Номер 1.77, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.77, страница 38.

Условие.

1.77° Как построить график функции $y = f(|x|)$, если дан график функции $y = f(x)$?

Решение 1.

Решение 4.

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо разобрать, как модуль аргумента влияет на вид функции.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака аргумента $x$:
1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. В этом случае наша функция принимает вид $y = f(x)$. Это означает, что для всех неотрицательных значений $x$ (то есть в правой координатной полуплоскости, включая ось OY) график функции $y = f(|x|)$ полностью совпадает с исходным графиком функции $y = f(x)$.
2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. В этом случае наша функция принимает вид $y = f(-x)$. Это означает, что значение функции $y = f(|x|)$ в любой отрицательной точке $x$ (например, в точке $x = -a$, где $a > 0$) будет равно значению исходной функции $y = f(x)$ в симметричной положительной точке $-x$ (то есть в точке $x = a$). Геометрически это значит, что часть графика для $x < 0$ является зеркальным отражением (симметрией) части графика для $x > 0$ относительно оси ординат (оси OY).

Из этого следует, что функция $y = f(|x|)$ всегда является четной, поскольку $f(|-x|) = f(|x|)$ для любого $x$ из области определения. График четной функции всегда симметричен относительно оси OY.

Таким образом, можно сформулировать следующий алгоритм построения графика:
1) Часть графика функции $y=f(x)$, которая соответствует значениям $x \ge 0$ (расположена в правой полуплоскости и на оси OY), оставляется без изменений.
2) Часть графика функции $y=f(x)$, которая соответствует значениям $x < 0$ (расположена в левой полуплоскости), удаляется.
3) Сохраненная на первом шаге часть графика отражается симметрично относительно оси OY в левую полуплоскость.

Полученное объединение исходной части графика для $x \ge 0$ и ее симметричного отражения для $x < 0$ и будет искомым графиком функции $y = f(|x|)$.

Ответ: Для построения графика функции $y = f(|x|)$ необходимо: 1) удалить часть графика $y=f(x)$, находящуюся в левой полуплоскости ($x < 0$); 2) часть графика $y=f(x)$, находящуюся в правой полуплоскости ($x \ge 0$), оставить без изменений; 3) отразить оставшуюся часть графика симметрично относительно оси OY в левую полуплоскость.