Страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.67 Постройте график функции:

a) $y = \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{-4}{x}$;

в) $y = \frac{4}{x} + 2$;

г) $y = \frac{4}{x-2}$;

д) $y = \frac{4}{x+2} - 2$;

е) $y = \frac{-4}{x-1}$;

ж) $y = \frac{-4}{x+3} - 2$;

з) $y = \frac{6}{x-3} + 1$;

и) $y = \frac{-8}{x+1} - 3.$

Для построения графиков функций вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ используется метод преобразования базового графика функции $y = \frac{k}{x}$. График $y = \frac{k}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$. Если $k>0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Если $k<0$ — во II и IV. График функции $y = \frac{k}{x-a} + b$ получается из графика $y = \frac{k}{x}$ путем сдвига на $a$ единиц по горизонтали (вправо при $a>0$, влево при $a<0$) и на $b$ единиц по вертикали (вверх при $b>0$, вниз при $b<0$). При этом асимптоты смещаются в $x=a$ и $y=b$.

Построим график функции $y = \frac{4}{x}$.

Это график обратной пропорциональности (гипербола) с коэффициентом $k=4$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Так как $k=4 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Асимптоты графика — оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавными кривыми, приближающимися к асимптотам.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

Построим график функции $y = \frac{-4}{x}$.

Это гипербола с коэффициентом $k=-4$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Так как $k=-4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Асимптоты графика: вертикальная $x=0$ и горизонтальная $y=0$.

Найдем несколько точек для построения:

Отметим точки и соединим их плавными линиями, которые асимптотически приближаются к осям координат.

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x}$ — это гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях.

Построим график функции $y = \frac{4}{x} + 2$.

График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ (пункт а)) путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=2$.

Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно новой системы координат с центром в точке (0, 2).

Найдем координаты нескольких точек, сдвинув точки графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 вверх:

Строим асимптоты $x=0$, $y=2$, отмечаем точки и чертим гиперболу.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x} + 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$, $y=2$.

Построим график функции $y = \frac{4}{x-2}$.

График этой функции получается из графика $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Асимптоты: вертикальная $x=2$, горизонтальная $y=0$.

Ветви гиперболы расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно новой системы координат с центром в точке (2, 0).

Найдем координаты точек, сдвинув точки графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 вправо:

Строим асимптоты $x=2$, $y=0$, отмечаем точки и чертим гиперболу.

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x-2}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо. Асимптоты: $x=2$, $y=0$.

Построим график функции $y = \frac{4}{x+2} - 2$.

График получается из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево (т.к. $x+2 = x-(-2)$) и на 2 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=-2$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно центра $(-2, -2)$.

Найдем точки для построения:

Ответ: График функции $y = \frac{4}{x+2} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 2 влево и 2 вниз. Асимптоты: $x=-2$, $y=-2$.

Построим график функции $y = \frac{-4}{x-1}$.

График получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ (пункт б)) сдвигом на 1 единицу вправо.

Асимптоты: вертикальная $x=1$, горизонтальная $y=0$.

Так как $k=-4 < 0$, ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(1, 0)$.

Найдем точки для построения:

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x-1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-4}{x}$ на 1 единицу вправо. Асимптоты: $x=1$, $y=0$.

Построим график функции $y = \frac{-4}{x+3} - 2$.

График получается из графика $y = \frac{-4}{x}$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-3$, горизонтальная $y=-2$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(-3, -2)$.

Найдем точки для построения:

Ответ: График функции $y = \frac{-4}{x+3} - 2$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-4}{x}$ на 3 влево и 2 вниз. Асимптоты: $x=-3$, $y=-2$.

Построим график функции $y = \frac{6}{x-3} + 1$.

Базовый график — $y = \frac{6}{x}$. Его график — гипербола с $k=6 > 0$ (ветви в I и III четвертях). Для получения искомого графика сдвигаем базовый на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Асимптоты: вертикальная $x=3$, горизонтальная $y=1$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных I и III, относительно центра $(3, 1)$.

Найдем точки для построения:

Ответ: График функции $y = \frac{6}{x-3} + 1$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{6}{x}$ на 3 вправо и 1 вверх. Асимптоты: $x=3$, $y=1$.

Построим график функции $y = \frac{-8}{x+1} - 3$.

Базовый график — $y = \frac{-8}{x}$. Его график — гипербола с $k=-8 < 0$ (ветви во II и IV четвертях). Для получения искомого графика сдвигаем базовый на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз.

Асимптоты: вертикальная $x=-1$, горизонтальная $y=-3$.

Ветви расположены в квадрантах, аналогичных II и IV, относительно центра $(-1, -3)$.

