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x+2) = f(x+2)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $x+2 = x - (-2)$, то есть $a = -2$.

Так как $a = -2 < 0$, сдвиг происходит влево на $|-2| = 2$ единицы.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

д) $y = \sin x$ и $y = \sin(x - 1)$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = \sin x$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = \sin(x-1) = f(x-1)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $a = 1$.

Так как $a = 1 > 0$, сдвиг происходит вправо на $1$ единицу.

Ответ: График функции $y = \sin(x - 1)$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg}(x + 2)$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = \operatorname{tg} x$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = \operatorname{tg}(x+2) = f(x+2)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $x+2 = x - (-2)$, то есть $a = -2$.

Так как $a = -2 < 0$, сдвиг происходит влево на $|-2| = 2$ единицы.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(x + 2)$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg} x$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

1.61 a) $y = x^3$ и $y = x^3 + 1$;

в) $y = 3^x$ и $y = 3^x - 2$;

д) $y = \sin x$ и $y = \sin x - 2;

б) $y = x^4$ и $y = x^4 - 1;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2;

e) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg} x + 2.

а) Даны функции $y = x^3$ и $y = x^3 + 1$.

График функции вида $y = f(x) + c$ получается из графика функции $y = f(x)$ с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат ($Oy$). Если $c > 0$, то перенос осуществляется на $c$ единиц вверх. Если $c < 0$, то перенос осуществляется на $|c|$ единиц вниз.

В данном случае, вторая функция $y = x^3 + 1$ получается из первой функции $f(x) = x^3$ добавлением константы $c = 1$. Поскольку $c > 0$, для получения графика второй функции необходимо график первой функции сместить на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = x^3 + 1$ можно получить из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

б) Даны функции $y = x^4$ и $y = x^4 - 1$.

Вторая функция $y = x^4 - 1$ получается из первой функции $f(x) = x^4$ добавлением константы $c = -1$. Так как $c < 0$, для получения графика второй функции необходимо график первой функции сместить на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = x^4 - 1$ можно получить из графика функции $y = x^4$ путем параллельного переноса на 1 единицу вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

в) Даны функции $y = 3^x$ и $y = 3^x - 2$.

Вторая функция $y = 3^x - 2$ получается из первой функции $f(x) = 3^x$ добавлением константы $c = -2$. Так как $c < 0$, для получения графика второй функции необходимо график первой функции сместить на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = 3^x - 2$ можно получить из графика функции $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

г) Даны функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$.

Вторая функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$ получается из первой функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ добавлением константы $c = 2$. Так как $c > 0$, для получения графика второй функции необходимо график первой функции сместить на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$ можно получить из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

д) Даны функции $y = \sin x$ и $y = \sin x - 2$.

Вторая функция $y = \sin x - 2$ получается из первой функции $f(x) = \sin x$ добавлением константы $c = -2$. Так как $c < 0$, для получения графика второй функции необходимо график первой функции сместить на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 2$ можно получить из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

е) Даны функции $y = \tg x$ и $y = \tg x + 2$.

Вторая функция $y = \tg x + 2$ получается из первой функции $f(x) = \tg x$ добавлением константы $c = 2$. Так как $c > 0$, для получения графика второй функции необходимо график первой функции сместить на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Ответ: График функции $y = \tg x + 2$ можно получить из графика функции $y = \tg x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

1.62 a) $y = x^3$ и $y = 2x^3;$

В) $y = 3^x$ и $y = -2 \cdot 3^x;$

Д) $y = \sin x$ и $y = 3 \sin x;$

б) $y = x^4$ и $y = -2x^4;$

Г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x;$

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = -2 \operatorname{tg} x.$

а) Чтобы получить график функции $y = 2x^3$ из графика функции $y = x^3$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = x^3$ и коэффициент $k = 2$. Поскольку $k > 1$, данное преобразование представляет собой растяжение графика исходной функции вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = x^3$ перейдет в точку $(x_0, 2y_0)$ на графике $y = 2x^3$.
Ответ: График функции $y = 2x^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза.

б) Чтобы получить график функции $y = -2x^4$ из графика функции $y = x^4$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = x^4$ и коэффициент $k = -2$. Так как $|k| = |-2| = 2 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Поскольку $k < 0$, необходимо также выполнить симметричное отражение графика относительно оси абсцисс ($Ox$).
Ответ: График функции $y = -2x^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим отражением относительно оси $Ox$.

