Номер 1.71, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.71, страница 32.

Условие.

1.71 Дан график функции $y = f(x)$ (рис. 33, $a - \Gamma$). Постройте график функции $x = f(y)$.

Решение 1.

Решение 4.

Чтобы построить график функции $x = f(y)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо понять, как связаны точки этих двух графиков.

Пусть некоторая точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что для этой точки выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Теперь рассмотрим уравнение $x = f(y)$. Мы ищем множество точек $(x, y)$, которые ему удовлетворяют. Давайте проверим, будет ли точка с координатами $(y_0, x_0)$ принадлежать этому новому графику. Для этого подставим ее координаты в уравнение $x = f(y)$:

Подставляем $x = y_0$ и $y = x_0$. Получаем равенство $y_0 = f(x_0)$. Мы уже знаем, что это равенство является истинным, так как точка $(x_0, y_0)$ была взята с исходного графика. Следовательно, точка $(y_0, x_0)$ принадлежит графику функции $x = f(y)$.

Таким образом, мы установили, что каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y = f(x)$ соответствует точка $(y_0, x_0)$ на графике $x = f(y)$.

Геометрическое преобразование, которое отображает каждую точку $(x_0, y_0)$ в точку $(y_0, x_0)$, является симметрией (зеркальным отражением) относительно прямой $y = x$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Общий алгоритм: для построения графика функции $x = f(y)$ нужно взять данный график функции $y = f(x)$ и симметрично отразить его относительно прямой $y = x$.

Так как конкретные графики из "рис. 33, а-г" не предоставлены, для каждого пункта будет применен этот общий метод.

а)

Для построения графика функции $x = f(y)$ по данному графику $y = f(x)$ из рис. 33, а, необходимо выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y=x$. Каждая точка $(a, b)$ на исходном графике преобразуется в точку $(b, a)$ на искомом графике.

Ответ: График функции $x=f(y)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ с рис. 33, а, относительно прямой $y=x$.

б)

Для построения графика функции $x = f(y)$ по данному графику $y = f(x)$ из рис. 33, б, необходимо выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y=x$. Каждая точка $(a, b)$ на исходном графике преобразуется в точку $(b, a)$ на искомом графике.

Ответ: График функции $x=f(y)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ с рис. 33, б, относительно прямой $y=x$.

в)

Для построения графика функции $x = f(y)$ по данному графику $y = f(x)$ из рис. 33, в, необходимо выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y=x$. Каждая точка $(a, b)$ на исходном графике преобразуется в точку $(b, a)$ на искомом графике.

Ответ: График функции $x=f(y)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ с рис. 33, в, относительно прямой $y=x$.

г)

Для построения графика функции $x = f(y)$ по данному графику $y = f(x)$ из рис. 33, г, необходимо выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y=x$. Каждая точка $(a, b)$ на исходном графике преобразуется в точку $(b, a)$ на искомом графике.

Ответ: График функции $x=f(y)$ получается путем симметричного отражения графика функции $y=f(x)$ с рис. 33, г, относительно прямой $y=x$.