Найдем точки для построения:

Ответ: График функции $y = \frac{-8}{x+1} - 3$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{-8}{x}$ на 1 влево и 3 вниз. Асимптоты: $x=-1$, $y=-3$.

1.68* Уравнение окружности с центром O (0; 0) радиуса R имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, поэтому графиком функции $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ является верхняя полуокружность (рис. 32).

Постройте график функции:

a) $y = \sqrt{4 - x^2}$;

б) $y = -\sqrt{4 - x^2}$;

в) $y = \sqrt{9 - (x - 1)^2}$;

г) $y = -\sqrt{9 - (x + 1)^2}$;

д) $y = \sqrt{16 - (x + 2)^2} - 2$;

е) $y = -\sqrt{25 - (x - 3)^2} + 1$.

Рис. 32

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ выглядит как $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$. Из этого уравнения можно выразить $y$: $y = y_0 \pm \sqrt{R^2 - (x-x_0)^2}$.

Знак «плюс» перед корнем соответствует верхней полуокружности, а знак «минус» — нижней.

Для построения графиков данных функций мы будем преобразовывать их к каноническому виду уравнения окружности, определять центр, радиус и тип полуокружности (верхняя или нижняя).

а) $y = \sqrt{4 - x^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $y \ge 0$:
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$
$x^2 + y^2 = 2^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $R=2$. Так как в исходной функции перед корнем стоит знак плюс (и по определению арифметического корня $y \ge 0$), то графиком является верхняя полуокружность.
Область определения функции: $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$.
Область значений функции: $0 \le y \le 2$.
График проходит через точки $(-2; 0)$, $(2; 0)$ и $(0; 2)$.
Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.

б) $y = -\sqrt{4 - x^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $y \le 0$:
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$
$x^2 + y^2 = 2^2$
Это также уравнение окружности с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $R=2$. Так как в исходной функции перед корнем стоит знак минус ($y \le 0$), то графиком является нижняя полуокружность.
Область определения функции: $-2 \le x \le 2$.
Область значений функции: $-2 \le y \le 0$.
График проходит через точки $(-2; 0)$, $(2; 0)$ и $(0; -2)$.
Ответ: Графиком функции является нижняя полуокружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.

в) $y = \sqrt{9 - (x - 1)^2}$

Возведем обе части в квадрат, при условии $y \ge 0$:
$y^2 = 9 - (x - 1)^2$
$(x - 1)^2 + y^2 = 9$
$(x - 1)^2 + y^2 = 3^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $R=3$. Условие $y \ge 0$ означает, что график — это верхняя полуокружность.
Область определения: $9 - (x - 1)^2 \ge 0 \implies (x - 1)^2 \le 9 \implies -3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4$.
Область значений: $0 \le y \le 3$.
График проходит через точки $(-2; 0)$, $(4; 0)$ и $(1; 3)$.
Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $3$.

г) $y = -\sqrt{9 - (x + 1)^2}$

Возведем обе части в квадрат, при условии $y \le 0$:
$y^2 = 9 - (x + 1)^2$
$(x + 1)^2 + y^2 = 9$
$(x - (-1))^2 + y^2 = 3^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(-1; 0)$ и радиусом $R=3$. Условие $y \le 0$ означает, что график — это нижняя полуокружность.
Область определения: $9 - (x + 1)^2 \ge 0 \implies (x + 1)^2 \le 9 \implies -3 \le x + 1 \le 3 \implies -4 \le x \le 2$.
Область значений: $-3 \le y \le 0$.
График проходит через точки $(-4; 0)$, $(2; 0)$ и $(-1; -3)$.
Ответ: Графиком функции является нижняя полуокружность с центром в точке $(-1; 0)$ и радиусом $3$.

д) $y = \sqrt{16 - (x + 2)^2} - 2$

Преобразуем уравнение:
$y + 2 = \sqrt{16 - (x + 2)^2}$
Возведем обе части в квадрат, при условии $y + 2 \ge 0$, то есть $y \ge -2$:
$(y + 2)^2 = 16 - (x + 2)^2$
$(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 16$
$(x - (-2))^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(-2; -2)$ и радиусом $R=4$. Условие $y \ge -2$ означает, что мы берем верхнюю полуокружность (относительно горизонтальной линии $y=-2$, проходящей через центр).
Область определения: $16 - (x + 2)^2 \ge 0 \implies (x + 2)^2 \le 16 \implies -4 \le x + 2 \le 4 \implies -6 \le x \le 2$.
Область значений: $-2 \le y \le 2$.
Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(-2; -2)$ и радиусом $4$.

