Номер 2.8, страница 54 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.8, страница 54.

Условие.

2.8 a) $f(x) = \frac{1}{\sin x}, a = 0;$

б) $f(x) = \operatorname{tg} x, a = -\frac{\pi}{2};$

В) $f(x) = \operatorname{ctg} x, a = 2\pi;$

Г) $f(x) = \frac{1}{\cos x}, a = \frac{3\pi}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ в точке $a=0$. В этой точке функция не определена, поскольку знаменатель обращается в ноль: $\sin(0) = 0$. Следовательно, в точке $a=0$ функция имеет разрыв. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы.

Предел справа (при $x \to 0^+$): когда $x$ стремится к нулю, принимая малые положительные значения, $\sin x$ также является малой положительной величиной ($\sin x \to 0^+$).$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sin x} = +\infty $$

Предел слева (при $x \to 0^-$): когда $x$ стремится к нулю, принимая малые по модулю отрицательные значения, $\sin x$ является малой отрицательной величиной ($\sin x \to 0^-$).$$ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\sin x} = -\infty $$

Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, точка $a=0$ является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв). Прямая $x=0$ — вертикальная асимптота графика функции.

Ответ: в точке $a=0$ функция имеет разрыв второго рода.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \operatorname{tg} x$ в точке $a = -\frac{\pi}{2}$. Представим тангенс как $f(x) = \frac{\sin x}{\cos x}$. В точке $a = -\frac{\pi}{2}$ знаменатель $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$, а числитель $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Функция не определена, значит в этой точке у нее разрыв. Найдем односторонние пределы.

Предел справа (при $x \to (-\frac{\pi}{2})^+$): $x$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, где $\cos x > 0$. Следовательно, $\cos x \to 0^+$.$$ \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^+} \operatorname{tg} x = \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^+} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-1}{+0} = -\infty $$

Предел слева (при $x \to (-\frac{\pi}{2})^-$): $x$ находится в интервале $(-\pi, -\frac{\pi}{2})$, где $\cos x < 0$. Следовательно, $\cos x \to 0^-$.$$ \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^-} \operatorname{tg} x = \lim_{x \to (-\frac{\pi}{2})^-} \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-1}{-0} = +\infty $$

Так как односторонние пределы бесконечны, точка $a = -\frac{\pi}{2}$ является точкой разрыва второго рода. Прямая $x = -\frac{\pi}{2}$ — вертикальная асимптота.

Ответ: в точке $a = -\frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв второго рода.

в) Рассмотрим функцию $f(x) = \operatorname{ctg} x$ в точке $a = 2\pi$. Представим котангенс как $f(x) = \frac{\cos x}{\sin x}$. В точке $a = 2\pi$ знаменатель $\sin(2\pi) = 0$, а числитель $\cos(2\pi) = 1$. Функция не определена, следовательно, в этой точке она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы.

Предел справа (при $x \to (2\pi)^+$): $x$ находится в интервале $(2\pi, 2\pi + \frac{\pi}{2})$, где $\sin x > 0$. Следовательно, $\sin x \to 0^+$.$$ \lim_{x \to (2\pi)^+} \operatorname{ctg} x = \lim_{x \to (2\pi)^+} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{+0} = +\infty $$

Предел слева (при $x \to (2\pi)^-$): $x$ находится в интервале $(2\pi - \frac{\pi}{2}, 2\pi)$, где $\sin x < 0$. Следовательно, $\sin x \to 0^-$.$$ \lim_{x \to (2\pi)^-} \operatorname{ctg} x = \lim_{x \to (2\pi)^-} \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{-0} = -\infty $$

Поскольку односторонние пределы бесконечны, точка $a = 2\pi$ является точкой разрыва второго рода. Прямая $x = 2\pi$ — вертикальная асимптота.

Ответ: в точке $a = 2\pi$ функция имеет разрыв второго рода.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ в точке $a = \frac{3\pi}{2}$. В этой точке знаменатель $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$, поэтому функция не определена и имеет разрыв. Определим его тип, вычислив односторонние пределы.

Предел справа (при $x \to (\frac{3\pi}{2})^+$): $x$ находится в интервале $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, где $\cos x > 0$. Следовательно, $\cos x \to 0^+$.$$ \lim_{x \to (\frac{3\pi}{2})^+} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{+0} = +\infty $$

Предел слева (при $x \to (\frac{3\pi}{2})^-$): $x$ находится в интервале $(\pi, \frac{3\pi}{2})$, где $\cos x < 0$. Следовательно, $\cos x \to 0^-$.$$ \lim_{x \to (\frac{3\pi}{2})^-} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-0} = -\infty $$

Так как односторонние пределы равны бесконечности, точка $a = \frac{3\pi}{2}$ является точкой разрыва второго рода. Прямая $x = \frac{3\pi}{2}$ — вертикальная асимптота.

Ответ: в точке $a = \frac{3\pi}{2}$ функция имеет разрыв второго рода.