Номер 2.5, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2. Предел функции и непрерывность. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 2.5, страница 49.

Условие.

2.5* a) $\lim_{x \to +\infty} (-1)^{[x]} \cdot x^3;$

б) $\lim_{x \to -\infty} (-1)^{[x]} \cdot x^3;$

в) $\lim_{x \to 0} \frac{(-1)^{[\frac{1}{x}]}}{x};$

г) $\lim_{x \to 0} \frac{(-1)^{[\frac{1}{x}]}}{x^2};$

д) $\lim_{x \to +\infty} (-2)^{[x]};$

е) $\lim_{x \to +\infty} (-\pi)^{[x]}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $ \lim_{x \to +\infty} (-1)^{[x]} \cdot x^3 $
Рассмотрим две последовательности $x_n = 2n$ и $y_n = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{N}$. Обе последовательности стремятся к $+\infty$ при $n \to \infty$. Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$.
Для последовательности $x_n = 2n$:
$[x_n] = [2n] = 2n$ (четное число).
Значение функции: $f(x_n) = (-1)^{2n} \cdot (2n)^3 = 1 \cdot 8n^3 = 8n^3$.
Предел для этой подпоследовательности: $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 8n^3 = +\infty$.
Для последовательности $y_n = 2n + 1$:
$[y_n] = [2n+1] = 2n+1$ (нечетное число).
Значение функции: $f(y_n) = (-1)^{2n+1} \cdot (2n+1)^3 = -1 \cdot (2n+1)^3 = -(2n+1)^3$.
Предел для этой подпоследовательности: $\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} -(2n+1)^3 = -\infty$.
Поскольку существуют две последовательности, сходящиеся к $+\infty$, для которых пределы функции различны, то предел функции при $x \to +\infty$ не существует.
Ответ: предел не существует.

б) $ \lim_{x \to -\infty} (-1)^{[x]} \cdot x^3 $
Рассмотрим две последовательности $x_n = -2n$ и $y_n = -(2n - 1)$, где $n \in \mathbb{N}$. Обе последовательности стремятся к $-\infty$ при $n \to \infty$.
Для последовательности $x_n = -2n$:
$[x_n] = [-2n] = -2n$ (четное число).
Значение функции: $f(x_n) = (-1)^{-2n} \cdot (-2n)^3 = 1 \cdot (-8n^3) = -8n^3$.
Предел для этой подпоследовательности: $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} (-8n^3) = -\infty$.
Для последовательности $y_n = -(2n - 1) = -2n+1$:
$[y_n] = [-2n+1] = -2n+1$ (нечетное число).
Значение функции: $f(y_n) = (-1)^{-2n+1} \cdot (-2n+1)^3 = -1 \cdot (-(2n-1)^3) = (2n-1)^3$.
Предел для этой подпоследовательности: $\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} (2n-1)^3 = +\infty$.
Поскольку существуют две последовательности, сходящиеся к $-\infty$, для которых пределы функции различны, то предел функции при $x \to -\infty$ не существует.
Ответ: предел не существует.

в) $ \lim_{x \to 0} \frac{(-1)^{[1/x]}}{x} $
Для нахождения предела при $x \to 0$, исследуем поведение функции на двух последовательностях, стремящихся к нулю. Рассмотрим предел справа ($x \to 0+$).
Возьмем последовательности $x_n = \frac{1}{2n}$ и $y_n = \frac{1}{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$. Обе последовательности стремятся к $0+$ при $n \to \infty$.
Для $x_n = \frac{1}{2n}$:
$[1/x_n] = [2n] = 2n$ (четное).
Значение функции: $f(x_n) = \frac{(-1)^{2n}}{1/(2n)} = 1 \cdot 2n = 2n$.
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 2n = +\infty$.
Для $y_n = \frac{1}{2n+1}$:
$[1/y_n] = [2n+1] = 2n+1$ (нечетное).
Значение функции: $f(y_n) = \frac{(-1)^{2n+1}}{1/(2n+1)} = -1 \cdot (2n+1) = -(2n+1)$.
$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} -(2n+1) = -\infty$.
Так как правосторонний предел не существует (имеет разные частичные пределы), то и двусторонний предел не существует.
Ответ: предел не существует.

г) $ \lim_{x \to 0} \frac{(-1)^{[1/x]}}{x^2} $
Как и в предыдущем пункте, рассмотрим две последовательности, стремящиеся к нулю: $x_n = \frac{1}{2n}$ и $y_n = \frac{1}{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$.
Для $x_n = \frac{1}{2n}$:
$[1/x_n] = [2n] = 2n$ (четное).
Значение функции: $f(x_n) = \frac{(-1)^{2n}}{(1/2n)^2} = \frac{1}{1/(4n^2)} = 4n^2$.
$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty} 4n^2 = +\infty$.
Для $y_n = \frac{1}{2n+1}$:
$[1/y_n] = [2n+1] = 2n+1$ (нечетное).
Значение функции: $f(y_n) = \frac{(-1)^{2n+1}}{(1/(2n+1))^2} = \frac{-1}{1/(2n+1)^2} = -(2n+1)^2$.
$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = \lim_{n \to \infty} -(2n+1)^2 = -\infty$.
Поскольку существуют две последовательности, сходящиеся к 0, для которых пределы функции различны, то предел функции при $x \to 0$ не существует.
Ответ: предел не существует.

д) $ \lim_{x \to +\infty} (-2)^{[x]} $
При $x \to +\infty$ целая часть $[x]$ принимает последовательные целые значения $n$, также стремящиеся к $+\infty$. Рассмотрим поведение функции на целочисленной последовательности $x_n=n$.
Тогда $f(x_n) = (-2)^{[n]} = (-2)^n$.
Последовательность $a_n = (-2)^n$ представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем $q=-2$. Так как $|q|=2>1$, последовательность расходится. Её члены: $-2, 4, -8, 16, \dots$.
Последовательность колеблется, и её модуль $|a_n| = 2^n$ стремится к $+\infty$. Функция не стремится ни к какому конечному или бесконечному пределу.
Ответ: предел не существует.

е) $ \lim_{x \to +\infty} (-\pi)^{[x]} $
Задача аналогична предыдущей. При $x \to +\infty$ целая часть $[x]$ принимает последовательные целые значения $n \to +\infty$. Рассмотрим поведение функции на целочисленной последовательности $x_n=n$.
Тогда $f(x_n) = (-\pi)^{[n]} = (-\pi)^n$.
Последовательность $a_n = (-\pi)^n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q=-\pi$. Так как $|q|=|-\pi|=\pi \approx 3.14 > 1$, последовательность расходится.
При четных $n=2k$: $a_{2k} = (-\pi)^{2k} = \pi^{2k} \to +\infty$.
При нечетных $n=2k+1$: $a_{2k+1} = (-\pi)^{2k+1} = -\pi \cdot \pi^{2k} \to -\infty$.
Функция колеблется между значениями, стремящимися к $+\infty$ и $-\infty$.
Ответ: предел не существует.