е) $y = -\sqrt{25 - (x - 3)^2} + 1$

Преобразуем уравнение:
$y - 1 = -\sqrt{25 - (x - 3)^2}$
Возведем обе части в квадрат, при условии $y - 1 \le 0$, то есть $y \le 1$:
$(y - 1)^2 = 25 - (x - 3)^2$
$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 25$
$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(3; 1)$ и радиусом $R=5$. Условие $y \le 1$ означает, что мы берем нижнюю полуокружность (относительно горизонтальной линии $y=1$, проходящей через центр).
Область определения: $25 - (x - 3)^2 \ge 0 \implies (x - 3)^2 \le 25 \implies -5 \le x - 3 \le 5 \implies -2 \le x \le 8$.
Область значений: $-4 \le y \le 1$.
Ответ: Графиком функции является нижняя полуокружность с центром в точке $(3; 1)$ и радиусом $5$.

1.69 Постройте график функции:

а) $y = 3 - \sqrt{9 - x^2 + 8x}$;

б) $y = 4 - \sqrt{9 - x^2 - 8x}$;

в) $y = 12 - \sqrt{125 - x^2 - 20x}$;

г) $y = -5 + \sqrt{69 - x^2 + 20x}$.

Укажите область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания (убывания) этой функции.

Для решения данных задач преобразуем каждую функцию к виду, который позволит легко определить тип графика. Все функции представляют собой части окружностей (полуокружности).

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(a, k)$ и радиусом $R$: $(x-a)^2 + (y-k)^2 = R^2$.

Отсюда можно выразить $y$: $y = k \pm \sqrt{R^2 - (x-a)^2}$.

Знак «+» перед корнем соответствует верхней полуокружности ($y \ge k$), а знак «-» — нижней полуокружности ($y \le k$).

Рассмотрим функцию $y = 3 - \sqrt{9 - x^2 + 8x}$.

1. Преобразование функции.
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении: $9 - x^2 + 8x = -(x^2 - 8x - 9) = -(x^2 - 8x + 16 - 16 - 9) = -((x-4)^2 - 25) = 25 - (x-4)^2$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = 3 - \sqrt{25 - (x-4)^2}$. Перенесем 3 в левую часть: $y - 3 = - \sqrt{25 - (x-4)^2}$.
Возведем обе части в квадрат: $(y-3)^2 = 25 - (x-4)^2$.
Получаем уравнение окружности: $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5^2$.
Это окружность с центром в точке $C(4, 3)$ и радиусом $R=5$. Так как в исходной функции перед корнем стоит знак «-», то $y-3 \le 0$, т.е. $y \le 3$. Следовательно, график функции — это нижняя полуокружность.

2. Область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $25 - (x-4)^2 \ge 0 \Rightarrow (x-4)^2 \le 25 \Rightarrow -5 \le x-4 \le 5 \Rightarrow -1 \le x \le 9$.
$D(y) = [-1, 9]$.

3. Нули функции.
Приравниваем $y$ к нулю: $0 = 3 - \sqrt{25 - (x-4)^2} \Rightarrow \sqrt{25 - (x-4)^2} = 3$.
$25 - (x-4)^2 = 9 \Rightarrow (x-4)^2 = 16 \Rightarrow x-4 = \pm 4$.
$x_1 = 4+4 = 8$, $x_2 = 4-4 = 0$. Нули функции: $x=0, x=8$.

4. Промежутки знакопостоянства.
Функция положительна ($y > 0$), когда $3 - \sqrt{25 - (x-4)^2} > 0 \Rightarrow 3 > \sqrt{25 - (x-4)^2} \Rightarrow 9 > 25 - (x-4)^2 \Rightarrow (x-4)^2 > 16$. Это выполняется при $|x-4| > 4$, то есть $x-4 > 4$ или $x-4 < -4$, что дает $x > 8$ или $x < 0$. С учетом области определения $D(y) = [-1, 9]$, получаем $x \in [-1, 0) \cup (8, 9]$.
Функция отрицательна ($y < 0$) на интервале $(0, 8)$.

5. Промежутки возрастания и убывания.
График — нижняя полуокружность с центром в $x=4$. До этой точки функция убывает, а после — возрастает.
Функция убывает на промежутке $[-1, 4]$.
Функция возрастает на промежутке $[4, 9]$.
Точка минимума: $(4, 3-5) = (4, -2)$.

6. График функции — это нижняя полуокружность с центром в $C(4, 3)$ и радиусом $R=5$, определенная на отрезке $x \in [-1, 9]$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = [-1, 9]$.
Нули функции: $x=0, x=8$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in [-1, 0) \cup (8, 9]$; $y < 0$ при $x \in (0, 8)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на $[4, 9]$, убывает на $[-1, 4]$.

