Номер 1.65, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.65, страница 31.

Условие.

1.65 a) $y = x^2 + 2x + 3;$

Б) $y = 2(x - 1)^3 - 3;$

В) $y = 2 \cdot 3^{x+1} - 6;$

Г) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}}(-2x + 3) - 4;$

Д) $y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1;$

Е) $y = -2 \operatorname{tg} \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3.$

Решение 1.

Решение 4.

а) Данная функция $y = x^2 + 2x + 3$ является квадратичной, то есть многочленом. Область определения любого многочлена — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, так как не существует таких значений $x$, при которых данное выражение не имело бы смысла (нет деления на ноль, извлечения корня из отрицательного числа или логарифмов).
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Функция $y = 2(x - 1)^3 - 3$ также является многочленом (кубическая функция). Как и для любого многочлена, ее область определения — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Функция $y = 2 \cdot 3^{x+1} - 6$ является показательной. Показательная функция $a^u$ определена для любого действительного показателя $u$, если основание $a > 0$ и $a \neq 1$. В данном случае основание равно 3, а показатель $x+1$ определен для любого $x$. Следовательно, ограничений на $x$ нет.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Функция $y = 2\log_{\frac{1}{3}}(-2x + 3) - 4$ является логарифмической. Область определения логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля. Поэтому необходимо решить неравенство:
$-2x + 3 > 0$
$-2x > -3$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$2x < 3$
$x < \frac{3}{2}$ или $x < 1.5$.
Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие 1.5.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1.5)$.

д) Функция $y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) - 1$ является тригонометрической (синус). Функция $\sin(u)$ определена для любого действительного значения аргумента $u$. Выражение в аргументе $2x + \frac{\pi}{3}$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, область определения всей функции — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

е) Функция $y = -2 \operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) + 3$ является тригонометрической (тангенс). Функция тангенса $\operatorname{tg}(u) = \frac{\sin(u)}{\cos(u)}$ не определена, когда ее знаменатель $\cos(u)$ равен нулю. Это происходит, когда аргумент $u$ равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае аргумент $u = x - \frac{\pi}{3}$. Таким образом, мы получаем ограничение:
$x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Выразим $x$:
$x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$x \neq \frac{3\pi + 2\pi}{6} + \pi k$
$x \neq \frac{5\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Область определения — все действительные числа, кроме указанных точек.
Ответ: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{6} + \pi k \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$.