Номер 2.6, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.6, страница 54.

Условие.

Найдите левый и правый пределы функции $y=f(x)$ при $x \to a$, если (2.6—2.8):

2.6 а) $f(x) = x^3, a = 1;$

б) $f(x) = x^{-2}, a = \frac{1}{2};$

в) $f(x) = \sin x, a = \pi;$

г) $f(x) = \cos x, a = \frac{\pi}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $f(x) = x^3, a = 1;$

Функция $f(x) = x^3$ является степенной функцией. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

По свойству непрерывных функций, левый и правый односторонние пределы в точке непрерывности существуют, равны между собой и равны значению функции в этой точке.

Находим левый предел (при $x$, стремящемся к 1 слева): $ \lim_{x \to 1-} f(x) = \lim_{x \to 1-} x^3 = 1^3 = 1 $.

Находим правый предел (при $x$, стремящемся к 1 справа): $ \lim_{x \to 1+} f(x) = \lim_{x \to 1+} x^3 = 1^3 = 1 $.

Ответ: левый предел равен 1, правый предел равен 1.

б) $f(x) = x^{-2}, a = \frac{1}{2};$

Функция $f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$ является рациональной функцией. Она определена и непрерывна на всей своей области определения, то есть для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Точка $a = \frac{1}{2}$ принадлежит области непрерывности функции. Следовательно, левый и правый пределы в этой точке равны значению функции $f(\frac{1}{2})$.

Находим левый предел: $ \lim_{x \to \frac{1}{2}-} f(x) = \lim_{x \to \frac{1}{2}-} x^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 $.

Находим правый предел: $ \lim_{x \to \frac{1}{2}+} f(x) = \lim_{x \to \frac{1}{2}+} x^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4 $.

Ответ: левый предел равен 4, правый предел равен 4.

в) $f(x) = \sin x, a = \pi;$

Функция $f(x) = \sin x$ является тригонометрической функцией. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

Так как функция непрерывна в точке $a = \pi$, ее левый и правый пределы в этой точке равны значению функции $f(\pi)$.

Находим левый предел: $ \lim_{x \to \pi-} f(x) = \lim_{x \to \pi-} \sin x = \sin(\pi) = 0 $.

Находим правый предел: $ \lim_{x \to \pi+} f(x) = \lim_{x \to \pi+} \sin x = \sin(\pi) = 0 $.

Ответ: левый предел равен 0, правый предел равен 0.

г) $f(x) = \cos x, a = \frac{\pi}{2}.$

Функция $f(x) = \cos x$ является тригонометрической функцией. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty, +\infty)$.

Поскольку функция непрерывна в точке $a = \frac{\pi}{2}$, ее левый и правый пределы в этой точке равны значению функции $f(\frac{\pi}{2})$.

Находим левый предел: $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} \cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $.

Находим правый предел: $ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+} f(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+} \cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $.

Ответ: левый предел равен 0, правый предел равен 0.