Рассмотрим функцию $y = 4 - \sqrt{9 - x^2 - 8x}$.

1. Преобразование функции.
Выделим полный квадрат: $9 - x^2 - 8x = -(x^2 + 8x - 9) = -(x^2 + 8x + 16 - 16 - 9) = -((x+4)^2 - 25) = 25 - (x+4)^2$.
Функция: $y = 4 - \sqrt{25 - (x+4)^2}$.
Уравнение окружности: $(x+4)^2 + (y-4)^2 = 5^2$.
Это окружность с центром в $C(-4, 4)$ и радиусом $R=5$. Знак «-» перед корнем означает, что это нижняя полуокружность ($y \le 4$).

2. Область определения.
$25 - (x+4)^2 \ge 0 \Rightarrow (x+4)^2 \le 25 \Rightarrow -5 \le x+4 \le 5 \Rightarrow -9 \le x \le 1$.
$D(y) = [-9, 1]$.

3. Нули функции.
$0 = 4 - \sqrt{25 - (x+4)^2} \Rightarrow \sqrt{25 - (x+4)^2} = 4$.
$25 - (x+4)^2 = 16 \Rightarrow (x+4)^2 = 9 \Rightarrow x+4 = \pm 3$.
$x_1 = -4+3 = -1$, $x_2 = -4-3 = -7$. Нули функции: $x=-1, x=-7$.

4. Промежутки знакопостоянства.
$y>0$ при $x \in [-9, -7) \cup (-1, 1]$.
$y<0$ при $x \in (-7, -1)$.

5. Промежутки возрастания и убывания.
График — нижняя полуокружность с центром в $x=-4$.
Функция убывает на промежутке $[-9, -4]$.
Функция возрастает на промежутке $[-4, 1]$.
Точка минимума: $(-4, 4-5) = (-4, -1)$.

6. График функции — это нижняя полуокружность с центром в $C(-4, 4)$ и радиусом $R=5$, определенная на отрезке $x \in [-9, 1]$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = [-9, 1]$.
Нули функции: $x=-7, x=-1$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in [-9, -7) \cup (-1, 1]$; $y < 0$ при $x \in (-7, -1)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на $[-4, 1]$, убывает на $[-9, -4]$.

Рассмотрим функцию $y = 12 - \sqrt{125 - x^2 - 20x}$.

1. Преобразование функции.
Выделим полный квадрат: $125 - x^2 - 20x = -(x^2 + 20x - 125) = -(x^2 + 20x + 100 - 100 - 125) = -((x+10)^2 - 225) = 225 - (x+10)^2$.
Функция: $y = 12 - \sqrt{225 - (x+10)^2}$.
Уравнение окружности: $(x+10)^2 + (y-12)^2 = 15^2$.
Это окружность с центром в $C(-10, 12)$ и радиусом $R=15$. Знак «-» перед корнем означает, что это нижняя полуокружность ($y \le 12$).

2. Область определения.
$225 - (x+10)^2 \ge 0 \Rightarrow (x+10)^2 \le 225 \Rightarrow -15 \le x+10 \le 15 \Rightarrow -25 \le x \le 5$.
$D(y) = [-25, 5]$.

3. Нули функции.
$0 = 12 - \sqrt{225 - (x+10)^2} \Rightarrow \sqrt{225 - (x+10)^2} = 12$.
$225 - (x+10)^2 = 144 \Rightarrow (x+10)^2 = 81 \Rightarrow x+10 = \pm 9$.
$x_1 = -10+9 = -1$, $x_2 = -10-9 = -19$. Нули функции: $x=-19, x=-1$.

4. Промежутки знакопостоянства.
$y > 0$ при $x \in [-25, -19) \cup (-1, 5]$.
$y < 0$ при $x \in (-19, -1)$.

5. Промежутки возрастания и убывания.
График — нижняя полуокружность с центром в $x=-10$.
Функция убывает на промежутке $[-25, -10]$.
Функция возрастает на промежутке $[-10, 5]$.
Точка минимума: $(-10, 12-15) = (-10, -3)$.

6. График функции — это нижняя полуокружность с центром в $C(-10, 12)$ и радиусом $R=15$, определенная на отрезке $x \in [-25, 5]$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = [-25, 5]$.
Нули функции: $x=-19, x=-1$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in [-25, -19) \cup (-1, 5]$; $y < 0$ при $x \in (-19, -1)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на $[-10, 5]$, убывает на $[-25, -10]$.

