Номер 1.79, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.79, страница 39.

Условие.

Постройте график функции (1.79–1.83):

1.79 а) $y = |x^2 - 4|$;

б) $y = \left|\frac{4}{x} - 1\right|$;

в) $y = |\log_2 x|$;

г) $y = |2^x - 2|$.

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = |x^2 - 4|$

Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график функции, находящейся под знаком модуля: $y_1 = x^2 - 4$.
2. График функции $y_1 = x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена смещением графика $y=x^2$ на 4 единицы вниз по оси $Oy$.
3. Найдем ключевые точки для параболы $y_1 = x^2 - 4$:
   • Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.
   • Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) находятся из уравнения $x^2 - 4 = 0$, что дает $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
   • Точка пересечения с осью $Oy$ — это вершина $(0, -4)$.
4. Теперь применим операцию взятия модуля: $y = |y_1| = |x^2 - 4|$. По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Это означает, что та часть графика $y_1 = x^2 - 4$, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений. Та часть графика, которая находится ниже оси $Ox$, должна быть симметрично отражена относительно оси $Ox$.
5. Часть параболы $y_1 = x^2 - 4$ находится ниже оси $Ox$ на интервале $x \in (-2, 2)$. Отражаем эту часть. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.
6. Части параболы на интервалах $x \in (-\infty, -2]$ и $x \in [2, \infty)$ находятся выше или на оси $Ox$ и остаются на своих местах.

Итоговый график состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 4$ для $x \le -2$ и $x \ge 2$, и одной части отраженной параболы $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$ для $x \in (-2, 2)$.

Ответ:

б) $y = \left|\frac{4}{x} - 1\right|$

Для построения графика функции $y = \left|\frac{4}{x} - 1\right|$ выполним следующие действия:

1. Построим график функции, стоящей под знаком модуля: $y_1 = \frac{4}{x} - 1$.
2. График $y_1 = \frac{4}{x} - 1$ — это гипербола, полученная смещением графика $y = \frac{4}{x}$ на 1 единицу вниз по оси $Oy$.
3. Основные характеристики графика $y_1 = \frac{4}{x} - 1$:
   • Вертикальная асимптота: $x = 0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y = -1$.
   • Точка пересечения с осью $Ox$: $\frac{4}{x} - 1 = 0 \implies \frac{4}{x} = 1 \implies x = 4$. Точка: $(4, 0)$.
4. Теперь применяем преобразование $y = |y_1|$. Часть графика $y_1$, расположенная ниже оси $Ox$, симметрично отражается относительно этой оси. Часть, расположенная выше или на оси, остается неизменной.
5. Определим, где $y_1 < 0$: $\frac{4}{x} - 1 < 0 \implies \frac{4-x}{x} < 0$. Решая методом интервалов, получаем, что $y_1 < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.
6. Таким образом:
   • На интервале $x \in (0, 4]$ график $y = \frac{4}{x} - 1$ остается без изменений.
   • На интервалах $x \in (-\infty, 0)$ и $x \in (4, \infty)$ график $y_1$ отражается относительно оси $Ox$. График итоговой функции будет $y = -(\frac{4}{x} - 1) = 1 - \frac{4}{x}$.
7. Горизонтальная асимптота $y = -1$ для отражаемых частей графика также отражается и становится горизонтальной асимптотой $y = 1$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.

Итоговый график касается оси $Ox$ в точке $(4, 0)$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=1$.

Ответ:

в) $y = |\log_2 x|$

Построение графика функции $y = |\log_2 x|$ осуществляется следующим образом:

1. Сначала строим график основной функции $y_1 = \log_2 x$.
2. График $y_1 = \log_2 x$ — это стандартная логарифмическая кривая.
   • Область определения: $x > 0$.
   • Вертикальная асимптота: $x = 0$.
   • График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_2 1 = 0$.
   • Другие точки: $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(0.5, -1)$.
3. Применяем операцию модуля $y = |y_1|$. Это означает, что часть графика $y_1$, где $y_1 \ge 0$, остается на месте, а часть, где $y_1 < 0$, отражается симметрично относительно оси $Ox$.
4. Функция $y_1 = \log_2 x$ отрицательна на интервале $(0, 1)$ и неотрицательна на интервале $[1, \infty)$.
5. Следовательно:
   • При $x \ge 1$ график $y = |\log_2 x|$ совпадает с графиком $y = \log_2 x$.
   • При $x \in (0, 1)$ график $y = \log_2 x$ отражается относительно оси $Ox$, и мы получаем график функции $y = - \log_2 x$ (что то же самое, что и $y = \log_{1/2} x$).

Итоговый график состоит из двух "ветвей", встречающихся в точке $(1, 0)$. Одна ветвь уходит вверх при $x > 1$, другая — тоже уходит вверх при $x$, стремящемся к 0 справа, имея вертикальную асимптоту $x=0$.

Ответ:

г) $y = |2^x - 2|$

Для построения графика функции $y = |2^x - 2|$ необходимо:

1. Построить график функции под знаком модуля: $y_1 = 2^x - 2$.
2. График $y_1 = 2^x - 2$ является графиком показательной функции $y=2^x$, смещенным на 2 единицы вниз по оси $Oy$.
3. Ключевые характеристики графика $y_1 = 2^x - 2$:
   • Горизонтальная асимптота: $y = -2$ (так как $2^x \to 0$ при $x \to -\infty$).
   • Точка пересечения с осью $Ox$: $2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1$. Точка: $(1, 0)$.
   • Точка пересечения с осью $Oy$: $y = 2^0 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка: $(0, -1)$.
4. Применяем преобразование $y = |y_1|$. Часть графика $y_1$, находящаяся ниже оси $Ox$, отражается относительно неё.
5. Функция $y_1 = 2^x - 2$ отрицательна, когда $2^x < 2$, то есть при $x < 1$.
6. Следовательно:
   • При $x \ge 1$ график $y = |2^x - 2|$ совпадает с графиком $y = 2^x - 2$.
   • При $x < 1$ график $y_1$ отражается относительно оси $Ox$, и мы строим график $y = -(2^x - 2) = 2 - 2^x$.
7. Отраженная часть графика будет иметь горизонтальную асимптоту $y=2$ (отражение от $y=-2$). Точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$.

Итоговый график имеет "излом" в точке $(1, 0)$. При $x \to \infty$ он неограниченно растет. При $x \to -\infty$ он приближается к горизонтальной асимптоте $y=2$.

Ответ: