Номер 1.64, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.64, страница 31.

Условие.

1.64 a) $y = x^3$ и $x = y^3$;

в) $y = 3^x$ и $x = 3^y$;

д) $y = \sin x$ и $x = \sin y$;

б) $y = x^4$ и $x = y^4$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $x = \log_{\frac{1}{3}} y$;

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $x = \operatorname{tg} y$.

Решение 1.

Решение 4.

а) $y=x^3$ и $x=y^3$

Второе уравнение $x=y^3$ задает функцию, обратную к функции $y=x^3$, так как оно получено из первого заменой переменных $x$ и $y$ местами. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$. Точки пересечения таких графиков могут лежать на этой прямой.

Чтобы найти точки пересечения, решим систему уравнений. Можно подставить $y$ из первого уравнения во второе:

$x = (x^3)^3$

$x = x^9$

$x^9 - x = 0$

$x(x^8 - 1) = 0$

$x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0$

$x(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1) = 0$

$x(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1) = 0$

Множители $(x^2+1)$ и $(x^4+1)$ не имеют действительных корней. Следовательно, действительные решения уравнения:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x^3$:

Если $x=0$, то $y=0^3=0$. Точка $(0, 0)$.

Если $x=1$, то $y=1^3=1$. Точка $(1, 1)$.

Если $x=-1$, то $y=(-1)^3=-1$. Точка $(-1, -1)$.

Так как функция $y=x^3$ является строго возрастающей, все точки пересечения ее графика с графиком обратной функции лежат на прямой $y=x$.

Ответ: $(0, 0), (1, 1), (-1, -1)$.

б) $y=x^4$ и $x=y^4$

Графики этих уравнений также симметричны относительно прямой $y=x$. Из уравнения $x=y^4$ следует, что $x \ge 0$. Из уравнения $y=x^4$ следует, что $y \ge 0$. Решения будем искать в первом координатном угле.

Подставим $y$ из первого уравнения во второе:

$x = (x^4)^4$

$x = x^{16}$

$x^{16} - x = 0$

$x(x^{15} - 1) = 0$

Учитывая, что $x \ge 0$, получаем два решения:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y=x^4$:

Если $x=0$, то $y=0^4=0$. Точка $(0, 0)$.

Если $x=1$, то $y=1^4=1$. Точка $(1, 1)$.

На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y=x^4$ является строго возрастающей, поэтому все точки пересечения в этой области лежат на прямой $y=x$.

Ответ: $(0, 0), (1, 1)$.

в) $y=3^x$ и $x=3^y$

Функции $y=3^x$ и $y=\log_3 x$ (которая следует из $x=3^y$) являются взаимно обратными и строго возрастающими. Их точки пересечения должны лежать на прямой $y=x$. Для их нахождения решим уравнение $3^x = x$.

Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - x$. Ее производная $f'(x) = 3^x \ln 3 - 1$. Найдем точку минимума: $f'(x) = 0 \Rightarrow 3^x = \frac{1}{\ln 3}$. Минимальное значение функции $f(x)$ в этой точке положительно, так как $f(x) = \frac{1}{\ln 3} - (-\log_3(\ln 3)) = \frac{1}{\ln 3} + \log_3(\ln 3) > 0$.

Поскольку минимальное значение функции $3^x-x$ больше нуля, уравнение $3^x = x$ не имеет действительных решений. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: решений нет.

г) $y = \log_{1/3} x$ и $x = \log_{1/3} y$

Функции $y=\log_{1/3} x$ и $y=(1/3)^x$ (следует из $x = \log_{1/3} y$) являются взаимно обратными. Область определения для обеих переменных: $x>0, y>0$.

Так как основание логарифма $1/3 < 1$, функция $y = \log_{1/3} x$ является убывающей. Для убывающих функций точки пересечения с обратной функцией могут лежать как на прямой $y=x$, так и вне ее.

Найдем точки пересечения на прямой $y=x$, решив уравнение $x = \log_{1/3} x$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \log_{1/3} x - x$. Ее производная $f'(x) = \frac{1}{x\ln(1/3)} - 1 = -\frac{1}{x\ln 3} - 1$. Так как $x>0$, то $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ строго убывающая. Это означает, что уравнение $f(x)=0$ может иметь не более одного решения.

Покажем, что решение существует. При $x=1/3$, $f(1/3) = \log_{1/3}(1/3) - 1/3 = 1 - 1/3 = 2/3 > 0$. При $x=1$, $f(1) = \log_{1/3}(1) - 1 = 0 - 1 = -1 < 0$. Так как функция непрерывна и меняет знак на интервале $(1/3, 1)$, она имеет единственный корень $x_0$ на этом интервале. Точного значения для $x_0$ в элементарных функциях нет.

Таким образом, существует единственная точка пересечения на прямой $y=x$: $(x_0, x_0)$, где $x_0$ - корень уравнения $x = \log_{1/3} x$.

Существование других точек пересечения (пар $(a, b)$ и $(b, a)$, где $a \neq b$) требует решения трансцендентного уравнения $x = \log_{1/3}(\log_{1/3} x)$, что выходит за рамки стандартной программы. В некоторых случаях (например, для основания $1/16$) такие решения существуют. Для основания $1/3$ они тоже есть, но их нахождение требует численных методов.

Ответ: Существует как минимум одна точка пересечения $(x_0, x_0)$, где $x_0$ является решением уравнения $x = \log_{1/3} x$, $x_0 \in (1/3, 1)$.

д) $y = \sin x$ и $x = \sin y$

Графики этих уравнений симметричны относительно прямой $y=x$. Из уравнений следует, что $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$.

Решим систему. Подставим $y$ из первого уравнения во второе:

$x = \sin(\sin x)$

Рассмотрим функцию $g(x) = x - \sin(\sin x)$.

Известно, что для любого действительного $t \neq 0$ выполняется неравенство $|\sin t| < |t|$.

Если $x > 0$, то $x > \sin x > \sin(\sin x)$, так как $\sin x \in (0, 1]$ и на этом интервале синус также меньше своего аргумента. Значит, $x - \sin(\sin x) > 0$.

Если $x < 0$, то $x < \sin x < \sin(\sin x)$ (неравенства меняют знак), поэтому $x - \sin(\sin x) < 0$.

Если $x=0$, то $0 = \sin(\sin 0) = 0$.

Таким образом, единственным решением уравнения $x = \sin(\sin x)$ является $x=0$.

Если $x=0$, то из $y=\sin x$ получаем $y = \sin 0 = 0$.

Единственная точка пересечения - это $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

е) $y = \tg x$ и $x = \tg y$

Графики данных уравнений симметричны относительно прямой $y=x$. Точки пересечения могут лежать на этой прямой. Найдем их из уравнения $x = \tg x$.

Рассмотрим графики функций $y=x$ и $y=\tg x$. Они пересекаются в бесконечном числе точек. Одна из них - $(0,0)$.

В каждом интервале вида $(k\pi - \pi/2, k\pi + \pi/2)$, где $k \in \mathbb{Z}$, функция $y=\tg x$ строго возрастает от $-\infty$ до $+\infty$. Прямая $y=x$ пересекает каждую такую ветвь тангенса ровно в одной точке. Обозначим абсциссы этих точек как $x_k$. Тогда $x_k = \tg x_k$.

Таким образом, существует бесконечное множество решений вида $(x_k, x_k)$, где $x_k$ — корень уравнения $x=\tg x$ в $k$-том интервале непрерывности тангенса. Например, $x_0=0$, $x_1 \in (\pi, 3\pi/2)$, $x_{-1} \in (-3\pi/2, -\pi)$ и т.д.

Если предположить, что существует решение $(a, b)$ с $a \neq b$, то $a$ и $b$ должны находиться в разных интервалах непрерывности тангенса. Доказательство отсутствия или наличия таких решений является сложной задачей. В рамках стандартного курса обычно рассматриваются только решения, лежащие на прямой $y=x$.

Ответ: Бесконечное множество точек $(x_k, x_k)$, где $x_k$ - решения уравнения $x=\tg x$ для $k \in \mathbb{Z}$.