Рассмотрим функцию $y = -5 + \sqrt{69 - x^2 + 20x}$.

1. Преобразование функции.
Выделим полный квадрат: $69 - x^2 + 20x = -(x^2 - 20x - 69) = -(x^2 - 20x + 100 - 100 - 69) = -((x-10)^2 - 169) = 169 - (x-10)^2$.
Функция: $y = -5 + \sqrt{169 - (x-10)^2}$.
Уравнение окружности: $(x-10)^2 + (y+5)^2 = 13^2$.
Это окружность с центром в $C(10, -5)$ и радиусом $R=13$. Знак «+» перед корнем означает, что это верхняя полуокружность ($y \ge -5$).

2. Область определения.
$169 - (x-10)^2 \ge 0 \Rightarrow (x-10)^2 \le 169 \Rightarrow -13 \le x-10 \le 13 \Rightarrow -3 \le x \le 23$.
$D(y) = [-3, 23]$.

3. Нули функции.
$0 = -5 + \sqrt{169 - (x-10)^2} \Rightarrow \sqrt{169 - (x-10)^2} = 5$.
$169 - (x-10)^2 = 25 \Rightarrow (x-10)^2 = 144 \Rightarrow x-10 = \pm 12$.
$x_1 = 10+12 = 22$, $x_2 = 10-12 = -2$. Нули функции: $x=-2, x=22$.

4. Промежутки знакопостоянства.
$y > 0$ при $x \in (-2, 22)$.
$y < 0$ при $x \in [-3, -2) \cup (22, 23]$.

5. Промежутки возрастания и убывания.
График — верхняя полуокружность с центром в $x=10$.
Функция возрастает на промежутке $[-3, 10]$.
Функция убывает на промежутке $[10, 23]$.
Точка максимума: $(10, -5+13) = (10, 8)$.

6. График функции — это верхняя полуокружность с центром в $C(10, -5)$ и радиусом $R=13$, определенная на отрезке $x \in [-3, 23]$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = [-3, 23]$.
Нули функции: $x=-2, x=22$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2, 22)$; $y < 0$ при $x \in [-3, -2) \cup (22, 23]$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на $[-3, 10]$, убывает на $[10, 23]$.

1.70 Постройте график функции:

а) $x = 2y$;

б) $x = y^2, y \ge 0$;

в) $x = 2^y$;

г) $x = \left(\frac{1}{2}\right)^y$;

д) $x = \sin y, -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$;

е) $x = \sqrt{1-y^2}$.

а)

Уравнение $x=2y$ является линейным. Чтобы построить его график, можно выразить $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2}x$.

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

Для построения прямой достаточно найти две точки. Возьмем несколько значений $y$ и вычислим соответствующие значения $x$:

• Если $y=0$, то $x = 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $y=1$, то $x = 2 \cdot 1 = 2$. Точка $(2, 1)$.

Соединив эти точки, мы получим прямую линию, проходящую через начало координат.

Ответ: Графиком функции является прямая линия $y = \frac{1}{2}x$, проходящая через начало координат и, например, точку $(2, 1)$.

б)

Уравнение $x=y^2$ задает параболу. В отличие от стандартной параболы $y=x^2$, ветви которой направлены вверх, ветви параболы $x=y^2$ направлены вправо, а ее осью симметрии является ось $Ox$.

Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только ту часть параболы, которая находится в верхней полуплоскости (где значения $y$ неотрицательны).

Если выразить $y$ через $x$, получим $y = \sqrt{x}$ (мы берем только положительный корень из-за условия $y \ge 0$). Это график функции квадратного корня.

Для построения графика найдем несколько точек, выбирая неотрицательные значения для $y$:

• Если $y=0$, то $x=0^2=0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $y=1$, то $x=1^2=1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $y=2$, то $x=2^2=4$. Точка $(4, 2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим верхнюю ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0,0)$ и уходящую вправо и вверх.

Ответ: Графиком является верхняя ветвь параболы $x=y^2$, ось симметрии которой — ось $Ox$, а вершина находится в точке $(0,0)$.

в)

Уравнение $x=2^y$ является показательной функцией, где $y$ — независимая переменная, а $x$ — зависимая. Этот график можно получить, отразив график стандартной показательной функции $y=2^x$ относительно прямой $y=x$.

Также можно выразить $y$ через $x$, получив логарифмическую функцию: $y = \log_2 x$.

Свойства графика:

• Область определения: $x > 0$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой, к которой график стремится при $y \to -\infty$.
• График проходит через точку $(1, 0)$, так как $2^0=1$.
• Функция является возрастающей.

