Номер 1.67, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.67, страница 32.
№1.67 (с. 32)
Условие. №1.67 (с. 32)
скриншот условия

1.67 Постройте график функции:
a) $y = \frac{4}{x}$;
б) $y = \frac{-4}{x}$;
в) $y = \frac{4}{x} + 2$;
г) $y = \frac{4}{x-2}$;
д) $y = \frac{4}{x+2} - 2$;
е) $y = \frac{-4}{x-1}$;
ж) $y = \frac{-4}{x+3} - 2$;
з) $y = \frac{6}{x-3} + 1$;
и) $y = \frac{-8}{x+1} - 3.$
Решение 1. №1.67 (с. 32)










Решение 4. №1.67 (с. 32)
Для построения графиков функций вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ используется метод преобразования базового графика функции $y = \frac{k}{x}$. График $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Если $k>0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Если $k<0$ — во II и IV. График функции $y = \frac{k}{x-a} + b$ получается из графика $y = \frac{k}{x}$ путем сдвига на $a$ единиц по горизонтали (вправо при $a>0$, влево при $a<0$) и на $b$ единиц по вертикали (вверх при $b>0$, вниз при $b<0$). При этом асимптоты смещаются в $x=a$ и $y=b$.
а)Построим график функции $y = \frac{4}{x}$.
Это график обратной пропорциональности (гипербола) с коэффициентом $k=4$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Так как $k=4 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Асимптоты графика — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:
$x$ | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
$y$ | -1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 |
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными кривыми, приближающимися к асимптотам.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
б)Построим график функции $y = \frac{-4}{x}$.
Это гипербола с коэффициентом $k=-4$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Так как $k=-4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.
Асимптоты графика: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.
Найдем несколько точек для построения:
$x$ | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
$y$ | 1 | 2 | 4 | -4 | -2 | -1 |
Отметим точки и соединим их плавными линиями, которые асимптотически приближаются к осям координат.
Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.
в)Построим график функции $y = \frac{4}{x} + 2$.
График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ (пункт а)) путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.
Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=2$.
Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно новой системы координат с центром в точке (0, 2).
Найдем координаты нескольких точек, сдвинув точки графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 вверх:
$x$ | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
$y$ | 1 | 0 | -2 | 6 | 4 | 3 |
Строим асимптоты $x=0$, $y=2$, отмечаем точки и чертим гиперболу.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x} + 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$, $y=2$.
г)Построим график функции $y = \frac{4}{x-2}$.
График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.
Асимптоты: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=0$.
Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно новой системы координат с центром в точке (2, 0).
Найдем координаты точек, сдвинув точки графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 вправо:
$x$ | -2 | 0 | 1 | 3 | 4 | 6 |
$y$ | -1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 |
Строим асимптоты $x=2$, $y=0$, отмечаем точки и чертим гиперболу.
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо. Асимптоты: $x=2$, $y=0$.
д)Построим график функции $y = \frac{4}{x+2} - 2$.
График получается из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево (т.к. $x+2 = x-(-2)$) и на 2 единицы вниз.
Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=-2$.
Ветви расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно центра $(-2, -2)$.
Найдем точки для построения:
$x$ | -6 | -4 | -3 | -1 | 0 | 2 |
$y$ | -3 | -4 | -6 | 2 | 0 | -1 |
Ответ: График функции $y = \frac{4}{x+2} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 влево и 2 вниз. Асимптоты: $x=-2$, $y=-2$.
е)Построим график функции $y = \frac{-4}{x-1}$.
График получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ (пункт б)) сдвигом на 1 единицу вправо.
Асимптоты: вертикальная $x=1$, горизонтальная $y=0$.
Так как $k=-4 < 0$, ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(1, 0)$.
Найдем точки для построения:
$x$ | -3 | -1 | 0 | 2 | 3 | 5 |
$y$ | 1 | 2 | 4 | -4 | -2 | -1 |
Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x-1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-4}{x}$ на 1 единицу вправо. Асимптоты: $x=1$, $y=0$.
ж)Построим график функции $y = \frac{-4}{x+3} - 2$.
График получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.
Асимптоты: вертикальная $x=-3$, горизонтальная $y=-2$.
Ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(-3, -2)$.
Найдем точки для построения:
$x$ | -7 | -5 | -4 | -2 | -1 | 1 |
$y$ | -1 | 0 | 2 | -6 | -4 | -3 |
Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x+3} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-4}{x}$ на 3 влево и 2 вниз. Асимптоты: $x=-3$, $y=-2$.
з)Построим график функции $y = \frac{6}{x-3} + 1$.
Базовый график — $y = \frac{6}{x}$. Его график — гипербола с $k=6 > 0$ (ветви в I и III четвертях). Для получения искомого графика сдвигаем базовый на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх.
Асимптоты: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=1$.
Ветви расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно центра $(3, 1)$.
Найдем точки для построения:
$x$ | -3 | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 6 | 9 |
$y$ | 0 | -1 | -2 | -5 | 7 | 4 | 3 | 2 |
Ответ: График функции $y = \frac{6}{x-3} + 1$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 3 вправо и 1 вверх. Асимптоты: $x=3$, $y=1$.
и)Построим график функции $y = \frac{-8}{x+1} - 3$.
Базовый график — $y = \frac{-8}{x}$. Его график — гипербола с $k=-8 < 0$ (ветви во II и IV четвертях). Для получения искомого графика сдвигаем базовый на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз.
Асимптоты: вертикальная $x=-1$, горизонтальная $y=-3$.
Ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(-1, -3)$.
Найдем точки для построения:
$x$ | -5 | -3 | -2 | 0 | 1 | 3 | 7 |
$y$ | -1 | 1 | 5 | -11 | -7 | -5 | -4 |
Ответ: График функции $y = \frac{-8}{x+1} - 3$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-8}{x}$ на 1 влево и 3 вниз. Асимптоты: $x=-1$, $y=-3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.67 расположенного на странице 32 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.67 (с. 32), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.