Номер 1.59, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.59, страница 31.

Условие.

1.59 а) $y = x^3$ и $y = (-x)^3$;

б) $y = x^4$ и $y = (-x)^4$;

в) $y = 3^x$ и $y = 3^{-x}$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$;

д) $y = \sin x$ и $y = \sin (-x)$;

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg} (-x)$.

Решение 1.

Решение 4.

а) Рассмотрим две функции: $y = x^3$ и $y = (-x)^3$.

Упростим выражение для второй функции, используя свойства степени: $y = (-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -x^3$.

Таким образом, мы сравниваем функции $y = x^3$ и $y = -x^3$. Эти функции не являются тождественными. Функция $f(x) = x^3$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. График функции $y = -x^3$ является симметричным отражением графика функции $y = x^3$ относительно оси абсцисс (оси Ox). Также, поскольку $y = (-x)^3$ является функцией вида $y = f(-x)$ для $f(x)=x^3$, ее график также является отражением графика $y=x^3$ относительно оси ординат (оси Oy). Для нечетной функции эти два преобразования эквивалентны.

Ответ: функции $y = x^3$ и $y = (-x)^3$ различны. Вторая функция может быть записана как $y = -x^3$.

б) Рассмотрим две функции: $y = x^4$ и $y = (-x)^4$.

Упростим выражение для второй функции, используя свойства степени: $y = (-x)^4 = (-1)^4 \cdot x^4 = 1 \cdot x^4 = x^4$.

Таким образом, мы сравниваем функции $y = x^4$ и $y = x^4$. Эти две функции тождественны. Это связано с тем, что функция $f(x) = x^4$ является четной, то есть $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$ для любого значения $x$.

Ответ: функции $y = x^4$ и $y = (-x)^4$ являются одной и той же функцией.

в) Рассмотрим две функции: $y = 3^x$ и $y = 3^{-x}$.

Вторую функцию можно представить в виде $y = (\frac{1}{3})^x$. Пусть $f(x) = 3^x$. Тогда вторая функция имеет вид $y = 3^{-x} = f(-x)$. Функции $y = 3^x$ и $y = 3^{-x}$ не являются тождественными. Например, при $x = 1$, значения функций равны $y=3$ и $y=1/3$ соответственно. График функции $y = f(-x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: функции $y = 3^x$ и $y = 3^{-x}$ различны. График второй функции является зеркальным отражением графика первой относительно оси Oy.

г) Рассмотрим две функции: $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$.

Пусть $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Тогда вторая функция имеет вид $y = f(-x) = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$. Эти функции различны и имеют разные области определения. Для первой функции область определения — $x > 0$, а для второй — $-x > 0$, то есть $x < 0$. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем симметричного отражения относительно оси ординат (оси Oy).

Ответ: функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = \log_{\frac{1}{3}} (-x)$ различны. График второй функции является зеркальным отражением графика первой относительно оси Oy.

д) Рассмотрим две функции: $y = \sin x$ и $y = \sin(-x)$.

Функция синус является нечетной, что означает $\sin(-x) = -\sin x$ для любого значения $x$. Таким образом, вторая функция может быть переписана как $y = -\sin x$.

Сравниваемые функции — это $y = \sin x$ и $y = -\sin x$. Они не являются тождественными. График функции $y = -\sin x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Так как синус — нечетная функция, это преобразование эквивалентно отражению относительно оси ординат.

Ответ: функции $y = \sin x$ и $y = \sin(-x)$ различны. Вторая функция может быть записана как $y = -\sin x$.

е) Рассмотрим две функции: $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg}(-x)$.

Функция тангенс является нечетной, что означает $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$ для любого $x$ из области определения. Таким образом, вторая функция может быть переписана как $y = -\operatorname{tg} x$.

Сравниваемые функции — это $y = \operatorname{tg} x$ и $y = -\operatorname{tg} x$. Они не являются тождественными. График функции $y = -\operatorname{tg} x$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg} x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox). Так как тангенс — нечетная функция, это преобразование эквивалентно отражению относительно оси ординат.

Ответ: функции $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{tg}(-x)$ различны. Вторая функция может быть записана как $y = -\operatorname{tg} x$.