Номер 1.86, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.86, страница 44.

Условие.

1.86 a) $y = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[4]{2-x};$

б) $y = 2^x \cdot \sin x;$

B) $y = \operatorname{tg} x \cdot \log_3 x;$

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[4]{2-x}$

Для нахождения производной данной функции, которая является произведением двух функций $u(x) = \sqrt[3]{x}$ и $v(x) = \sqrt[4]{2-x}$, воспользуемся правилом произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала представим функции в виде степеней: $u(x) = x^{1/3}$ и $v(x) = (2-x)^{1/4}$.

Найдем производные каждой функции.
Для $u(x)$ используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$u'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
$v'(x) = ((2-x)^{1/4})' = \frac{1}{4}(2-x)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (2-x)' = \frac{1}{4}(2-x)^{-3/4} \cdot (-1) = -\frac{1}{4(2-x)^{3/4}} = -\frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \cdot \sqrt[4]{2-x} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(-\frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}\right) = \frac{\sqrt[4]{2-x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$.

Для упрощения приведем выражение к общему знаменателю $12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}$:
$y' = \frac{4\sqrt[4]{2-x} \cdot \sqrt[4]{(2-x)^3} - 3\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}} = \frac{4(2-x) - 3x}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}} = \frac{8 - 4x - 3x}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}} = \frac{8 - 7x}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{8 - 7x}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}}$.

б) $y = 2^x \cdot \sin x$

Это произведение двух функций: $u(x) = 2^x$ и $v(x) = \sin x$. Применяем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные каждой функции:
Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:
$u'(x) = (2^x)' = 2^x \ln 2$.
Производная синуса:
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Подставляем в формулу правила произведения:
$y' = u'v + uv' = (2^x \ln 2) \cdot \sin x + 2^x \cdot \cos x$.

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки для упрощения:
$y' = 2^x(\sin x \ln 2 + \cos x)$.

Ответ: $y' = 2^x(\sin x \ln 2 + \cos x)$.

в) $y = \operatorname{tg} x \cdot \log_3 x$

Функция является произведением $u(x) = \operatorname{tg} x$ и $v(x) = \log_3 x$. Используем правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные:
$u'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Производная логарифма $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:
$v'(x) = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$.

Подставляем производные в правило произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \log_3 x + \operatorname{tg} x \cdot \frac{1}{x \ln 3}$.

Запишем итоговое выражение:
$y' = \frac{\log_3 x}{\cos^2 x} + \frac{\operatorname{tg} x}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = \frac{\log_3 x}{\cos^2 x} + \frac{\operatorname{tg} x}{x \ln 3}$.

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt[3]{x^2}$

Применим правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$ для функций $u(x) = \operatorname{ctg} x$ и $v(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.

Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$v'(x) = (x^{2/3})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Подставляем в правило произведения:
$y' = u'v + uv' = \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) \cdot \sqrt[3]{x^2} + \operatorname{ctg} x \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = -\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sin^2 x} + \frac{2\operatorname{ctg} x}{3\sqrt[3]{x}}$.

Упростим выражение. Представим $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и приведем к общему знаменателю $3\sqrt[3]{x}\sin^2 x$:
$y' = -\frac{x^{2/3}}{\sin^2 x} + \frac{2 \cos x}{3 \sin x \cdot x^{1/3}} = \frac{-3x^{1/3} \cdot x^{2/3} + 2\cos x \cdot \sin x}{3x^{1/3}\sin^2 x} = \frac{-3x + 2\sin x \cos x}{3\sqrt[3]{x}\sin^2 x}$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, получаем:
$y' = \frac{\sin(2x) - 3x}{3\sqrt[3]{x}\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{\sin(2x) - 3x}{3\sqrt[3]{x}\sin^2 x}$.