Номер 1.60, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.60, страница 31.

Условие.

1.60 а) $y = x^3$ и $y = (x + 1)^3$;

б) $y = x^4$ и $y = (x - 1)^4$;

в) $y = 3^x$ и $y = 3^{x-2}$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 2)$;

д) $y = \sin x$ и $y = \sin (x - 1)$;

е) $y = \tan x$ и $y = \tan (x + 2)$.

Решение 1.

Решение 4.

Для решения данной задачи мы будем использовать правило преобразования графиков функций. График функции $y = f(x-a)$ можно получить из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (оси Ox) на $a$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг выполняется вправо. Если $a < 0$, сдвиг выполняется влево.

а) $y = x^3$ и $y = (x + 1)^3$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = x^3$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = (x+1)^3 = f(x+1)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $x+1 = x - (-1)$, то есть $a = -1$.

Так как $a = -1 < 0$, сдвиг происходит влево на $|-1| = 1$ единицу.

Ответ: График функции $y = (x + 1)^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем параллельного переноса на 1 единицу влево вдоль оси Ox.

б) $y = x^4$ и $y = (x - 1)^4$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = x^4$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = (x-1)^4 = f(x-1)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $a = 1$.

Так как $a = 1 > 0$, сдвиг происходит вправо на $1$ единицу.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

в) $y = 3^x$ и $y = 3^{x-2}$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = 3^x$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = 3^{x-2} = f(x-2)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $a = 2$.

Так как $a = 2 > 0$, сдвиг происходит вправо на $2$ единицы.

Ответ: График функции $y = 3^{x-2}$ получается из графика функции $y = 3^x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x+2) = f(x+2)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $x+2 = x - (-2)$, то есть $a = -2$.

Так как $a = -2 < 0$, сдвиг происходит влево на $|-2| = 2$ единицы.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

д) $y = \sin x$ и $y = \sin(x - 1)$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = \sin x$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = \sin(x-1) = f(x-1)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $a = 1$.

Так как $a = 1 > 0$, сдвиг происходит вправо на $1$ единицу.

Ответ: График функции $y = \sin(x - 1)$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg}(x + 2)$

Рассмотрим базовую функцию $f(x) = \operatorname{tg} x$. Тогда вторая функция имеет вид $g(x) = \operatorname{tg}(x+2) = f(x+2)$.

Это соответствует преобразованию $y = f(x-a)$, где $x+2 = x - (-2)$, то есть $a = -2$.

Так как $a = -2 < 0$, сдвиг происходит влево на $|-2| = 2$ единицы.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(x + 2)$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg} x$ путем параллельного переноса на 2 единицы влево вдоль оси Ox.