в) Чтобы получить график функции $y = -2 \cdot 3^x$ из графика функции $y = 3^x$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = 3^x$ и коэффициент $k = -2$. Так как $|k| = |-2| = 2 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Поскольку $k < 0$, необходимо также выполнить симметричное отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y = -2 \cdot 3^x$ получается из графика функции $y = 3^x$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим отражением относительно оси $Ox$.

г) Чтобы получить график функции $y = 2\log_{\frac{1}{3}}x$ из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}}x$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}x$ и коэффициент $k = 2$. Поскольку $k > 1$, данное преобразование представляет собой растяжение графика исходной функции вдоль оси $Oy$ в 2 раза.
Ответ: График функции $y = 2\log_{\frac{1}{3}}x$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза.

д) Чтобы получить график функции $y = 3\sin x$ из графика функции $y = \sin x$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = \sin x$ и коэффициент $k = 3$. Поскольку $k > 1$, данное преобразование представляет собой растяжение графика исходной функции вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Это приводит к увеличению амплитуды функции с 1 до 3.
Ответ: График функции $y = 3\sin x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 3 раза.

е) Чтобы получить график функции $y = -2\operatorname{tg}x$ из графика функции $y = \operatorname{tg}x$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = \operatorname{tg}x$ и коэффициент $k = -2$. Так как $|k| = |-2| = 2 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Поскольку $k < 0$, необходимо также выполнить симметричное отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y = -2\operatorname{tg}x$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg}x$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим отражением относительно оси $Ox$.

1.63 а) $y = x^3$ и $y = (2x)^3$;

б) $y = x^4$ и $y = (-2x)^4$;

В) $y = 3^x$ и $y = 3^{2x}$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$;

Д) $y = \sin x$ и $y = \sin 3x$;

е) $y = \text{tg } x$ и $y = \text{tg } (-2x)$.

а) Сравним функции $y = x^3$ и $y = (2x)^3$.

Пусть $f(x) = x^3$. Тогда вторая функция может быть записана как $y = f(2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=2$.

Поскольку $k > 1$, для получения графика функции $y = f(kx)$ из графика $y = f(x)$ необходимо выполнить сжатие графика вдоль оси абсцисс (горизонтальное сжатие) к оси ординат в $k$ раз. В данном случае, это сжатие в 2 раза.

Ответ: График функции $y=(2x)^3$ получается из графика функции $y=x^3$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

б) Сравним функции $y = x^4$ и $y = (-2x)^4$.

Пусть $f(x) = x^4$. Тогда вторая функция может быть записана как $y = f(-2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=-2$.

Данное преобразование состоит из двух шагов:
1. Сжатие графика к оси $Oy$ в $|k|=|-2|=2$ раза.
2. Симметричное отражение графика относительно оси $Oy$, так как $k < 0$.

Однако, исходная функция $y=x^4$ является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$. Поэтому отражение относительно оси $Oy$ не изменяет график. Таким образом, остается только сжатие.

Ответ: График функции $y=(-2x)^4$ получается из графика функции $y=x^4$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

в) Сравним функции $y = 3^x$ и $y = 3^{2x}$.

Пусть $f(x) = 3^x$. Тогда вторая функция записывается как $y = f(2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=2$.

Поскольку $k > 1$, для построения графика $y = 3^{2x}$ необходимо сжать график функции $y = 3^x$ по горизонтали к оси $Oy$ в 2 раза.

Ответ: График функции $y=3^{2x}$ получается из графика функции $y=3^x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

г) Сравним функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$.

Пусть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Тогда вторая функция записывается как $y = f(-2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=-2$.

Преобразование включает в себя:
1. Симметричное отражение графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ относительно оси $Oy$ (из-за знака минус перед аргументом). Область определения меняется с $x>0$ на $x<0$.
2. Сжатие полученного графика к оси $Oy$ в $|k|=|-2|=2$ раза.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$ и последующего сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

д) Сравним функции $y = \sin x$ и $y = \sin 3x$.

Пусть $f(x) = \sin x$. Тогда вторая функция — это $y = f(3x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=3$.

