Номер 1.68, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.68, страница 32.

Условие.

1.68* Уравнение окружности с центром O (0; 0) радиуса R имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, поэтому графиком функции $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ является верхняя полуокружность (рис. 32).

Постройте график функции:

a) $y = \sqrt{4 - x^2}$;

б) $y = -\sqrt{4 - x^2}$;

в) $y = \sqrt{9 - (x - 1)^2}$;

г) $y = -\sqrt{9 - (x + 1)^2}$;

д) $y = \sqrt{16 - (x + 2)^2} - 2$;

е) $y = -\sqrt{25 - (x - 3)^2} + 1$.

Рис. 32

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Общий вид уравнения окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ выглядит как $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$. Из этого уравнения можно выразить $y$: $y = y_0 \pm \sqrt{R^2 - (x-x_0)^2}$.

Знак «плюс» перед корнем соответствует верхней полуокружности, а знак «минус» — нижней.

Для построения графиков данных функций мы будем преобразовывать их к каноническому виду уравнения окружности, определять центр, радиус и тип полуокружности (верхняя или нижняя).

а) $y = \sqrt{4 - x^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $y \ge 0$:
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$
$x^2 + y^2 = 2^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $R=2$. Так как в исходной функции перед корнем стоит знак плюс (и по определению арифметического корня $y \ge 0$), то графиком является верхняя полуокружность.
Область определения функции: $4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$.
Область значений функции: $0 \le y \le 2$.
График проходит через точки $(-2; 0)$, $(2; 0)$ и $(0; 2)$.
Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.

б) $y = -\sqrt{4 - x^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $y \le 0$:
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$
$x^2 + y^2 = 2^2$
Это также уравнение окружности с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $R=2$. Так как в исходной функции перед корнем стоит знак минус ($y \le 0$), то графиком является нижняя полуокружность.
Область определения функции: $-2 \le x \le 2$.
Область значений функции: $-2 \le y \le 0$.
График проходит через точки $(-2; 0)$, $(2; 0)$ и $(0; -2)$.
Ответ: Графиком функции является нижняя полуокружность с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $2$.

в) $y = \sqrt{9 - (x - 1)^2}$

Возведем обе части в квадрат, при условии $y \ge 0$:
$y^2 = 9 - (x - 1)^2$
$(x - 1)^2 + y^2 = 9$
$(x - 1)^2 + y^2 = 3^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $R=3$. Условие $y \ge 0$ означает, что график — это верхняя полуокружность.
Область определения: $9 - (x - 1)^2 \ge 0 \implies (x - 1)^2 \le 9 \implies -3 \le x - 1 \le 3 \implies -2 \le x \le 4$.
Область значений: $0 \le y \le 3$.
График проходит через точки $(-2; 0)$, $(4; 0)$ и $(1; 3)$.
Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $3$.

г) $y = -\sqrt{9 - (x + 1)^2}$

Возведем обе части в квадрат, при условии $y \le 0$:
$y^2 = 9 - (x + 1)^2$
$(x + 1)^2 + y^2 = 9$
$(x - (-1))^2 + y^2 = 3^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(-1; 0)$ и радиусом $R=3$. Условие $y \le 0$ означает, что график — это нижняя полуокружность.
Область определения: $9 - (x + 1)^2 \ge 0 \implies (x + 1)^2 \le 9 \implies -3 \le x + 1 \le 3 \implies -4 \le x \le 2$.
Область значений: $-3 \le y \le 0$.
График проходит через точки $(-4; 0)$, $(2; 0)$ и $(-1; -3)$.
Ответ: Графиком функции является нижняя полуокружность с центром в точке $(-1; 0)$ и радиусом $3$.

д) $y = \sqrt{16 - (x + 2)^2} - 2$

Преобразуем уравнение:
$y + 2 = \sqrt{16 - (x + 2)^2}$
Возведем обе части в квадрат, при условии $y + 2 \ge 0$, то есть $y \ge -2$:
$(y + 2)^2 = 16 - (x + 2)^2$
$(x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 16$
$(x - (-2))^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(-2; -2)$ и радиусом $R=4$. Условие $y \ge -2$ означает, что мы берем верхнюю полуокружность (относительно горизонтальной линии $y=-2$, проходящей через центр).
Область определения: $16 - (x + 2)^2 \ge 0 \implies (x + 2)^2 \le 16 \implies -4 \le x + 2 \le 4 \implies -6 \le x \le 2$.
Область значений: $-2 \le y \le 2$.
Ответ: Графиком функции является верхняя полуокружность с центром в точке $(-2; -2)$ и радиусом $4$.

е) $y = -\sqrt{25 - (x - 3)^2} + 1$

Преобразуем уравнение:
$y - 1 = -\sqrt{25 - (x - 3)^2}$
Возведем обе части в квадрат, при условии $y - 1 \le 0$, то есть $y \le 1$:
$(y - 1)^2 = 25 - (x - 3)^2$
$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 25$
$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $(3; 1)$ и радиусом $R=5$. Условие $y \le 1$ означает, что мы берем нижнюю полуокружность (относительно горизонтальной линии $y=1$, проходящей через центр).
Область определения: $25 - (x - 3)^2 \ge 0 \implies (x - 3)^2 \le 25 \implies -5 \le x - 3 \le 5 \implies -2 \le x \le 8$.
Область значений: $-4 \le y \le 1$.
Ответ: Графиком функции является нижняя полуокружность с центром в точке $(3; 1)$ и радиусом $5$.