Номер 1.69, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.69, страница 32.

Условие.

1.69 Постройте график функции:

а) $y = 3 - \sqrt{9 - x^2 + 8x}$;

б) $y = 4 - \sqrt{9 - x^2 - 8x}$;

в) $y = 12 - \sqrt{125 - x^2 - 20x}$;

г) $y = -5 + \sqrt{69 - x^2 + 20x}$.

Укажите область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания (убывания) этой функции.

Решение 1.

Решение 4.

Для решения данных задач преобразуем каждую функцию к виду, который позволит легко определить тип графика. Все функции представляют собой части окружностей (полуокружности).

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(a, k)$ и радиусом $R$: $(x-a)^2 + (y-k)^2 = R^2$.

Отсюда можно выразить $y$: $y = k \pm \sqrt{R^2 - (x-a)^2}$.

Знак «+» перед корнем соответствует верхней полуокружности ($y \ge k$), а знак «-» — нижней полуокружности ($y \le k$).

а)

Рассмотрим функцию $y = 3 - \sqrt{9 - x^2 + 8x}$.

1. Преобразование функции.
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении: $9 - x^2 + 8x = -(x^2 - 8x - 9) = -(x^2 - 8x + 16 - 16 - 9) = -((x-4)^2 - 25) = 25 - (x-4)^2$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = 3 - \sqrt{25 - (x-4)^2}$. Перенесем 3 в левую часть: $y - 3 = - \sqrt{25 - (x-4)^2}$.
Возведем обе части в квадрат: $(y-3)^2 = 25 - (x-4)^2$.
Получаем уравнение окружности: $(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5^2$.
Это окружность с центром в точке $C(4, 3)$ и радиусом $R=5$. Так как в исходной функции перед корнем стоит знак «-», то $y-3 \le 0$, т.е. $y \le 3$. Следовательно, график функции — это нижняя полуокружность.

2. Область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $25 - (x-4)^2 \ge 0 \Rightarrow (x-4)^2 \le 25 \Rightarrow -5 \le x-4 \le 5 \Rightarrow -1 \le x \le 9$.
$D(y) = [-1, 9]$.

3. Нули функции.
Приравниваем $y$ к нулю: $0 = 3 - \sqrt{25 - (x-4)^2} \Rightarrow \sqrt{25 - (x-4)^2} = 3$.
$25 - (x-4)^2 = 9 \Rightarrow (x-4)^2 = 16 \Rightarrow x-4 = \pm 4$.
$x_1 = 4+4 = 8$, $x_2 = 4-4 = 0$. Нули функции: $x=0, x=8$.

4. Промежутки знакопостоянства.
Функция положительна ($y > 0$), когда $3 - \sqrt{25 - (x-4)^2} > 0 \Rightarrow 3 > \sqrt{25 - (x-4)^2} \Rightarrow 9 > 25 - (x-4)^2 \Rightarrow (x-4)^2 > 16$. Это выполняется при $|x-4| > 4$, то есть $x-4 > 4$ или $x-4 < -4$, что дает $x > 8$ или $x < 0$. С учетом области определения $D(y) = [-1, 9]$, получаем $x \in [-1, 0) \cup (8, 9]$.
Функция отрицательна ($y < 0$) на интервале $(0, 8)$.

5. Промежутки возрастания и убывания.
График — нижняя полуокружность с центром в $x=4$. До этой точки функция убывает, а после — возрастает.
Функция убывает на промежутке $[-1, 4]$.
Функция возрастает на промежутке $[4, 9]$.
Точка минимума: $(4, 3-5) = (4, -2)$.

6. График функции — это нижняя полуокружность с центром в $C(4, 3)$ и радиусом $R=5$, определенная на отрезке $x \in [-1, 9]$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = [-1, 9]$.
Нули функции: $x=0, x=8$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in [-1, 0) \cup (8, 9]$; $y < 0$ при $x \in (0, 8)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на $[4, 9]$, убывает на $[-1, 4]$.

б)

Рассмотрим функцию $y = 4 - \sqrt{9 - x^2 - 8x}$.

1. Преобразование функции.
Выделим полный квадрат: $9 - x^2 - 8x = -(x^2 + 8x - 9) = -(x^2 + 8x + 16 - 16 - 9) = -((x+4)^2 - 25) = 25 - (x+4)^2$.
Функция: $y = 4 - \sqrt{25 - (x+4)^2}$.
Уравнение окружности: $(x+4)^2 + (y-4)^2 = 5^2$.
Это окружность с центром в $C(-4, 4)$ и радиусом $R=5$. Знак «-» перед корнем означает, что это нижняя полуокружность ($y \le 4$).

2. Область определения.
$25 - (x+4)^2 \ge 0 \Rightarrow (x+4)^2 \le 25 \Rightarrow -5 \le x+4 \le 5 \Rightarrow -9 \le x \le 1$.
$D(y) = [-9, 1]$.

3. Нули функции.
$0 = 4 - \sqrt{25 - (x+4)^2} \Rightarrow \sqrt{25 - (x+4)^2} = 4$.
$25 - (x+4)^2 = 16 \Rightarrow (x+4)^2 = 9 \Rightarrow x+4 = \pm 3$.
$x_1 = -4+3 = -1$, $x_2 = -4-3 = -7$. Нули функции: $x=-1, x=-7$.