Так как $k > 1$, это сжатие графика по горизонтали к оси $Oy$ в 3 раза. Для периодических функций это означает, что период функции уменьшается в $k$ раз. Исходный период функции $y=\sin x$ равен $T=2\pi$. Период функции $y=\sin 3x$ равен $T' = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y=\sin 3x$ получается из графика функции $y=\sin x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 3 раза.

е) Сравним функции $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg} (-2x)$.

Пусть $f(x) = \operatorname{tg} x$. Тогда вторая функция — это $y = f(-2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=-2$.

Преобразование состоит из:
1. Симметричного отражения графика $y = \operatorname{tg} x$ относительно оси $Oy$ (из-за отрицательного коэффициента $k$).
2. Сжатия графика к оси $Oy$ в $|k|=|-2|=2$ раза.

Период функции $y=\operatorname{tg} x$ равен $T=\pi$. В результате преобразования период новой функции $y=\operatorname{tg}(-2x)$ станет $T' = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{|-2|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y=\operatorname{tg}(-2x)$ получается из графика функции $y=\operatorname{tg} x$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$ и последующего сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

1.64 a) $y = x^3$ и $x = y^3$;

в) $y = 3^x$ и $x = 3^y$;

д) $y = \sin x$ и $x = \sin y$;

б) $y = x^4$ и $x = y^4$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $x = \log_{\frac{1}{3}} y$;

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $x = \operatorname{tg} y$.

а) $y=x^3$ и $x=y^3$

Второе уравнение $x=y^3$ задает функцию, обратную к функции $y=x^3$, так как оно получено из первого заменой переменных $x$ и $y$ местами. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$. Точки пересечения таких графиков могут лежать на этой прямой.

Чтобы найти точки пересечения, решим систему уравнений. Можно подставить $y$ из первого уравнения во второе:

$x = (x^3)^3$

$x = x^9$

$x^9 - x = 0$

$x(x^8 - 1) = 0$

$x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0$

$x(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$

$x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = 0$

Множители $(x^2+1)$ и $(x^4+1)$ не имеют действительных корней. Следовательно, действительные решения уравнения:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x^3$:

Если $x=0$, то $y=0^3=0$. Точка $(0, 0)$.

Если $x=1$, то $y=1^3=1$. Точка $(1, 1)$.

Если $x=-1$, то $y=(-1)^3=-1$. Точка $(-1, -1)$.

Так как функция $y=x^3$ является строго возрастающей, все точки пересечения ее графика с графиком обратной функции лежат на прямой $y=x$.

Ответ: $(0, 0), (1, 1), (-1, -1)$.

б) $y=x^4$ и $x=y^4$

Графики этих уравнений также симметричны относительно прямой $y=x$. Из уравнения $x=y^4$ следует, что $x \ge 0$. Из уравнения $y=x^4$ следует, что $y \ge 0$. Решения будем искать в первом координатном угле.

Подставим $y$ из первого уравнения во второе:

$x = (x^4)^4$

$x = x^{16}$

$x^{16} - x = 0$

$x(x^{15} - 1) = 0$

Учитывая, что $x \ge 0$, получаем два решения:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x^4$:

Если $x=0$, то $y=0^4=0$. Точка $(0, 0)$.

Если $x=1$, то $y=1^4=1$. Точка $(1, 1)$.

На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y=x^4$ является строго возрастающей, поэтому все точки пересечения в этой области лежат на прямой $y=x$.

Ответ: $(0, 0), (1, 1)$.

в) $y=3^x$ и $x=3^y$

Функции $y=3^x$ и $y=\log_3 x$ (которая следует из $x=3^y$) являются взаимно обратными и строго возрастающими. Их точки пересечения должны лежать на прямой $y=x$. Для их нахождения решим уравнение $3^x = x$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - x$. Ее производная $f'(x) = 3^x \ln 3 - 1$. Найдем точку минимума: $f'(x) = 0 \Rightarrow 3^x = \frac{1}{\ln 3}$. Минимальное значение функции $f(x)$ в этой точке положительно, так как $f(x) = \frac{1}{\ln 3} - (-\log_3(\ln 3)) = \frac{1}{\ln 3} + \log_3(\ln 3) > 0$.

Поскольку минимальное значение функции $3^x-x$ больше нуля, уравнение $3^x = x$ не имеет действительных решений. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: решений нет.

