Номер 1.63, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.63, страница 31.

Условие.

1.63 а) $y = x^3$ и $y = (2x)^3$;

б) $y = x^4$ и $y = (-2x)^4$;

В) $y = 3^x$ и $y = 3^{2x}$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$;

Д) $y = \sin x$ и $y = \sin 3x$;

е) $y = \text{tg } x$ и $y = \text{tg } (-2x)$.

Решение 1.

Решение 4.

а) Сравним функции $y = x^3$ и $y = (2x)^3$.

Пусть $f(x) = x^3$. Тогда вторая функция может быть записана как $y = f(2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=2$.

Поскольку $k > 1$, для получения графика функции $y = f(kx)$ из графика $y = f(x)$ необходимо выполнить сжатие графика вдоль оси абсцисс (горизонтальное сжатие) к оси ординат в $k$ раз. В данном случае, это сжатие в 2 раза.

Ответ: График функции $y=(2x)^3$ получается из графика функции $y=x^3$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

б) Сравним функции $y = x^4$ и $y = (-2x)^4$.

Пусть $f(x) = x^4$. Тогда вторая функция может быть записана как $y = f(-2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=-2$.

Данное преобразование состоит из двух шагов:
1. Сжатие графика к оси $Oy$ в $|k|=|-2|=2$ раза.
2. Симметричное отражение графика относительно оси $Oy$, так как $k < 0$.

Однако, исходная функция $y=x^4$ является четной, так как $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$. Поэтому отражение относительно оси $Oy$ не изменяет график. Таким образом, остается только сжатие.

Ответ: График функции $y=(-2x)^4$ получается из графика функции $y=x^4$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

в) Сравним функции $y = 3^x$ и $y = 3^{2x}$.

Пусть $f(x) = 3^x$. Тогда вторая функция записывается как $y = f(2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=2$.

Поскольку $k > 1$, для построения графика $y = 3^{2x}$ необходимо сжать график функции $y = 3^x$ по горизонтали к оси $Oy$ в 2 раза.

Ответ: График функции $y=3^{2x}$ получается из графика функции $y=3^x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

г) Сравним функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$.

Пусть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Тогда вторая функция записывается как $y = f(-2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=-2$.

Преобразование включает в себя:
1. Симметричное отражение графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ относительно оси $Oy$ (из-за знака минус перед аргументом). Область определения меняется с $x>0$ на $x<0$.
2. Сжатие полученного графика к оси $Oy$ в $|k|=|-2|=2$ раза.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} (-2x)$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$ и последующего сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.

д) Сравним функции $y = \sin x$ и $y = \sin 3x$.

Пусть $f(x) = \sin x$. Тогда вторая функция — это $y = f(3x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=3$.

Так как $k > 1$, это сжатие графика по горизонтали к оси $Oy$ в 3 раза. Для периодических функций это означает, что период функции уменьшается в $k$ раз. Исходный период функции $y=\sin x$ равен $T=2\pi$. Период функции $y=\sin 3x$ равен $T' = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y=\sin 3x$ получается из графика функции $y=\sin x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 3 раза.

е) Сравним функции $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg} (-2x)$.

Пусть $f(x) = \operatorname{tg} x$. Тогда вторая функция — это $y = f(-2x)$. Это преобразование вида $y=f(kx)$ с коэффициентом $k=-2$.

Преобразование состоит из:
1. Симметричного отражения графика $y = \operatorname{tg} x$ относительно оси $Oy$ (из-за отрицательного коэффициента $k$).
2. Сжатия графика к оси $Oy$ в $|k|=|-2|=2$ раза.

Период функции $y=\operatorname{tg} x$ равен $T=\pi$. В результате преобразования период новой функции $y=\operatorname{tg}(-2x)$ станет $T' = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{|-2|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y=\operatorname{tg}(-2x)$ получается из графика функции $y=\operatorname{tg} x$ путем симметричного отражения относительно оси $Oy$ и последующего сжатия к оси $Oy$ в 2 раза.