Номер 1.76, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.76, страница 38.

Условие.

1.76 Дан график функции $y = f(x)$ (рис. 51, а, б). Постройте график функции $y = |f(x)|$.

Решение 1.

Решение 4.

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, зная график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, основанное на определении модуля числа. Модуль числа $|a|$ равен самому числу $a$, если $a \geq 0$, и равен $-a$, если $a < 0$.

Применительно к функции это означает:

• Если $f(x) \geq 0$ (то есть, график функции находится на или выше оси $Ox$), то $|f(x)| = f(x)$. В этом случае график остается без изменений.
• Если $f(x) < 0$ (то есть, график функции находится ниже оси $Ox$), то $|f(x)| = -f(x)$. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика относительно оси $Ox$.

Таким образом, общий алгоритм построения графика $y = |f(x)|$ следующий:

1. Все точки графика функции $y = f(x)$, которые находятся на оси $Ox$ или в верхней полуплоскости (где $y \geq 0$), оставляем на своих местах.
2. Все точки графика функции $y = f(x)$, которые находятся в нижней полуплоскости (где $y < 0$), симметрично отражаем относительно оси $Ox$ в верхнюю полуплоскость.

Так как изображения для рисунков 51, а и б не предоставлены, приведем общее решение для каждого пункта, которое необходимо применить к соответствующему графику.

а)

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$ для графика, представленного на рисунке 51, а:

1. Определите интервалы по оси $x$, на которых график функции $f(x)$ расположен выше или на оси $Ox$. На этих интервалах новый график $y = |f(x)|$ будет полностью совпадать с исходным графиком $y = f(x)$.
2. Определите интервалы по оси $x$, на которых график функции $f(x)$ расположен строго ниже оси $Ox$.
3. Для этих интервалов постройте зеркальное отражение соответствующей части графика относительно оси $Ox$. Например, если точка $(x_0, y_0)$ принадлежала исходному графику и $y_0 < 0$, то на новом графике ей будет соответствовать точка $(x_0, -y_0)$, где $-y_0 > 0$.

В результате весь построенный график функции $y = |f(x)|$ будет расположен в верхней полуплоскости ($y \geq 0$).

Ответ: Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше оси абсцисс и на самой оси, сохраняется, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс, симметрично отражается относительно этой оси.

б)

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ для графика, представленного на рисунке 51, б, применяется тот же самый алгоритм:

1. Часть графика $y = f(x)$, для которой выполняется условие $f(x) \geq 0$ (точки на и выше оси $Ox$), остается без изменений.
2. Часть графика $y = f(x)$, для которой выполняется условие $f(x) < 0$ (точки ниже оси $Ox$), симметрично отражается относительно оси $Ox$.

Например, если на рисунке 51, б, график пересекает ось $Ox$ в нескольких точках, то в этих точках график $y = |f(x)|$ будет "касаться" оси $Ox$ и уходить вверх. Если у исходной функции был локальный минимум с отрицательным значением $y_{min}$, то у новой функции в этой же точке $x$ будет локальный максимум со значением $|y_{min}|$.

Ответ: Часть графика $y=f(x)$, расположенная выше оси абсцисс и на самой оси, сохраняется, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс, симметрично отражается относительно этой оси.