Номер 1.84, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.84, страница 44.

Условие.

Постройте график функции (1.84–1.89):

1.84 a) $y = \lg \cos x$;

б) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x + 1}$;

в) $y = 2^{\operatorname{tg} x}$;

г) $y = (\log_2 \sqrt{x} - 1)^3$.

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = \lg \cos x$

Для построения графика функции проведем ее исследование.

1. Область определения функции (ОДЗ). Аргумент десятичного логарифма должен быть строго положительным, поэтому требуется выполнение условия $\cos x > 0$. Это неравенство справедливо для всех $x$, принадлежащих объединению интервалов $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Периодичность и четность. Функция $\cos x$ имеет основной период $2\pi$. Следовательно, функция $y = \lg \cos x$ также является периодической с периодом $T = 2\pi$. Кроме того, функция является четной, так как $\cos(-x) = \cos x$, поэтому $y(-x) = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат $Oy$. Для построения достаточно рассмотреть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и затем периодически продолжить его.

3. Область значений и экстремумы. На области определения $0 < \cos x \le 1$. Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, то $\lg(\cos x) \le \lg 1 = 0$. Максимальное значение функции равно 0 и достигается в точках, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область значений функции: $(-\infty, 0]$.

4. Асимптоты и поведение на границах ОДЗ. Когда $x$ стремится к граничным точкам области определения, например $x \to (\frac{\pi}{2} + \pi k)^-$ или $x \to (\frac{\pi}{2} + \pi k)^+$, значение $\cos x \to 0^+$. В этом случае $\lg(\cos x) \to -\infty$. Следовательно, прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, являются вертикальными асимптотами графика.

5. Построение графика. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ график имеет максимум в точке $(0, 0)$. Он симметричен относительно оси $Oy$ и стремится к вертикальным асимптотам $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$ вниз (к $-\infty$). Ключевые точки: при $x=\pm\frac{\pi}{3}$, $y=\lg(0.5) \approx -0.3$; при $x=0$, $y=\lg(1)=0$. Строим этот фрагмент и повторяем его с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции представляет собой набор периодически повторяющихся с периодом $2\pi$ "холмов", симметричных относительно прямых $x=2\pi k$. Вершины "холмов" находятся в точках $(2\pi k, 0)$. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами, к которым ветви графика уходят на $-\infty$.

б) $y = \sqrt{\ctg x + 1}$

Проведем исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\ctg x + 1 \ge 0$, что эквивалентно $\ctg x \ge -1$. Во-вторых, сам котангенс должен быть определен, то есть $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Решая неравенство $\ctg x \ge -1$ с учетом периодичности, получаем, что область определения есть объединение промежутков $(\pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Периодичность. Функция $\ctg x$ имеет период $\pi$. Следовательно, и данная функция $y=\sqrt{\ctg x + 1}$ периодична с периодом $T = \pi$. Для построения достаточно рассмотреть промежуток $(0, \frac{3\pi}{4}]$ и затем продолжить его периодически.

3. Область значений и экстремумы. Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, $y \ge 0$. Минимальное значение достигается, когда подкоренное выражение минимально. $\ctg x + 1$ минимально при $\ctg x = -1$, что происходит в точках $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$. В этих точках $y = \sqrt{-1+1} = 0$. Таким образом, область значений функции: $[0, +\infty)$.

4. Асимптоты и поведение на границах ОДЗ. Когда $x \to (\pi k)^+$, значение $\ctg x \to +\infty$, следовательно, $\sqrt{\ctg x + 1} \to +\infty$. Прямые $x=\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, являются вертикальными асимптотами.

5. Построение графика. На промежутке $(0, \frac{3\pi}{4}]$ график начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ (уходя в $+\infty$), убывает и касается оси $Ox$ в точке $x = \frac{3\pi}{4}$. Ключевые точки: при $x = \frac{\pi}{4}$, $\ctg x = 1$, $y=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \approx 1.41$; при $x = \frac{\pi}{2}$, $\ctg x=0$, $y=\sqrt{0+1}=1$. Строим ветвь на $(0, \frac{3\pi}{4}]$ и повторяем ее с периодом $\pi$.

Ответ: График функции — это периодическая кривая (с периодом $\pi$), состоящая из бесконечного числа одинаковых ветвей. Каждая ветвь определена на промежутке $(\pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, имеет вертикальную асимптоту $x=\pi k$ (где график уходит в $+\infty$) и касается оси абсцисс в точке $(\frac{3\pi}{4} + \pi k, 0)$.

в) $y = 2^{\tg x}$

Проведем исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Показательная функция определена для любого действительного показателя. Таким образом, ОДЗ совпадает с областью определения функции $u = \tg x$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Периодичность. Функция $\tg x$ имеет период $\pi$, следовательно, и функция $y = 2^{\tg x}$ периодична с периодом $T = \pi$. Достаточно построить график на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

3. Область значений. Диапазон значений тангенса — вся числовая прямая, $\tg x \in (-\infty, +\infty)$. Поскольку показательная функция $f(u)=2^u$ принимает только положительные значения, область значений исходной функции: $(0, +\infty)$.

4. Асимптоты и поведение на границах ОДЗ. При $x \to (\frac{\pi}{2})^-$, $\tg x \to +\infty$, следовательно, $y = 2^{\tg x} \to +\infty$. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами. При $x \to (-\frac{\pi}{2})^+$, $\tg x \to -\infty$, следовательно, $y = 2^{\tg x} \to 0$. График приближается к точке $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, не достигая ее.

5. Построение графика. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ график является возрастающей кривой. Он проходит через точку $(0, 1)$, так как $\tg 0 = 0$ и $2^0 = 1$. Ключевые точки: при $x=\frac{\pi}{4}$, $\tg x=1$, $y=2^1=2$; при $x=-\frac{\pi}{4}$, $\tg x=-1$, $y=2^{-1}=0.5$. Строим этот фрагмент и повторяем его с периодом $\pi$.

Ответ: График функции — это периодическая кривая (с периодом $\pi$), состоящая из бесконечного числа одинаковых возрастающих ветвей. Каждая ветвь определена на интервале $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, проходит через точку $(\pi k, 1)$, имеет вертикальную асимптоту $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (где график уходит в $+\infty$) и асимптотически приближается к точке $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$ слева.

г) $y = (\log_2 \sqrt{x-1})^3$

Для удобства анализа упростим выражение: $y = (\log_2 (x-1)^{1/2})^3 = (\frac{1}{2}\log_2(x-1))^3 = \frac{1}{8}(\log_2(x-1))^3$.

1. Область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$. ОДЗ: $(1, +\infty)$.

2. Область значений. Когда $x$ изменяется от $1$ до $+\infty$, выражение $x-1$ изменяется от $0$ до $+\infty$. Тогда $\log_2(x-1)$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$. Куб этой величины также принимает все действительные значения. Следовательно, область значений функции: $(-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

3. Асимптоты, нули и поведение функции.
- При $x \to 1^+$, $\log_2(x-1) \to -\infty$, следовательно, $y \to -\infty$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
- Функция равна нулю, когда $\log_2(x-1)=0$, что означает $x-1=1$, то есть $x=2$. График пересекает ось абсцисс в точке $(2, 0)$.
- Функция возрастает на всей области определения, так как является композицией возрастающих функций ($x-1$, $\log_2 t$, $t^3$ для $t \in \mathbb{R}$) и положительного коэффициента $\frac{1}{8}$.

4. Построение графика. Построение можно выполнить на основе графика $z = \log_2(x-1)$. Этот график получается сдвигом $z=\log_2 x$ на 1 вправо, он проходит через $(2,0)$ и имеет асимптоту $x=1$. Затем значения $z$ возводятся в куб и умножаются на $\frac{1}{8}$.
- Ключевые точки: при $x=2$, $y=0$. Точка $(2,0)$ является точкой перегиба с горизонтальной касательной.
- При $x=3$, $\log_2(3-1)=1$, $y=\frac{1}{8}(1)^3 = \frac{1}{8}$.
- При $x=1.5$, $\log_2(1.5-1)=-1$, $y=\frac{1}{8}(-1)^3 = -\frac{1}{8}$.
- При $x=5$, $\log_2(5-1)=2$, $y=\frac{1}{8}(2)^3 = 1$.
График начинается от асимптоты $x=1$ из $-\infty$, возрастает, проходит через точки $(1.5, -1/8)$, $(2,0)$, $(3, 1/8)$, $(5,1)$ и уходит в $+\infty$.

Ответ: График функции — это возрастающая кривая, определенная для $x > 1$. Она имеет вертикальную асимптоту $x=1$, к которой стремится на $-\infty$. График пересекает ось абсцисс в точке $(2, 0)$, которая является точкой перегиба, и уходит в $+\infty$ при $x \to +\infty$.