Для построения найдем несколько точек, задавая значения $y$:

• Если $y=-1$, то $x=2^{-1}=0.5$. Точка $(0.5, -1)$.
• Если $y=0$, то $x=2^0=1$. Точка $(1, 0)$.
• Если $y=1$, то $x=2^1=2$. Точка $(2, 1)$.
• Если $y=2$, то $x=2^2=4$. Точка $(4, 2)$.

Соединив точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: Графиком является логарифмическая кривая $y=\log_2 x$, проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

г)

Уравнение $x = (\frac{1}{2})^y$ аналогично предыдущему пункту, но с основанием $a=\frac{1}{2}$, где $0 < a < 1$. Этот график является отражением графика убывающей показательной функции $y=(\frac{1}{2})^x$ относительно прямой $y=x$.

Выразим $y$ через $x$: $y = \log_{1/2} x$. Используя свойство логарифмов, это можно записать как $y = -\log_2 x$. Таким образом, этот график симметричен графику из пункта (в) относительно оси $Ox$.

Свойства графика:

• Область определения: $x > 0$.
• Ось $Oy$ (прямая $x=0$) является вертикальной асимптотой.
• График проходит через точку $(1, 0)$, так как $(\frac{1}{2})^0=1$.
• Функция является убывающей.

Найдем несколько точек для построения:

• Если $y=-1$, то $x=(\frac{1}{2})^{-1}=2$. Точка $(2, -1)$.
• Если $y=0$, то $x=(\frac{1}{2})^0=1$. Точка $(1, 0)$.
• Если $y=1$, то $x=(\frac{1}{2})^1=0.5$. Точка $(0.5, 1)$.

Соединив точки, получим кривую, которая уходит вверх при приближении $x$ к нулю справа и медленно убывает при росте $x$.

Ответ: Графиком является логарифмическая кривая $y=\log_{1/2} x$, проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

д)

Уравнение $x = \sin y$ с ограничением $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ задает график обратной тригонометрической функции — арксинуса.

Если $x = \sin y$ и $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то по определению $y = \arcsin x$.

График этой функции можно получить, отразив участок графика синусоиды $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ относительно прямой $y=x$.

Свойства графика:

• Область определения $x$: от $\sin(-\frac{\pi}{2})=-1$ до $\sin(\frac{\pi}{2})=1$. То есть $x \in [-1, 1]$.
• Область значений $y$ задана в условии: $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Ключевые точки для построения (получены инвертированием точек с графика $y=\sin x$):

• Конечная точка: $y = -\frac{\pi}{2}$, $x = -1$. Точка $(-1, -\frac{\pi}{2})$.
• Пересечение с осями: $y = 0$, $x = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Конечная точка: $y = \frac{\pi}{2}$, $x = 1$. Точка $(1, \frac{\pi}{2})$.

График представляет собой плавно возрастающую кривую, соединяющую эти три точки. Касательные к графику в конечных точках вертикальны.

Ответ: Графиком является кривая функции арксинус $y = \arcsin x$, определенная на отрезке $x \in [-1, 1]$ с областью значений $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

е)

Рассмотрим уравнение $x = \sqrt{1-y^2}$.

Определим область допустимых значений. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1-y^2 \ge 0$, что эквивалентно $y^2 \le 1$, или $-1 \le y \le 1$.

Кроме того, так как $x$ равен значению арифметического квадратного корня, $x$ должен быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Чтобы определить форму кривой, возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 = 1 - y^2$.

Перенесем $y^2$ в левую часть: $x^2 + y^2 = 1$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=1$.

Однако, мы должны учесть первоначальное условие $x \ge 0$. Это означает, что мы берем только ту часть окружности, которая лежит в правой полуплоскости (где координата $x$ неотрицательна), включая точки на оси $Oy$.

Таким образом, графиком является правая половина единичной окружности.

Ключевые точки: $(1, 0)$ (пересечение с осью $Ox$), а также $(0, 1)$ и $(0, -1)$ (крайние точки на оси $Oy$).

Ответ: Графиком функции является правая полуокружность окружности $x^2+y^2=1$ с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 1.

1.71 Дан график функции $y = f(x)$ (рис. 33, $a - \Gamma$). Постройте график функции $x = f(y)$.

Чтобы построить график функции $x = f(y)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо понять, как связаны точки этих двух графиков.

