Номер 2.1, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.1, страница 49.

Условие.

2.1 Дана функция $f(x) = 5 + \frac{1}{x}$. Заполните таблицу и определите, к какому значению стремятся значения функции при $x \to a$, если: а) $a = +\infty$; б) $a = -\infty$; в) $a = 1$.

a) x: 1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000

y = f(x): (пусто)

б)

x: -1, -10, -100, -1000, -10 000, -100 000

y = f(x): (пусто)

в)

x: 1,1, 0,9, 1,01, 0,99, 1,001, 0,999

y = f(x): (пусто)

Чему равны пределы: $\lim_{x \to +\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right)$, $\lim_{x \to -\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right)$, $\lim_{x \to 1} \left(5 + \frac{1}{x}\right)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи, связанной с функцией $f(x) = 5 + \frac{1}{x}$, мы последовательно заполним таблицы и определим, к какому значению стремится функция в каждом из указанных случаев.

а) Исследуем поведение функции при $x \to +\infty$.

Вычислим значения $f(x)$ для заданных положительных $x$:

• $f(1) = 5 + \frac{1}{1} = 6$
• $f(10) = 5 + \frac{1}{10} = 5,1$
• $f(100) = 5 + \frac{1}{100} = 5,01$
• $f(1000) = 5 + \frac{1}{1000} = 5,001$
• $f(10000) = 5 + \frac{1}{10000} = 5,0001$
• $f(100000) = 5 + \frac{1}{100000} = 5,00001$

Заполненная таблица:

$x$	1	10	100	1000	10 000	100 000
$y = f(x)$	6	5,1	5,01	5,001	5,0001	5,00001

Из таблицы видно, что чем больше значение $x$, тем ближе значение дроби $\frac{1}{x}$ к нулю. Соответственно, значение функции $f(x)$ стремится к 5.

Ответ: при $x \to +\infty$ значения функции стремятся к 5.

б) Исследуем поведение функции при $x \to -\infty$.

Вычислим значения $f(x)$ для заданных отрицательных $x$:

• $f(-1) = 5 + \frac{1}{-1} = 5 - 1 = 4$
• $f(-10) = 5 + \frac{1}{-10} = 5 - 0,1 = 4,9$
• $f(-100) = 5 + \frac{1}{-100} = 5 - 0,01 = 4,99$
• $f(-1000) = 5 + \frac{1}{-1000} = 5 - 0,001 = 4,999$
• $f(-10000) = 5 + \frac{1}{-10000} = 5 - 0,0001 = 4,9999$
• $f(-100000) = 5 + \frac{1}{-100000} = 5 - 0,00001 = 4,99999$

Заполненная таблица:

$x$	-1	-10	-100	-1000	-10 000	-100 000
$y = f(x)$	4	4,9	4,99	4,999	4,9999	4,99999

Из таблицы видно, что когда $x$ стремится к $-\infty$, значение дроби $\frac{1}{x}$ также стремится к нулю. Значения функции $f(x)$ приближаются к 5 (снизу).

Ответ: при $x \to -\infty$ значения функции стремятся к 5.

в) Исследуем поведение функции при $x \to 1$.

Вычислим значения $f(x)$ для $x$, близких к 1:

• $f(1,1) = 5 + \frac{1}{1,1} \approx 5 + 0,909 = 5,909$
• $f(0,9) = 5 + \frac{1}{0,9} \approx 5 + 1,111 = 6,111$
• $f(1,01) = 5 + \frac{1}{1,01} \approx 5 + 0,990 = 5,990$
• $f(0,99) = 5 + \frac{1}{0,99} \approx 5 + 1,010 = 6,010$
• $f(1,001) = 5 + \frac{1}{1,001} \approx 5 + 0,999 = 5,999$
• $f(0,999) = 5 + \frac{1}{0,999} \approx 5 + 1,001 = 6,001$

Заполненная таблица:

$x$	1,1	0,9	1,01	0,99	1,001	0,999
$y = f(x)$	≈5,909	≈6,111	≈5,990	≈6,010	≈5,999	≈6,001

Из таблицы видно, что при приближении $x$ к 1 (с любой стороны), значение функции $f(x)$ приближается к 6. Это значение совпадает со значением функции в самой точке: $f(1) = 5 + \frac{1}{1} = 6$.

Ответ: при $x \to 1$ значения функции стремятся к 6.

Чему равны пределы:

Основываясь на результатах выше и свойствах пределов, вычислим их формально.

• Предел при $x \to +\infty$: $ \lim_{x \to +\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to +\infty} 5 + \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 5 + 0 = 5 $
• Предел при $x \to -\infty$: $ \lim_{x \to -\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty} 5 + \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 5 + 0 = 5 $
• Предел при $x \to 1$: $ \lim_{x \to 1} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = 5 + \frac{1}{1} = 6 $, что следует из непрерывности функции в точке $x=1$.

Ответ: $ \lim_{x \to +\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = 5 $; $ \lim_{x \to -\infty} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = 5 $; $ \lim_{x \to 1} \left(5 + \frac{1}{x}\right) = 6 $.