Номер 1.66, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.66, страница 31.

Условие.

1.66 Дан график функции $y = f(x)$ (рис. 31, а, б).

Рис. 31

Постройте график функции:

а) $y = -f(x);$

б) $y = f(-x);$

в) $y = f(x - 2);$

г) $y = f(x + 3);$

д) $y = f(x + 1) - 2;$

е) $y = f(x - 2) + 1;$

ж) $y = 2f(x);$

з) $y = \frac{1}{2}f(x);$

и) $y = f(2x);$

к) $y = f(\frac{1}{2}x).$

Решение 1.

Решение 4.

Решение для графика на Рис. 31 а) (парабола)

Исходный график $y = f(x)$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(1, 4)$, ветви которой направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $x = -1$ и $x = 3$.

а) $y = -f(x)$

Преобразование $y = -f(x)$ означает симметричное отражение исходного графика относительно оси Ox. Каждая точка $(x, y)$ на исходном графике переходит в точку $(x, -y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(1, -4)$. Точки пересечения с осью Ox $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ остаются на месте.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(1, -4)$ и ветвями, направленными вверх.

б) $y = f(-x)$

Преобразование $y = f(-x)$ означает симметричное отражение исходного графика относительно оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ на исходном графике переходит в точку $(-x, y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(-1, 4)$. Точки $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ переходят в $(1, 0)$ и $(-3, 0)$ соответственно.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-1, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $-3$ и $1$.

в) $y = f(x - 2)$

Преобразование $y = f(x - 2)$ означает сдвиг (параллельный перенос) исходного графика на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x+2, y)$. Вершина $(1, 4)$ смещается в $(3, 4)$. Корни $-1$ и $3$ смещаются в $1$ и $5$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(3, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $1$ и $5$.

г) $y = f(x + 3)$

Преобразование $y = f(x + 3)$ означает сдвиг исходного графика на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x-3, y)$. Вершина $(1, 4)$ смещается в $(-2, 4)$. Корни $-1$ и $3$ смещаются в $-4$ и $0$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-2, 4)$, ветвями вниз, пересекающая ось Ox в точках $-4$ и $0$.

д) $y = f(x + 1) - 2$

Это комбинированное преобразование: сдвиг на 1 единицу влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x-1, y-2)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в точку $(1-1, 4-2)$, то есть $(0, 2)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз.

е) $y = f(x - 2) + 1$

Это комбинированное преобразование: сдвиг на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x+2, y+1)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в точку $(1+2, 4+1)$, то есть $(3, 5)$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(3, 5)$ и ветвями, направленными вниз.

ж) $y = 2f(x)$

Преобразование $y = 2f(x)$ означает растяжение графика в 2 раза вдоль оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x, 2y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(1, 8)$. Точки пересечения с осью Ox остаются на месте.

Ответ: Графиком является парабола, растянутая в 2 раза от оси Ox, с вершиной в точке $(1, 8)$ и ветвями вниз.

з) $y = \frac{1}{2}f(x)$

Преобразование $y = \frac{1}{2}f(x)$ означает сжатие графика в 2 раза к оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(x, \frac{1}{2}y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(1, 2)$. Точки пересечения с осью Ox остаются на месте.

Ответ: Графиком является парабола, сжатая в 2 раза к оси Ox, с вершиной в точке $(1, 2)$ и ветвями вниз.

и) $y = f(2x)$

Преобразование $y = f(2x)$ означает сжатие графика в 2 раза к оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(\frac{x}{2}, y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(\frac{1}{2}, 4)$. Точки пересечения с осью Ox $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ переходят в $(-\frac{1}{2}, 0)$ и $(\frac{3}{2}, 0)$.

Ответ: Графиком является парабола, сжатая в 2 раза к оси Oy, с вершиной в точке $(0.5, 4)$ и ветвями вниз.

к) $y = f(\frac{1}{2}x)$

Преобразование $y = f(\frac{1}{2}x)$ означает растяжение графика в 2 раза от оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ переходит в $(2x, y)$. Вершина $(1, 4)$ переходит в $(2, 4)$. Точки пересечения с осью Ox $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ переходят в $(-2, 0)$ и $(6, 0)$.

Ответ: Графиком является парабола, растянутая в 2 раза от оси Oy, с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями вниз.

---

Решение для графика на Рис. 31 б) (ломаная)

Исходный график $y = f(x)$ представляет собой ломаную линию, проходящую через три ключевые точки: $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$ (точка минимума) и $C(4, 1)$.

а) $y = -f(x)$

Отражение графика относительно оси Ox. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x, -y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-1, -2)$, $B'(2, 1)$, $C'(4, -1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-1, -2)$, $(2, 1)$ и $(4, -1)$. Точка $(2, 1)$ является точкой максимума.

б) $y = f(-x)$

Отражение графика относительно оси Oy. Координаты $(x, y)$ переходят в $(-x, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(1, 2)$, $B'(-2, -1)$, $C'(-4, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-4, 1)$, $(-2, -1)$ и $(1, 2)$. Точка $(-2, -1)$ является точкой минимума.

в) $y = f(x - 2)$

Сдвиг графика на 2 единицы вправо. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x+2, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(1, 2)$, $B'(4, -1)$, $C'(6, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(1, 2)$, $(4, -1)$ и $(6, 1)$. Точка $(4, -1)$ является точкой минимума.

г) $y = f(x + 3)$

Сдвиг графика на 3 единицы влево. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x-3, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-4, 2)$, $B'(-1, -1)$, $C'(1, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-4, 2)$, $(-1, -1)$ и $(1, 1)$. Точка $(-1, -1)$ является точкой минимума.

д) $y = f(x + 1) - 2$

Сдвиг на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x-1, y-2)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-2, 0)$, $B'(1, -3)$, $C'(3, -1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-2, 0)$, $(1, -3)$ и $(3, -1)$. Точка $(1, -3)$ является точкой минимума.

е) $y = f(x - 2) + 1$

Сдвиг на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x+2, y+1)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(1, 3)$, $B'(4, 0)$, $C'(6, 2)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(1, 3)$, $(4, 0)$ и $(6, 2)$. Точка $(4, 0)$ является точкой минимума.

ж) $y = 2f(x)$

Растяжение в 2 раза вдоль оси Oy. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x, 2y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-1, 4)$, $B'(2, -2)$, $C'(4, 2)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-1, 4)$, $(2, -2)$ и $(4, 2)$.

з) $y = \frac{1}{2}f(x)$

Сжатие в 2 раза к оси Ox. Координаты $(x, y)$ переходят в $(x, \frac{1}{2}y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-1, 1)$, $B'(2, -0.5)$, $C'(4, 0.5)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-1, 1)$, $(2, -0.5)$ и $(4, 0.5)$.

и) $y = f(2x)$

Сжатие в 2 раза к оси Oy. Координаты $(x, y)$ переходят в $(\frac{x}{2}, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-0.5, 2)$, $B'(1, -1)$, $C'(2, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-0.5, 2)$, $(1, -1)$ и $(2, 1)$.

к) $y = f(\frac{1}{2}x)$

Растяжение в 2 раза от оси Oy. Координаты $(x, y)$ переходят в $(2x, y)$. Точки $A(-1, 2)$, $B(2, -1)$, $C(4, 1)$ переходят в $A'(-2, 2)$, $B'(4, -1)$, $C'(8, 1)$.

Ответ: Ломаная линия, проходящая через точки $(-2, 2)$, $(4, -1)$ и $(8, 1)$.