г) $y = \log_{1/3} x$ и $x = \log_{1/3} y$

Функции $y=\log_{1/3} x$ и $y=(1/3)^x$ (следует из $x = \log_{1/3} y$) являются взаимно обратными. Область определения для обеих переменных: $x>0, y>0$.

Так как основание логарифма $1/3 < 1$, функция $y = \log_{1/3} x$ является убывающей. Для убывающих функций точки пересечения с обратной функцией могут лежать как на прямой $y=x$, так и вне ее.

Найдем точки пересечения на прямой $y=x$, решив уравнение $x = \log_{1/3} x$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \log_{1/3} x - x$. Ее производная $f'(x) = \frac{1}{x\ln(1/3)} - 1 = -\frac{1}{x\ln 3} - 1$. Так как $x>0$, то $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ строго убывающая. Это означает, что уравнение $f(x)=0$ может иметь не более одного решения.

Покажем, что решение существует. При $x=1/3$, $f(1/3) = \log_{1/3}(1/3) - 1/3 = 1 - 1/3 = 2/3 > 0$. При $x=1$, $f(1) = \log_{1/3}(1) - 1 = 0 - 1 = -1 < 0$. Так как функция непрерывна и меняет знак на интервале $(1/3, 1)$, она имеет единственный корень $x_0$ на этом интервале. Точного значения для $x_0$ в элементарных функциях нет.

Таким образом, существует единственная точка пересечения на прямой $y=x$: $(x_0, x_0)$, где $x_0$ - корень уравнения $x = \log_{1/3} x$.

Существование других точек пересечения (пар $(a, b)$ и $(b, a)$, где $a \neq b$) требует решения трансцендентного уравнения $x = \log_{1/3}(\log_{1/3} x)$, что выходит за рамки стандартной программы. В некоторых случаях (например, для основания $1/16$) такие решения существуют. Для основания $1/3$ они тоже есть, но их нахождение требует численных методов.

Ответ: Существует как минимум одна точка пересечения $(x_0, x_0)$, где $x_0$ является решением уравнения $x = \log_{1/3} x$, $x_0 \in (1/3, 1)$.

д) $y = \sin x$ и $x = \sin y$

Графики этих уравнений симметричны относительно прямой $y=x$. Из уравнений следует, что $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$.

Решим систему. Подставим $y$ из первого уравнения во второе:

$x = \sin(\sin x)$

Рассмотрим функцию $g(x) = x - \sin(\sin x)$.

Известно, что для любого действительного $t \neq 0$ выполняется неравенство $|\sin t| < |t|$.

Если $x > 0$, то $x > \sin x > \sin(\sin x)$, так как $\sin x \in (0, 1]$ и на этом интервале синус также меньше своего аргумента. Значит, $x - \sin(\sin x) > 0$.

Если $x < 0$, то $x < \sin x < \sin(\sin x)$ (неравенства меняют знак), поэтому $x - \sin(\sin x) < 0$.

Если $x=0$, то $0 = \sin(\sin 0) = 0$.

Таким образом, единственным решением уравнения $x = \sin(\sin x)$ является $x=0$.

Если $x=0$, то из $y=\sin x$ получаем $y = \sin 0 = 0$.

Единственная точка пересечения - это $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

е) $y = \tg x$ и $x = \tg y$

Графики данных уравнений симметричны относительно прямой $y=x$. Точки пересечения могут лежать на этой прямой. Найдем их из уравнения $x = \tg x$.

Рассмотрим графики функций $y=x$ и $y=\tg x$. Они пересекаются в бесконечном числе точек. Одна из них - $(0,0)$.

В каждом интервале вида $(k\pi - \pi/2, k\pi + \pi/2)$, где $k \in \mathbb{Z}$, функция $y=\tg x$ строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Прямая $y=x$ пересекает каждую такую ветвь тангенса ровно в одной точке. Обозначим абсциссы этих точек как $x_k$. Тогда $x_k = \tg x_k$.

Таким образом, существует бесконечное множество решений вида $(x_k, x_k)$, где $x_k$ — корень уравнения $x=\tg x$ в $k$-том интервале непрерывности тангенса. Например, $x_0=0$, $x_1 \in (\pi, 3\pi/2)$, $x_{-1} \in (-3\pi/2, -\pi)$ и т.д.

Если предположить, что существует решение $(a, b)$ с $a \neq b$, то $a$ и $b$ должны находиться в разных интервалах непрерывности тангенса. Доказательство отсутствия или наличия таких решений является сложной задачей. В рамках стандартного курса обычно рассматриваются только решения, лежащие на прямой $y=x$.

