Номер 1.70, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.70, страница 32.

Условие.

1.70 Постройте график функции:

а) $x = 2y$;

б) $x = y^2, y \ge 0$;

в) $x = 2^y$;

г) $x = \left(\frac{1}{2}\right)^y$;

д) $x = \sin y, -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$;

е) $x = \sqrt{1-y^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Уравнение $x=2y$ является линейным. Чтобы построить его график, можно выразить $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2}x$.

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

Для построения прямой достаточно найти две точки. Возьмем несколько значений $y$ и вычислим соответствующие значения $x$:

• Если $y=0$, то $x = 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $y=1$, то $x = 2 \cdot 1 = 2$. Точка $(2, 1)$.

Соединив эти точки, мы получим прямую линию, проходящую через начало координат.

Ответ: Графиком функции является прямая линия $y = \frac{1}{2}x$, проходящая через начало координат и, например, точку $(2, 1)$.

б)

Уравнение $x=y^2$ задает параболу. В отличие от стандартной параболы $y=x^2$, ветви которой направлены вверх, ветви параболы $x=y^2$ направлены вправо, а ее осью симметрии является ось $Ox$.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только ту часть параболы, которая находится в верхней полуплоскости (где значения $y$ неотрицательны).

Если выразить $y$ через $x$, получим $y = \sqrt{x}$ (мы берем только положительный корень из-за условия $y \ge 0$). Это график функции квадратного корня.

Для построения графика найдем несколько точек, выбирая неотрицательные значения для $y$:

• Если $y=0$, то $x=0^2=0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $y=1$, то $x=1^2=1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $y=2$, то $x=2^2=4$. Точка $(4, 2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим верхнюю ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0,0)$ и уходящую вправо и вверх.

Ответ: Графиком является верхняя ветвь параболы $x=y^2$, ось симметрии которой — ось $Ox$, а вершина находится в точке $(0,0)$.

в)

Уравнение $x=2^y$ является показательной функцией, где $y$ — независимая переменная, а $x$ — зависимая. Этот график можно получить, отразив график стандартной показательной функции $y=2^x$ относительно прямой $y=x$.

Также можно выразить $y$ через $x$, получив логарифмическую функцию: $y = \log_2 x$.

Свойства графика:

• Область определения: $x > 0$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график стремится при $y \to -\infty$.
• График проходит через точку $(1, 0)$, так как $2^0=1$.
• Функция является возрастающей.

Для построения найдем несколько точек, задавая значения $y$:

• Если $y=-1$, то $x=2^{-1}=0.5$. Точка $(0.5, -1)$.
• Если $y=0$, то $x=2^0=1$. Точка $(1, 0)$.
• Если $y=1$, то $x=2^1=2$. Точка $(2, 1)$.
• Если $y=2$, то $x=2^2=4$. Точка $(4, 2)$.

Соединив точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: Графиком является логарифмическая кривая $y=\log_2 x$, проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

г)

Уравнение $x = (\frac{1}{2})^y$ аналогично предыдущему пункту, но с основанием $a=\frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Этот график является отражением графика убывающей показательной функции $y=(\frac{1}{2})^x$ относительно прямой $y=x$.

Выразим $y$ через $x$: $y = \log_{1/2} x$. Используя свойство логарифмов, это можно записать как $y = -\log_2 x$. Таким образом, этот график симметричен графику из пункта (в) относительно оси $Ox$.

Свойства графика:

• Область определения: $x > 0$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
• График проходит через точку $(1, 0)$, так как $(\frac{1}{2})^0=1$.
• Функция является убывающей.

Найдем несколько точек для построения:

• Если $y=-1$, то $x=(\frac{1}{2})^{-1}=2$. Точка $(2, -1)$.
• Если $y=0$, то $x=(\frac{1}{2})^0=1$. Точка $(1, 0)$.
• Если $y=1$, то $x=(\frac{1}{2})^1=0.5$. Точка $(0.5, 1)$.

Соединив точки, получим кривую, которая уходит вверх при приближении $x$ к нулю справа и медленно убывает при росте $x$.

Ответ: Графиком является логарифмическая кривая $y=\log_{1/2} x$, проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

д)

Уравнение $x = \sin y$ с ограничением $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ задает график обратной тригонометрической функции — арксинуса.

Если $x = \sin y$ и $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то по определению $y = \arcsin x$.

График этой функции можно получить, отразив участок графика синусоиды $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ относительно прямой $y=x$.

Свойства графика:

• Область определения $x$: от $\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$. То есть $x \in [-1, 1]$.
• Область значений $y$ задана в условии: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ключевые точки для построения (получены инвертированием точек с графика $y=\sin x$):

• Конечная точка: $y = -\frac{\pi}{2}$, $x = -1$. Точка $(-1, -\frac{\pi}{2})$.
• Пересечение с осями: $y = 0$, $x = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Конечная точка: $y = \frac{\pi}{2}$, $x = 1$. Точка $(1, \frac{\pi}{2})$.

График представляет собой плавно возрастающую кривую, соединяющую эти три точки. Касательные к графику в конечных точках вертикальны.

Ответ: Графиком является кривая функции арксинус $y = \arcsin x$, определенная на отрезке $x \in [-1, 1]$ с областью значений $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

е)

Рассмотрим уравнение $x = \sqrt{1-y^2}$.

Определим область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1-y^2 \ge 0$, что эквивалентно $y^2 \le 1$, или $-1 \le y \le 1$.

Кроме того, так как $x$ равен значению арифметического квадратного корня, $x$ должен быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Чтобы определить форму кривой, возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 = 1 - y^2$.

Перенесем $y^2$ в левую часть: $x^2 + y^2 = 1$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=1$.

Однако, мы должны учесть первоначальное условие $x \ge 0$. Это означает, что мы берем только ту часть окружности, которая лежит в правой полуплоскости (где координата $x$ неотрицательна), включая точки на оси $Oy$.

Таким образом, графиком является правая половина единичной окружности.

Ключевые точки: $(1, 0)$ (пересечение с осью $Ox$), а также $(0, 1)$ и $(0, -1)$ (крайние точки на оси $Oy$).

Ответ: Графиком функции является правая полуокружность окружности $x^2+y^2=1$ с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 1.