Номер 1.74, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.74, страница 34.

Условие.

1.74* На рисунке 35, а—е изображена парабола. Является ли эта парабола графиком функции $y = f(x)$ или $x = \varphi(y)$? Если да, то задайте эту функцию формулой.

а) $y = f(x)$, $y = x^2$

б) $y = f(x)$, $y = -x^2$

в) $x = \varphi(y)$, $x = y^2$

г) $x = \varphi(y)$, $x = -y^2$

д) $y = f(x)$, $y = 2(x-1)^2+1$

е) $y = f(x)$, $y = -2x(x-2)$

Рис. 35

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) На рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Данный график является графиком функции $y = f(x)$, так как любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Для данной параболы с вершиной в $(0, 0)$ уравнение принимает вид $y = ax^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся точкой на графике, например, $(1, 1)$. Подставив ее координаты в уравнение, получим: $1 = a \cdot 1^2$, откуда $a=1$. Таким образом, функция задается формулой $y = x^2$.
Ответ: $y = x^2$.

б) На рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Этот график является графиком функции $y = f(x)$, так как удовлетворяет тесту с вертикальной прямой. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2$. График проходит через точку $(1, -2)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-2 = a \cdot 1^2$, откуда $a=-2$. Следовательно, функция задается формулой $y = -2x^2$.
Ответ: $y = -2x^2$.

в) На рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо. Этот график не является графиком функции $y = f(x)$, так как любая вертикальная прямая $x=c$ при $c>0$ пересекает его в двух точках (например, прямая $x=1$ пересекает параболу в точках $(1, 1)$ и $(1, -1)$). Однако этот график является графиком функции $x = \phi(y)$, так как любая горизонтальная прямая пересекает его не более чем в одной точке. Общее уравнение параболы с горизонтальной осью симметрии и вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $x = a(y-k)^2 + h$. Для данной параболы с вершиной в $(0, 0)$ уравнение принимает вид $x = ay^2$. График проходит через точку $(1, 1)$. Подставив ее координаты, получим: $1 = a \cdot 1^2$, откуда $a=1$. Таким образом, функция задается формулой $x = y^2$.
Ответ: $x = y^2$.

г) На рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными влево. Этот график не является графиком функции $y = f(x)$, так как не проходит тест с вертикальной прямой. Он является графиком функции $x = \phi(y)$, так как проходит тест с горизонтальной прямой. Уравнение параболы имеет вид $x = ay^2$. График проходит через точку $(-1, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-1 = a \cdot 1^2$, откуда $a=-1$. Следовательно, функция задается формулой $x = -y^2$.
Ответ: $x = -y^2$.

д) На рисунке изображена парабола с ветвями, направленными вверх. Этот график является графиком функции $y = f(x)$. Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Уравнение параболы имеет вид $y = a(x-1)^2 + 1$. График проходит через точку $(2, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение: $2 = a(2-1)^2 + 1$, что дает $2 = a \cdot 1^2 + 1$, откуда $a=1$. Таким образом, функция задается формулой $y = (x-1)^2 + 1$.
Ответ: $y = (x-1)^2 + 1$.

е) На рисунке изображена парабола с ветвями, направленными вниз. Этот график является графиком функции $y = f(x)$. Парабола пересекает ось $x$ в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Абсцисса вершины находится посередине между корнями: $x_v = (0+2)/2 = 1$. Из графика видно, что ордината вершины $y_v = 2$. Таким образом, вершина находится в точке $(1, 2)$. Уравнение параболы имеет вид $y = a(x-1)^2 + 2$. График проходит через точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = a(0-1)^2 + 2$, что дает $0 = a + 2$, откуда $a=-2$. Следовательно, функция задается формулой $y = -2(x-1)^2 + 2$.
Ответ: $y = -2(x-1)^2 + 2$.