Ответ: Бесконечное множество точек $(x_k, x_k)$, где $x_k$ - решения уравнения $x=\tg x$ для $k \in \mathbb{Z}$.

1.65 a) $y = x^2 + 2x + 3;$

Б) $y = 2(x - 1)^3 - 3;$

В) $y = 2 \cdot 3^{x+1} - 6;$

Г) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}}(-2x + 3) - 4;$

Д) $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1;$

Е) $y = -2 \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3.$

а) Данная функция $y = x^2 + 2x + 3$ является квадратичной, то есть многочленом. Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, так как не существует таких значений $x$, при которых данное выражение не имело бы смысла (нет деления на ноль, извлечения корня из отрицательного числа или логарифмов).
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = 2(x - 1)^3 - 3$ также является многочленом (кубическая функция). Как и для любого многочлена, ее область определения — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $y = 2 \cdot 3^{x+1} - 6$ является показательной. Показательная функция $a^u$ определена для любого действительного показателя $u$, если основание $a > 0$ и $a \neq 1$. В данном случае основание равно 3, а показатель $x+1$ определен для любого $x$. Следовательно, ограничений на $x$ нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Функция $y = 2\log_{\frac{1}{3}}(-2x + 3) - 4$ является логарифмической. Область определения логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля. Поэтому необходимо решить неравенство:
$-2x + 3 > 0$
$-2x > -3$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$2x < 3$
$x < \frac{3}{2}$ или $x < 1.5$.
Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 1.5.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1.5)$.

д) Функция $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$ является тригонометрической (синус). Функция $\sin(u)$ определена для любого действительного значения аргумента $u$. Выражение в аргументе $2x + \frac{\pi}{3}$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, область определения всей функции — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

е) Функция $y = -2 \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3$ является тригонометрической (тангенс). Функция тангенса $\operatorname{tg}(u) = \frac{\sin(u)}{\cos(u)}$ не определена, когда ее знаменатель $\cos(u)$ равен нулю. Это происходит, когда аргумент $u$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае аргумент $u = x - \frac{\pi}{3}$. Таким образом, мы получаем ограничение:
$x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$:
$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$x \neq \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi k$
$x \neq \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Область определения — все действительные числа, кроме указанных точек.
Ответ: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{6} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$.

1.66 Дан график функции $y = f(x)$ (рис. 31, а, б).

Рис. 31

Постройте график функции:

а) $y = -f(x);$

б) $y = f(-x);$

в) $y = f(x - 2);$

г) $y = f(x + 3);$

д) $y = f(x + 1) - 2;$

е) $y = f(x - 2) + 1;$

ж) $y = 2f(x);$

з) $y = \frac{1}{2}f(x);$

и) $y = f(2x);$

к) $y = f(\frac{1}{2}x).$

Решение для графика на Рис. 31 а) (парабола)

Исходный график $y = f(x)$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(1, 4)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $x = -1$ и $x = 3$.

Преобразование $y = -f(x)$ означает симметричное отражение исходного графика относительно оси Ox. Каждая точка $(x, y)$ на исходном графике переходит в точку $(x, -y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(1, -4)$. Точки пересечения с осью Ox $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ остаются на месте.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(1, -4)$ и ветвями, направленными вверх.

Преобразование $y = f(-x)$ означает симметричное отражение исходного графика относительно оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ на исходном графике переходит в точку $(-x, y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(-1, 4)$. Точки $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ переходят в $(1, 0)$ и $(-3, 0)$ соответственно.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-1, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $-3$ и $1$.

Преобразование $y = f(x - 2)$ означает сдвиг (параллельный перенос) исходного графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x+2, y)$. Вершина $(1, 4)$ смещается в $(3, 4)$. Корни $-1$ и $3$ смещаются в $1$ и $5$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(3, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $1$ и $5$.

Преобразование $y = f(x + 3)$ означает сдвиг исходного графика на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x-3, y)$. Вершина $(1, 4)$ смещается в $(-2, 4)$. Корни $-1$ и $3$ смещаются в $-4$ и $0$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-2, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $-4$ и $0$.

Это комбинированное преобразование: сдвиг на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x-1, y-2)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в точку $(1-1, 4-2)$, то есть $(0, 2)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз.

