Номер 1.67, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.67, страница 32.

Условие.

1.67 Постройте график функции:

a) $y = \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{-4}{x}$;

в) $y = \frac{4}{x} + 2$;

г) $y = \frac{4}{x-2}$;

д) $y = \frac{4}{x+2} - 2$;

е) $y = \frac{-4}{x-1}$;

ж) $y = \frac{-4}{x+3} - 2$;

з) $y = \frac{6}{x-3} + 1$;

и) $y = \frac{-8}{x+1} - 3.$

Решение 1.

Решение 4.

Для построения графиков функций вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ используется метод преобразования базового графика функции $y = \frac{k}{x}$. График $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Если $k>0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Если $k<0$ — во II и IV. График функции $y = \frac{k}{x-a} + b$ получается из графика $y = \frac{k}{x}$ путем сдвига на $a$ единиц по горизонтали (вправо при $a>0$, влево при $a<0$) и на $b$ единиц по вертикали (вверх при $b>0$, вниз при $b<0$). При этом асимптоты смещаются в $x=a$ и $y=b$.

а)

Построим график функции $y = \frac{4}{x}$.

Это график обратной пропорциональности (гипербола) с коэффициентом $k=4$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Так как $k=4 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Асимптоты графика — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:

$x$	-4	-2	-1	1	2	4
$y$	-1	-2	-4	4	2	1

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными кривыми, приближающимися к асимптотам.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

б)

Построим график функции $y = \frac{-4}{x}$.

Это гипербола с коэффициентом $k=-4$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Так как $k=-4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Асимптоты графика: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.

Найдем несколько точек для построения:

$x$	-4	-2	-1	1	2	4
$y$	1	2	4	-4	-2	-1

Отметим точки и соединим их плавными линиями, которые асимптотически приближаются к осям координат.

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

в)

Построим график функции $y = \frac{4}{x} + 2$.

График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ (пункт а)) путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=2$.

Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно новой системы координат с центром в точке (0, 2).

Найдем координаты нескольких точек, сдвинув точки графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 вверх:

$x$	-4	-2	-1	1	2	4
$y$	1	0	-2	6	4	3

Строим асимптоты $x=0$, $y=2$, отмечаем точки и чертим гиперболу.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x} + 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$, $y=2$.

г)

Построим график функции $y = \frac{4}{x-2}$.

График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Асимптоты: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=0$.

Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно новой системы координат с центром в точке (2, 0).

Найдем координаты точек, сдвинув точки графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 вправо:

$x$	-2	0	1	3	4	6
$y$	-1	-2	-4	4	2	1

Строим асимптоты $x=2$, $y=0$, отмечаем точки и чертим гиперболу.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо. Асимптоты: $x=2$, $y=0$.

д)

Построим график функции $y = \frac{4}{x+2} - 2$.

График получается из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево (т.к. $x+2 = x-(-2)$) и на 2 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=-2$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно центра $(-2, -2)$.

Найдем точки для построения:

$x$	-6	-4	-3	-1	0	2
$y$	-3	-4	-6	2	0	-1

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x+2} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 влево и 2 вниз. Асимптоты: $x=-2$, $y=-2$.

е)

Построим график функции $y = \frac{-4}{x-1}$.

График получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ (пункт б)) сдвигом на 1 единицу вправо.

Асимптоты: вертикальная $x=1$, горизонтальная $y=0$.

Так как $k=-4 < 0$, ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(1, 0)$.

Найдем точки для построения:

$x$	-3	-1	0	2	3	5
$y$	1	2	4	-4	-2	-1

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x-1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-4}{x}$ на 1 единицу вправо. Асимптоты: $x=1$, $y=0$.

ж)

Построим график функции $y = \frac{-4}{x+3} - 2$.

График получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-3$, горизонтальная $y=-2$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(-3, -2)$.

Найдем точки для построения:

$x$	-7	-5	-4	-2	-1	1
$y$	-1	0	2	-6	-4	-3

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x+3} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-4}{x}$ на 3 влево и 2 вниз. Асимптоты: $x=-3$, $y=-2$.

з)

Построим график функции $y = \frac{6}{x-3} + 1$.

Базовый график — $y = \frac{6}{x}$. Его график — гипербола с $k=6 > 0$ (ветви в I и III четвертях). Для получения искомого графика сдвигаем базовый на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Асимптоты: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=1$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно центра $(3, 1)$.

Найдем точки для построения:

$x$	-3	0	1	2	4	5	6	9
$y$	0	-1	-2	-5	7	4	3	2

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x-3} + 1$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 3 вправо и 1 вверх. Асимптоты: $x=3$, $y=1$.

и)

Построим график функции $y = \frac{-8}{x+1} - 3$.

Базовый график — $y = \frac{-8}{x}$. Его график — гипербола с $k=-8 < 0$ (ветви во II и IV четвертях). Для получения искомого графика сдвигаем базовый на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-1$, горизонтальная $y=-3$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(-1, -3)$.

Найдем точки для построения:

$x$	-5	-3	-2	0	1	3	7
$y$	-1	1	5	-11	-7	-5	-4

Ответ: График функции $y = \frac{-8}{x+1} - 3$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-8}{x}$ на 1 влево и 3 вниз. Асимптоты: $x=-1$, $y=-3$.