Номер 1.67, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.67, страница 32.

№1.67 (с. 32)
Условие. №1.67 (с. 32)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Условие

1.67 Постройте график функции:

a) $y = \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{-4}{x}$;

в) $y = \frac{4}{x} + 2$;

г) $y = \frac{4}{x-2}$;

д) $y = \frac{4}{x+2} - 2$;

е) $y = \frac{-4}{x-1}$;

ж) $y = \frac{-4}{x+3} - 2$;

з) $y = \frac{6}{x-3} + 1$;

и) $y = \frac{-8}{x+1} - 3.$

Решение 1. №1.67 (с. 32)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 6) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 7) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 8) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 9) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 32, номер 1.67, Решение 1 (продолжение 10)
Решение 4. №1.67 (с. 32)

Для построения графиков функций вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ используется метод преобразования базового графика функции $y = \frac{k}{x}$. График $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Если $k>0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Если $k<0$ — во II и IV. График функции $y = \frac{k}{x-a} + b$ получается из графика $y = \frac{k}{x}$ путем сдвига на $a$ единиц по горизонтали (вправо при $a>0$, влево при $a<0$) и на $b$ единиц по вертикали (вверх при $b>0$, вниз при $b<0$). При этом асимптоты смещаются в $x=a$ и $y=b$.

а)

Построим график функции $y = \frac{4}{x}$.

Это график обратной пропорциональности (гипербола) с коэффициентом $k=4$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Так как $k=4 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Асимптоты графика — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:

$x$ -4 -2 -1 1 2 4
$y$ -1 -2 -4 4 2 1

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными кривыми, приближающимися к асимптотам.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

б)

Построим график функции $y = \frac{-4}{x}$.

Это гипербола с коэффициентом $k=-4$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Так как $k=-4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Асимптоты графика: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.

Найдем несколько точек для построения:

$x$ -4 -2 -1 1 2 4
$y$ 1 2 4 -4 -2 -1

Отметим точки и соединим их плавными линиями, которые асимптотически приближаются к осям координат.

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

в)

Построим график функции $y = \frac{4}{x} + 2$.

График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ (пункт а)) путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=2$.

Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно новой системы координат с центром в точке (0, 2).

Найдем координаты нескольких точек, сдвинув точки графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 вверх:

$x$ -4 -2 -1 1 2 4
$y$ 1 0 -2 6 4 3

Строим асимптоты $x=0$, $y=2$, отмечаем точки и чертим гиперболу.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x} + 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$, $y=2$.

г)

Построим график функции $y = \frac{4}{x-2}$.

График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Асимптоты: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=0$.

Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно новой системы координат с центром в точке (2, 0).

Найдем координаты точек, сдвинув точки графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 вправо:

$x$ -2 0 1 3 4 6
$y$ -1 -2 -4 4 2 1

Строим асимптоты $x=2$, $y=0$, отмечаем точки и чертим гиперболу.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо. Асимптоты: $x=2$, $y=0$.

д)

Построим график функции $y = \frac{4}{x+2} - 2$.

График получается из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево (т.к. $x+2 = x-(-2)$) и на 2 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=-2$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно центра $(-2, -2)$.

Найдем точки для построения:

$x$ -6 -4 -3 -1 0 2
$y$ -3 -4 -6 2 0 -1

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x+2} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 влево и 2 вниз. Асимптоты: $x=-2$, $y=-2$.

е)

Построим график функции $y = \frac{-4}{x-1}$.

График получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ (пункт б)) сдвигом на 1 единицу вправо.

Асимптоты: вертикальная $x=1$, горизонтальная $y=0$.

Так как $k=-4 < 0$, ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(1, 0)$.

Найдем точки для построения:

$x$ -3 -1 0 2 3 5
$y$ 1 2 4 -4 -2 -1

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x-1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-4}{x}$ на 1 единицу вправо. Асимптоты: $x=1$, $y=0$.

ж)

Построим график функции $y = \frac{-4}{x+3} - 2$.

График получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-3$, горизонтальная $y=-2$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(-3, -2)$.

Найдем точки для построения:

$x$ -7 -5 -4 -2 -1 1
$y$ -1 0 2 -6 -4 -3

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x+3} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-4}{x}$ на 3 влево и 2 вниз. Асимптоты: $x=-3$, $y=-2$.

з)

Построим график функции $y = \frac{6}{x-3} + 1$.

Базовый график — $y = \frac{6}{x}$. Его график — гипербола с $k=6 > 0$ (ветви в I и III четвертях). Для получения искомого графика сдвигаем базовый на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Асимптоты: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=1$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно центра $(3, 1)$.

Найдем точки для построения:

$x$ -3 0 1 2 4 5 6 9
$y$ 0 -1 -2 -5 7 4 3 2

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x-3} + 1$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 3 вправо и 1 вверх. Асимптоты: $x=3$, $y=1$.

и)

Построим график функции $y = \frac{-8}{x+1} - 3$.

Базовый график — $y = \frac{-8}{x}$. Его график — гипербола с $k=-8 < 0$ (ветви во II и IV четвертях). Для получения искомого графика сдвигаем базовый на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-1$, горизонтальная $y=-3$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(-1, -3)$.

Найдем точки для построения:

$x$ -5 -3 -2 0 1 3 7
$y$ -1 1 5 -11 -7 -5 -4

Ответ: График функции $y = \frac{-8}{x+1} - 3$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-8}{x}$ на 1 влево и 3 вниз. Асимптоты: $x=-1$, $y=-3$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.67 расположенного на странице 32 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.67 (с. 32), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.