Номер 1.54, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.54, страница 20.

Условие.

1.54 На рисунке 7, а, б изображён график функции $y = f(x)$. Укажите: область определения, нули, промежутки возрастания (убывания), промежутки знакопостоянства этой функции.

Решение 1.

Решение 4.

Поскольку изображения графиков (рисунок 7, а и 7, б), необходимые для решения задачи, отсутствуют, приведем подробный разбор на двух гипотетических примерах. Это поможет понять алгоритм анализа свойств функции по ее графику.

Анализ для гипотетического графика на рисунке 7, а

Представим, что на рисунке 7, а изображен график функции, определенной на отрезке от $x = -6$ до $x = 5$. График пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $x = -4$ и $x = 3$. Локальный максимум находится в точке $(-1, 4)$, а локальный минимум — в точке $(4, -2)$. Начальная точка графика — $(-6, -3)$, конечная — $(5, 0)$.

Область определения

Область определения функции ($D(f)$) — это проекция ее графика на ось Ox. Мы смотрим, для каких значений $x$ график существует. Согласно нашему предположению, функция определена для всех $x$ от -6 до 5 включительно.

Ответ: $D(f) = [-6; 5]$.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Графически это точки, в которых график пересекает ось Ox. По нашему условию, это точки $x = -4$ и $x = 3$. Также конечная точка $(5, 0)$ является нулем.

Ответ: $x = -4, x = 3, x = 5$.

Промежутки возрастания (убывания)

Анализируем, на каких участках график "идет вверх" (возрастание) и "идет вниз" (убывание) при движении слева направо. Точки экстремумов (максимумы и минимумы) являются границами этих промежутков.

• Функция возрастает от начальной точки $x = -6$ до точки максимума $x = -1$.
• Функция убывает от точки максимума $x = -1$ до точки минимума $x = 4$.
• Функция возрастает от точки минимума $x = 4$ до конечной точки $x = 5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-6; -1]$ и $[4; 5]$; функция убывает на промежутке $[-1; 4]$.

Промежутки знакопостоянства этой функции

Это промежутки, где функция сохраняет свой знак, то есть $y > 0$ (график выше оси Ox) или $y < 0$ (график ниже оси Ox). Границами этих промежутков являются нули функции.

• $y > 0$ (график выше оси Ox) на интервале между нулями $x = -4$ и $x = 3$.
• $y < 0$ (график ниже оси Ox) на интервалах от начальной точки до первого нуля и от второго нуля до третьего: от $x = -6$ до $x = -4$ и от $x = 3$ до $x = 5$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-4; 3)$; $y < 0$ при $x \in [-6; -4) \cup (3; 5)$.

---

Анализ для гипотетического графика на рисунке 7, б

Представим, что на рисунке 7, б изображен график функции, определенной на отрезке от $x = -5$ до $x = 7$. График имеет разрыв в точке $x = 1$ (вертикальная асимптота). Нули функции находятся в точках $x = -3$ и $x = 4$. На промежутке $(1; 7]$ функция имеет локальный минимум в точке $(4, 0)$.

Область определения

Функция определена для всех $x$ от -5 до 7 включительно, за исключением точки $x = 1$, где, как мы предположили, находится вертикальная асимптота.

Ответ: $D(f) = [-5; 1) \cup (1; 7]$.

Нули функции

График пересекает или касается оси Ox в точках $x = -3$ и $x = 4$.

Ответ: $x = -3, x = 4$.

Промежутки возрастания (убывания)

Анализируем поведение функции на каждом из интервалов, разделенных асимптотой.

• На промежутке $[-5; 1)$ график функции постоянно возрастает (идет вверх к асимптоте).
• На промежутке $(1; 7]$ график сначала убывает от асимптоты до точки минимума $x=4$, а затем возрастает от $x=4$ до $x=7$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; 1)$ и $[4; 7]$; функция убывает на промежутке $(1; 4]$.

Промежутки знакопостоянства этой функции

Определяем знаки функции на интервалах, ограниченных нулями и точками разрыва.

• $y > 0$: на промежутке $(-3; 1)$ и на промежутке $(1; 4) \cup (4; 7]$. В точке $x=4$ функция равна нулю, поэтому мы ее исключаем из интервала строгого неравенства. Поскольку на всем промежутке $(1; 7]$ кроме точки $x=4$ функция положительна, можно записать $(1; 4) \cup (4; 7]$.
• $y < 0$: на промежутке от $x = -5$ до нуля $x = -3$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-3; 1) \cup (1; 4) \cup (4; 7]$; $y < 0$ при $x \in [-5; -3)$.