Пусть некоторая точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что для этой точки выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Теперь рассмотрим уравнение $x = f(y)$. Мы ищем множество точек $(x, y)$, которые ему удовлетворяют. Давайте проверим, будет ли точка с координатами $(y_0, x_0)$ принадлежать этому новому графику. Для этого подставим ее координаты в уравнение $x = f(y)$:

Подставляем $x = y_0$ и $y = x_0$. Получаем равенство $y_0 = f(x_0)$. Мы уже знаем, что это равенство является истинным, так как точка $(x_0, y_0)$ была взята с исходного графика. Следовательно, точка $(y_0, x_0)$ принадлежит графику функции $x = f(y)$.

Таким образом, мы установили, что каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $(y_0, x_0)$ на графике $x = f(y)$.

Геометрическое преобразование, которое отображает каждую точку $(x_0, y_0)$ в точку $(y_0, x_0)$, является симметрией (зеркальным отражением) относительно прямой $y = x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Общий алгоритм: для построения графика функции $x = f(y)$ нужно взять данный график функции $y = f(x)$ и симметрично отразить его относительно прямой $y = x$.

Так как конкретные графики из "рис. 33, а-г" не предоставлены, для каждого пункта будет применен этот общий метод.

Для построения графика функции $x = f(y)$ по данному графику $y = f(x)$ из рис. 33, а, необходимо выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y=x$. Каждая точка $(a, b)$ на исходном графике преобразуется в точку $(b, a)$ на искомом графике.

Ответ: График функции $x=f(y)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ с рис. 33, а, относительно прямой $y=x$.

Для построения графика функции $x = f(y)$ по данному графику $y = f(x)$ из рис. 33, б, необходимо выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y=x$. Каждая точка $(a, b)$ на исходном графике преобразуется в точку $(b, a)$ на искомом графике.

Ответ: График функции $x=f(y)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ с рис. 33, б, относительно прямой $y=x$.

Для построения графика функции $x = f(y)$ по данному графику $y = f(x)$ из рис. 33, в, необходимо выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y=x$. Каждая точка $(a, b)$ на исходном графике преобразуется в точку $(b, a)$ на искомом графике.

Ответ: График функции $x=f(y)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ с рис. 33, в, относительно прямой $y=x$.

Для построения графика функции $x = f(y)$ по данному графику $y = f(x)$ из рис. 33, г, необходимо выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y=x$. Каждая точка $(a, b)$ на исходном графике преобразуется в точку $(b, a)$ на искомом графике.

Ответ: График функции $x=f(y)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ с рис. 33, г, относительно прямой $y=x$.

1.72 Придумайте пример функции $y = f(x)$, график которой совпадает с графиком функции $x = f(y)$ при изображении этих графиков в одной системе координат $xOy$.

а)

б)

в)

г)

Рис. 33

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис. 34

Условие, что график функции $y = f(x)$ совпадает с графиком функции $x = f(y)$, означает, что если точка $(a, b)$ принадлежит графику, то и точка $(b, a)$ также принадлежит ему. Геометрически это означает, что график функции симметричен относительно прямой $y = x$.

Функция, график которой симметричен относительно прямой $y = x$, является обратной самой себе. То есть, для такой функции должно выполняться тождество $f(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции.

Приведем несколько примеров таких функций:

• Линейная функция $y = -x$.
  Проверка: если $f(x) = -x$, то $f(f(x)) = -(-x) = x$. Графиком является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Эта прямая перпендикулярна прямой $y=x$ и симметрична относительно нее.
• В более общем виде, любая функция вида $y = c - x$, где $c$ – произвольная постоянная.
  Проверка: если $f(x) = c - x$, то $f(f(x)) = c - (c - x) = c - c + x = x$.
• Дробно-рациональная функция $y = \frac{1}{x}$.
  Проверка: если $f(x) = \frac{1}{x}$, то $f(f(x)) = \frac{1}{1/x} = x$. Область определения $x \neq 0$.
• Функция, заданная на ограниченном промежутке, например, $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ на отрезке $[0, R]$. Графиком является четверть окружности с центром в начале координат и радиусом $R$, расположенная в первой координатной четверти. Этот график симметричен относительно прямой $y=x$.

Ответ: Примером такой функции является $y = -x$ или $y = \frac{1}{x}$.

а)

На графике изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = R^2 = 4$. Чтобы получить функцию $y=f(x)$ для верхней полуокружности, выразим $y$ из уравнения, взяв положительное значение корня: $y^2 = 4 - x^2 \Rightarrow y = \sqrt{4 - x^2}$. Область определения функции: $4 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 4$, то есть $x \in [-2, 2]$.

Ответ: $y = \sqrt{4 - x^2}$, $x \in [-2, 2]$.

