Номер 1.72, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.72, страница 32.

Условие.

1.72 Придумайте пример функции $y = f(x)$, график которой совпадает с графиком функции $x = f(y)$ при изображении этих графиков в одной системе координат $xOy$.

а)

б)

в)

г)

Рис. 33

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 34

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Условие, что график функции $y = f(x)$ совпадает с графиком функции $x = f(y)$, означает, что если точка $(a, b)$ принадлежит графику, то и точка $(b, a)$ также принадлежит ему. Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно прямой $y = x$.

Функция, график которой симметричен относительно прямой $y = x$, является обратной самой себе. То есть, для такой функции должно выполняться тождество $f(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции.

Приведем несколько примеров таких функций:

• Линейная функция $y = -x$.
  Проверка: если $f(x) = -x$, то $f(f(x)) = -(-x) = x$. Графиком является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Эта прямая перпендикулярна прямой $y=x$ и симметрична относительно нее.
• В более общем виде, любая функция вида $y = c - x$, где $c$ – произвольная постоянная.
  Проверка: если $f(x) = c - x$, то $f(f(x)) = c - (c - x) = c - c + x = x$.
• Дробно-рациональная функция $y = \frac{1}{x}$.
  Проверка: если $f(x) = \frac{1}{x}$, то $f(f(x)) = \frac{1}{1/x} = x$. Область определения $x \neq 0$.
• Функция, заданная на ограниченном промежутке, например, $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ на отрезке $[0, R]$. Графиком является четверть окружности с центром в начале координат и радиусом $R$, расположенная в первой координатной четверти. Этот график симметричен относительно прямой $y=x$.

Ответ: Примером такой функции является $y = -x$ или $y = \frac{1}{x}$.

---

а)

На графике изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = R^2 = 4$. Чтобы получить функцию $y=f(x)$ для верхней полуокружности, выразим $y$ из уравнения, взяв положительное значение корня: $y^2 = 4 - x^2 \Rightarrow y = \sqrt{4 - x^2}$. Область определения функции: $4 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 4$, то есть $x \in [-2, 2]$.

Ответ: $y = \sqrt{4 - x^2}$, $x \in [-2, 2]$.

б)

На графике изображена нижняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 4$. Чтобы получить функцию $y=f(x)$ для нижней полуокружности, выразим $y$ из уравнения, взяв отрицательное значение корня: $y^2 = 4 - x^2 \Rightarrow y = -\sqrt{4 - x^2}$. Область определения функции: $x \in [-2, 2]$. (Сторонняя точка в районе $(-2, -2)$ на рисунке, вероятно, является опечаткой и не относится к графику функции).

Ответ: $y = -\sqrt{4 - x^2}$, $x \in [-2, 2]$.

в)

На графике изображена правая полуокружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Эта кривая не является графиком функции $y=f(x)$, так как для значений $x \in [0, 2)$ одному значению $x$ соответствуют два значения $y$ (например, для $x=1$, $y=\sqrt{3}$ и $y=-\sqrt{3}$). Эта кривая является графиком функции $x = g(y) = \sqrt{4-y^2}$ для $y \in [-2, 2]$.

Ответ: Данный график не является графиком функции вида $y=f(x)$.

г)

На графике изображена левая полуокружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Аналогично предыдущему пункту, эта кривая не является графиком функции $y=f(x)$, так как для $x \in (-2, 0]$ одному значению $x$ соответствуют два значения $y$. Эта кривая является графиком функции $x = g(y) = -\sqrt{4-y^2}$ для $y \in [-2, 2]$.

Ответ: Данный график не является графиком функции вида $y=f(x)$.

д)

График представляет собой дугу окружности. Концевые точки дуги: $(-1, 1)$ и $(3, 1)$. Верхняя точка дуги: $(1, 3)$. Центр окружности $(x_0, y_0)$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки $(-1, 1)$ и $(3, 1)$. Этот перпендикуляр — прямая $x = \frac{-1+3}{2} = 1$. Таким образом, центр имеет координаты $(1, y_0)$. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра до любой точки на дуге. $R^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2$. Используя точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$: $R^2 = (1-1)^2 + (3-y_0)^2 = (3-y_0)^2$. $R^2 = (3-1)^2 + (1-y_0)^2 = 4 + (1-y_0)^2$. Приравнивая выражения для $R^2$: $(3-y_0)^2 = 4 + (1-y_0)^2 \Rightarrow 9 - 6y_0 + y_0^2 = 4 + 1 - 2y_0 + y_0^2 \Rightarrow 9 - 6y_0 = 5 - 2y_0 \Rightarrow 4y_0 = 4 \Rightarrow y_0 = 1$. Центр окружности — $(1, 1)$. Радиус $R = 3 - y_0 = 3 - 1 = 2$. Уравнение окружности: $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$. Так как изображена верхняя дуга, выражаем $y$, беря положительный корень: $(y-1)^2 = 4 - (x-1)^2 \Rightarrow y-1 = \sqrt{4-(x-1)^2} \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4-(x-1)^2}$. Область определения $x \in [-1, 3]$.

Ответ: $y = 1 + \sqrt{4-(x-1)^2}$, $x \in [-1, 3]$.

е)

График представляет собой дугу окружности. Концевые точки дуги: $(-3, 1)$ и $(1, 1)$. Нижняя точка дуги: $(-1, -1)$. Центр окружности $(x_0, y_0)$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки $(-3, 1)$ и $(1, 1)$. Этот перпендикуляр — прямая $x = \frac{-3+1}{2} = -1$. Центр имеет координаты $(-1, y_0)$. Используя точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$: $R^2 = (-1-(-1))^2 + (-1-y_0)^2 = (-1-y_0)^2 = (y_0+1)^2$. $R^2 = (1-(-1))^2 + (1-y_0)^2 = 4 + (1-y_0)^2$. Приравнивая выражения для $R^2$: $(y_0+1)^2 = 4 + (1-y_0)^2 \Rightarrow y_0^2 + 2y_0 + 1 = 4 + 1 - 2y_0 + y_0^2 \Rightarrow 2y_0 + 1 = 5 - 2y_0 \Rightarrow 4y_0 = 4 \Rightarrow y_0 = 1$. Центр окружности — $(-1, 1)$. Радиус $R = y_0 - (-1) = 1+1=2$. Уравнение окружности: $(x+1)^2 + (y-1)^2 = 4$. Так как изображена нижняя дуга, выражаем $y$, беря отрицательный корень: $(y-1)^2 = 4 - (x+1)^2 \Rightarrow y-1 = -\sqrt{4-(x+1)^2} \Rightarrow y = 1 - \sqrt{4-(x+1)^2}$. Область определения $x \in [-3, 1]$.

Ответ: $y = 1 - \sqrt{4-(x+1)^2}$, $x \in [-3, 1]$.