4. Промежутки знакопостоянства.
$y>0$ при $x \in [-9, -7) \cup (-1, 1]$.
$y<0$ при $x \in (-7, -1)$.

5. Промежутки возрастания и убывания.
График — нижняя полуокружность с центром в $x=-4$.
Функция убывает на промежутке $[-9, -4]$.
Функция возрастает на промежутке $[-4, 1]$.
Точка минимума: $(-4, 4-5) = (-4, -1)$.

6. График функции — это нижняя полуокружность с центром в $C(-4, 4)$ и радиусом $R=5$, определенная на отрезке $x \in [-9, 1]$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = [-9, 1]$.
Нули функции: $x=-7, x=-1$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in [-9, -7) \cup (-1, 1]$; $y < 0$ при $x \in (-7, -1)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на $[-4, 1]$, убывает на $[-9, -4]$.

в)

Рассмотрим функцию $y = 12 - \sqrt{125 - x^2 - 20x}$.

1. Преобразование функции.
Выделим полный квадрат: $125 - x^2 - 20x = -(x^2 + 20x - 125) = -(x^2 + 20x + 100 - 100 - 125) = -((x+10)^2 - 225) = 225 - (x+10)^2$.
Функция: $y = 12 - \sqrt{225 - (x+10)^2}$.
Уравнение окружности: $(x+10)^2 + (y-12)^2 = 15^2$.
Это окружность с центром в $C(-10, 12)$ и радиусом $R=15$. Знак «-» перед корнем означает, что это нижняя полуокружность ($y \le 12$).

2. Область определения.
$225 - (x+10)^2 \ge 0 \Rightarrow (x+10)^2 \le 225 \Rightarrow -15 \le x+10 \le 15 \Rightarrow -25 \le x \le 5$.
$D(y) = [-25, 5]$.

3. Нули функции.
$0 = 12 - \sqrt{225 - (x+10)^2} \Rightarrow \sqrt{225 - (x+10)^2} = 12$.
$225 - (x+10)^2 = 144 \Rightarrow (x+10)^2 = 81 \Rightarrow x+10 = \pm 9$.
$x_1 = -10+9 = -1$, $x_2 = -10-9 = -19$. Нули функции: $x=-19, x=-1$.

4. Промежутки знакопостоянства.
$y > 0$ при $x \in [-25, -19) \cup (-1, 5]$.
$y < 0$ при $x \in (-19, -1)$.

5. Промежутки возрастания и убывания.
График — нижняя полуокружность с центром в $x=-10$.
Функция убывает на промежутке $[-25, -10]$.
Функция возрастает на промежутке $[-10, 5]$.
Точка минимума: $(-10, 12-15) = (-10, -3)$.

6. График функции — это нижняя полуокружность с центром в $C(-10, 12)$ и радиусом $R=15$, определенная на отрезке $x \in [-25, 5]$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = [-25, 5]$.
Нули функции: $x=-19, x=-1$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in [-25, -19) \cup (-1, 5]$; $y < 0$ при $x \in (-19, -1)$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на $[-10, 5]$, убывает на $[-25, -10]$.

г)

Рассмотрим функцию $y = -5 + \sqrt{69 - x^2 + 20x}$.

1. Преобразование функции.
Выделим полный квадрат: $69 - x^2 + 20x = -(x^2 - 20x - 69) = -(x^2 - 20x + 100 - 100 - 69) = -((x-10)^2 - 169) = 169 - (x-10)^2$.
Функция: $y = -5 + \sqrt{169 - (x-10)^2}$.
Уравнение окружности: $(x-10)^2 + (y+5)^2 = 13^2$.
Это окружность с центром в $C(10, -5)$ и радиусом $R=13$. Знак «+» перед корнем означает, что это верхняя полуокружность ($y \ge -5$).

2. Область определения.
$169 - (x-10)^2 \ge 0 \Rightarrow (x-10)^2 \le 169 \Rightarrow -13 \le x-10 \le 13 \Rightarrow -3 \le x \le 23$.
$D(y) = [-3, 23]$.

3. Нули функции.
$0 = -5 + \sqrt{169 - (x-10)^2} \Rightarrow \sqrt{169 - (x-10)^2} = 5$.
$169 - (x-10)^2 = 25 \Rightarrow (x-10)^2 = 144 \Rightarrow x-10 = \pm 12$.
$x_1 = 10+12 = 22$, $x_2 = 10-12 = -2$. Нули функции: $x=-2, x=22$.

4. Промежутки знакопостоянства.
$y > 0$ при $x \in (-2, 22)$.
$y < 0$ при $x \in [-3, -2) \cup (22, 23]$.

5. Промежутки возрастания и убывания.
График — верхняя полуокружность с центром в $x=10$.
Функция возрастает на промежутке $[-3, 10]$.
Функция убывает на промежутке $[10, 23]$.
Точка максимума: $(10, -5+13) = (10, 8)$.

6. График функции — это верхняя полуокружность с центром в $C(10, -5)$ и радиусом $R=13$, определенная на отрезке $x \in [-3, 23]$.

Ответ:
Область определения: $D(y) = [-3, 23]$.
Нули функции: $x=-2, x=22$.
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2, 22)$; $y < 0$ при $x \in [-3, -2) \cup (22, 23]$.
Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает на $[-3, 10]$, убывает на $[10, 23]$.