б)

На графике изображена нижняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 4$. Чтобы получить функцию $y=f(x)$ для нижней полуокружности, выразим $y$ из уравнения, взяв отрицательное значение корня: $y^2 = 4 - x^2 \Rightarrow y = -\sqrt{4 - x^2}$. Область определения функции: $x \in [-2, 2]$. (Сторонняя точка в районе $(-2, -2)$ на рисунке, вероятно, является опечаткой и не относится к графику функции).

Ответ: $y = -\sqrt{4 - x^2}$, $x \in [-2, 2]$.

в)

На графике изображена правая полуокружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Эта кривая не является графиком функции $y=f(x)$, так как для значений $x \in [0, 2)$ одному значению $x$ соответствуют два значения $y$ (например, для $x=1$, $y=\sqrt{3}$ и $y=-\sqrt{3}$). Эта кривая является графиком функции $x = g(y) = \sqrt{4-y^2}$ для $y \in [-2, 2]$.

Ответ: Данный график не является графиком функции вида $y=f(x)$.

г)

На графике изображена левая полуокружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Аналогично предыдущему пункту, эта кривая не является графиком функции $y=f(x)$, так как для $x \in (-2, 0]$ одному значению $x$ соответствуют два значения $y$. Эта кривая является графиком функции $x = g(y) = -\sqrt{4-y^2}$ для $y \in [-2, 2]$.

Ответ: Данный график не является графиком функции вида $y=f(x)$.

д)

График представляет собой дугу окружности. Концевые точки дуги: $(-1, 1)$ и $(3, 1)$. Верхняя точка дуги: $(1, 3)$. Центр окружности $(x_0, y_0)$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки $(-1, 1)$ и $(3, 1)$. Этот перпендикуляр — прямая $x = \frac{-1+3}{2} = 1$. Таким образом, центр имеет координаты $(1, y_0)$. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра до любой точки на дуге. $R^2 = (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2$. Используя точки $(1, 3)$ и $(3, 1)$: $R^2 = (1-1)^2 + (3-y_0)^2 = (3-y_0)^2$. $R^2 = (3-1)^2 + (1-y_0)^2 = 4 + (1-y_0)^2$. Приравнивая выражения для $R^2$: $(3-y_0)^2 = 4 + (1-y_0)^2 \Rightarrow 9 - 6y_0 + y_0^2 = 4 + 1 - 2y_0 + y_0^2 \Rightarrow 9 - 6y_0 = 5 - 2y_0 \Rightarrow 4y_0 = 4 \Rightarrow y_0 = 1$. Центр окружности — $(1, 1)$. Радиус $R = 3 - y_0 = 3 - 1 = 2$. Уравнение окружности: $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4$. Так как изображена верхняя дуга, выражаем $y$, беря положительный корень: $(y-1)^2 = 4 - (x-1)^2 \Rightarrow y-1 = \sqrt{4-(x-1)^2} \Rightarrow y = 1 + \sqrt{4-(x-1)^2}$. Область определения $x \in [-1, 3]$.

Ответ: $y = 1 + \sqrt{4-(x-1)^2}$, $x \in [-1, 3]$.

е)

График представляет собой дугу окружности. Концевые точки дуги: $(-3, 1)$ и $(1, 1)$. Нижняя точка дуги: $(-1, -1)$. Центр окружности $(x_0, y_0)$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точки $(-3, 1)$ и $(1, 1)$. Этот перпендикуляр — прямая $x = \frac{-3+1}{2} = -1$. Центр имеет координаты $(-1, y_0)$. Используя точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$: $R^2 = (-1-(-1))^2 + (-1-y_0)^2 = (-1-y_0)^2 = (y_0+1)^2$. $R^2 = (1-(-1))^2 + (1-y_0)^2 = 4 + (1-y_0)^2$. Приравнивая выражения для $R^2$: $(y_0+1)^2 = 4 + (1-y_0)^2 \Rightarrow y_0^2 + 2y_0 + 1 = 4 + 1 - 2y_0 + y_0^2 \Rightarrow 2y_0 + 1 = 5 - 2y_0 \Rightarrow 4y_0 = 4 \Rightarrow y_0 = 1$. Центр окружности — $(-1, 1)$. Радиус $R = y_0 - (-1) = 1+1=2$. Уравнение окружности: $(x+1)^2 + (y-1)^2 = 4$. Так как изображена нижняя дуга, выражаем $y$, беря отрицательный корень: $(y-1)^2 = 4 - (x+1)^2 \Rightarrow y-1 = -\sqrt{4-(x+1)^2} \Rightarrow y = 1 - \sqrt{4-(x+1)^2}$. Область определения $x \in [-3, 1]$.

Ответ: $y = 1 - \sqrt{4-(x+1)^2}$, $x \in [-3, 1]$.