Это комбинированное преобразование: сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x+2, y+1)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в точку $(1+2, 4+1)$, то есть $(3, 5)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(3, 5)$ и ветвями, направленными вниз.

Преобразование $y = 2f(x)$ означает растяжение графика в 2 раза вдоль оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x, 2y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(1, 8)$. Точки пересечения с осью Ox остаются на месте.

Ответ: Графиком является парабола, растянутая в 2 раза от оси Ox, с вершиной в точке $(1, 8)$ и ветвями вниз.

Преобразование $y = \frac{1}{2}f(x)$ означает сжатие графика в 2 раза к оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x, \frac{1}{2}y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(1, 2)$. Точки пересечения с осью Ox остаются на месте.

Ответ: Графиком является парабола, сжатая в 2 раза к оси Ox, с вершиной в точке $(1, 2)$ и ветвями вниз.

Преобразование $y = f(2x)$ означает сжатие графика в 2 раза к оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(\frac{x}{2}, y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(\frac{1}{2}, 4)$. Точки пересечения с осью Ox $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ переходят в $(-\frac{1}{2}, 0)$ и $(\frac{3}{2}, 0)$.

Ответ: Графиком является парабола, сжатая в 2 раза к оси Oy, с вершиной в точке $(0.5, 4)$ и ветвями вниз.

Преобразование $y = f(\frac{1}{2}x)$ означает растяжение графика в 2 раза от оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(2x, y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(2, 4)$. Точки пересечения с осью Ox $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ переходят в $(-2, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: Графиком является парабола, растянутая в 2 раза от оси Oy, с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями вниз.

Решение для графика на Рис. 31 б) (ломаная)

Исходный график $y = f(x)$ представляет собой ломаную линию, проходящую через три ключевые точки: $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$ (точка минимума) и $C(4, 1)$.

Отражение графика относительно оси Ox. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x, -y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-1, -2)$, $B'(2, 1)$, $C'(4, -1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-1, -2)$, $(2, 1)$ и $(4, -1)$. Точка $(2, 1)$ является точкой максимума.

Отражение графика относительно оси Oy. Координаты $(x, y)$ переходят в $(-x, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(1, 2)$, $B'(-2, -1)$, $C'(-4, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-4, 1)$, $(-2, -1)$ и $(1, 2)$. Точка $(-2, -1)$ является точкой минимума.

Сдвиг графика на 2 единицы вправо. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x+2, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(1, 2)$, $B'(4, -1)$, $C'(6, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(1, 2)$, $(4, -1)$ и $(6, 1)$. Точка $(4, -1)$ является точкой минимума.

Сдвиг графика на 3 единицы влево. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x-3, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-4, 2)$, $B'(-1, -1)$, $C'(1, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-4, 2)$, $(-1, -1)$ и $(1, 1)$. Точка $(-1, -1)$ является точкой минимума.

Сдвиг на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x-1, y-2)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-2, 0)$, $B'(1, -3)$, $C'(3, -1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-2, 0)$, $(1, -3)$ и $(3, -1)$. Точка $(1, -3)$ является точкой минимума.

Сдвиг на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x+2, y+1)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(1, 3)$, $B'(4, 0)$, $C'(6, 2)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(1, 3)$, $(4, 0)$ и $(6, 2)$. Точка $(4, 0)$ является точкой минимума.

Растяжение в 2 раза вдоль оси Oy. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x, 2y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-1, 4)$, $B'(2, -2)$, $C'(4, 2)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-1, 4)$, $(2, -2)$ и $(4, 2)$.

Сжатие в 2 раза к оси Ox. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x, \frac{1}{2}y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-1, 1)$, $B'(2, -0.5)$, $C'(4, 0.5)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-1, 1)$, $(2, -0.5)$ и $(4, 0.5)$.

Сжатие в 2 раза к оси Oy. Координаты $(x, y)$ переходят в $(\frac{x}{2}, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-0.5, 2)$, $B'(1, -1)$, $C'(2, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-0.5, 2)$, $(1, -1)$ и $(2, 1)$.

Растяжение в 2 раза от оси Oy. Координаты $(x, y)$ переходят в $(2x, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-2, 2)$, $B'(4, -1)$, $C'(8, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-2, 2)$, $(4, -1)$ и $(8, 1)$.