Номер 1.62, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.62, страница 31.

Условие.

1.62 a) $y = x^3$ и $y = 2x^3;$

В) $y = 3^x$ и $y = -2 \cdot 3^x;$

Д) $y = \sin x$ и $y = 3 \sin x;$

б) $y = x^4$ и $y = -2x^4;$

Г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x;$

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = -2 \operatorname{tg} x.$

Решение 1.

Решение 4.

а) Чтобы получить график функции $y = 2x^3$ из графика функции $y = x^3$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = x^3$ и коэффициент $k = 2$. Поскольку $k > 1$, данное преобразование представляет собой растяжение графика исходной функции вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза. Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = x^3$ перейдет в точку $(x_0, 2y_0)$ на графике $y = 2x^3$.
Ответ: График функции $y = 2x^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза.

б) Чтобы получить график функции $y = -2x^4$ из графика функции $y = x^4$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = x^4$ и коэффициент $k = -2$. Так как $|k| = |-2| = 2 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Поскольку $k < 0$, необходимо также выполнить симметричное отражение графика относительно оси абсцисс ($Ox$).
Ответ: График функции $y = -2x^4$ получается из графика функции $y = x^4$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим отражением относительно оси $Ox$.

в) Чтобы получить график функции $y = -2 \cdot 3^x$ из графика функции $y = 3^x$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = 3^x$ и коэффициент $k = -2$. Так как $|k| = |-2| = 2 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Поскольку $k < 0$, необходимо также выполнить симметричное отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y = -2 \cdot 3^x$ получается из графика функции $y = 3^x$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим отражением относительно оси $Ox$.

г) Чтобы получить график функции $y = 2\log_{\frac{1}{3}}x$ из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}}x$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}x$ и коэффициент $k = 2$. Поскольку $k > 1$, данное преобразование представляет собой растяжение графика исходной функции вдоль оси $Oy$ в 2 раза.
Ответ: График функции $y = 2\log_{\frac{1}{3}}x$ получается из графика функции $y = \log_{\frac{1}{3}}x$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза.

д) Чтобы получить график функции $y = 3\sin x$ из графика функции $y = \sin x$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = \sin x$ и коэффициент $k = 3$. Поскольку $k > 1$, данное преобразование представляет собой растяжение графика исходной функции вдоль оси $Oy$ в 3 раза. Это приводит к увеличению амплитуды функции с 1 до 3.
Ответ: График функции $y = 3\sin x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 3 раза.

е) Чтобы получить график функции $y = -2\operatorname{tg}x$ из графика функции $y = \operatorname{tg}x$, нужно применить преобразование вида $y = k \cdot f(x)$, где $f(x) = \operatorname{tg}x$ и коэффициент $k = -2$. Так как $|k| = |-2| = 2 > 1$, происходит растяжение графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Поскольку $k < 0$, необходимо также выполнить симметричное отражение графика относительно оси $Ox$.
Ответ: График функции $y = -2\operatorname{tg}x$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg}x$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 2 раза с последующим отражением относительно оси $Ox$.