Страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Постройте график функции (1.79–1.83):

1.79 а) $y = |x^2 - 4|$;

б) $y = \left|\frac{4}{x} - 1\right|$;

в) $y = |\log_2 x|$;

г) $y = |2^x - 2|$.

а) $y = |x^2 - 4|$

Для построения графика функции $y = |x^2 - 4|$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Сначала построим график функции, находящейся под знаком модуля: $y_1 = x^2 - 4$.
2. График функции $y_1 = x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Она получена смещением графика $y=x^2$ на 4 единицы вниз по оси $Oy$.
3. Найдем ключевые точки для параболы $y_1 = x^2 - 4$:
   • Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.
   • Точки пересечения с осью $Ox$ (нули функции) находятся из уравнения $x^2 - 4 = 0$, что дает $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Точки пересечения: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.
   • Точка пересечения с осью $Oy$ — это вершина $(0, -4)$.
4. Теперь применим операцию взятия модуля: $y = |y_1| = |x^2 - 4|$. По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Это означает, что та часть графика $y_1 = x^2 - 4$, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений. Та часть графика, которая находится ниже оси $Ox$, должна быть симметрично отражена относительно оси $Ox$.
5. Часть параболы $y_1 = x^2 - 4$ находится ниже оси $Ox$ на интервале $x \in (-2, 2)$. Отражаем эту часть. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.
6. Части параболы на интервалах $x \in (-\infty, -2]$ и $x \in [2, \infty)$ находятся выше или на оси $Ox$ и остаются на своих местах.

Итоговый график состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 4$ для $x \le -2$ и $x \ge 2$, и одной части отраженной параболы $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$ для $x \in (-2, 2)$.

Ответ:

б) $y = \left|\frac{4}{x} - 1\right|$

Для построения графика функции $y = \left|\frac{4}{x} - 1\right|$ выполним следующие действия:

1. Построим график функции, стоящей под знаком модуля: $y_1 = \frac{4}{x} - 1$.
2. График $y_1 = \frac{4}{x} - 1$ — это гипербола, полученная смещением графика $y = \frac{4}{x}$ на 1 единицу вниз по оси $Oy$.
3. Основные характеристики графика $y_1 = \frac{4}{x} - 1$:
   • Вертикальная асимптота: $x = 0$.
   • Горизонтальная асимптота: $y = -1$.
   • Точка пересечения с осью $Ox$: $\frac{4}{x} - 1 = 0 \implies \frac{4}{x} = 1 \implies x = 4$. Точка: $(4, 0)$.
4. Теперь применяем преобразование $y = |y_1|$. Часть графика $y_1$, расположенная ниже оси $Ox$, симметрично отражается относительно этой оси. Часть, расположенная выше или на оси, остается неизменной.
5. Определим, где $y_1 < 0$: $\frac{4}{x} - 1 < 0 \implies \frac{4-x}{x} < 0$. Решая методом интервалов, получаем, что $y_1 < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.
6. Таким образом:
   • На интервале $x \in (0, 4]$ график $y = \frac{4}{x} - 1$ остается без изменений.
   • На интервалах $x \in (-\infty, 0)$ и $x \in (4, \infty)$ график $y_1$ отражается относительно оси $Ox$. График итоговой функции будет $y = -(\frac{4}{x} - 1) = 1 - \frac{4}{x}$.
7. Горизонтальная асимптота $y = -1$ для отражаемых частей графика также отражается и становится горизонтальной асимптотой $y = 1$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.

Итоговый график касается оси $Ox$ в точке $(4, 0)$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=1$.

Ответ:

в) $y = |\log_2 x|$

Построение графика функции $y = |\log_2 x|$ осуществляется следующим образом:

1. Сначала строим график основной функции $y_1 = \log_2 x$.
2. График $y_1 = \log_2 x$ — это стандартная логарифмическая кривая.
   • Область определения: $x > 0$.
   • Вертикальная асимптота: $x = 0$.
   • График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\log_2 1 = 0$.
   • Другие точки: $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(0.5, -1)$.
3. Применяем операцию модуля $y = |y_1|$. Это означает, что часть графика $y_1$, где $y_1 \ge 0$, остается на месте, а часть, где $y_1 < 0$, отражается симметрично относительно оси $Ox$.
4. Функция $y_1 = \log_2 x$ отрицательна на интервале $(0, 1)$ и неотрицательна на интервале $[1, \infty)$.
5. Следовательно:
   • При $x \ge 1$ график $y = |\log_2 x|$ совпадает с графиком $y = \log_2 x$.
   • При $x \in (0, 1)$ график $y = \log_2 x$ отражается относительно оси $Ox$, и мы получаем график функции $y = - \log_2 x$ (что то же самое, что и $y = \log_{1/2} x$).

Итоговый график состоит из двух "ветвей", встречающихся в точке $(1, 0)$. Одна ветвь уходит вверх при $x > 1$, другая — тоже уходит вверх при $x$, стремящемся к 0 справа, имея вертикальную асимптоту $x=0$.

Ответ:

г) $y = |2^x - 2|$

Для построения графика функции $y = |2^x - 2|$ необходимо:

1. Построить график функции под знаком модуля: $y_1 = 2^x - 2$.
2. График $y_1 = 2^x - 2$ является графиком показательной функции $y=2^x$, смещенным на 2 единицы вниз по оси $Oy$.
3. Ключевые характеристики графика $y_1 = 2^x - 2$:
   • Горизонтальная асимптота: $y = -2$ (так как $2^x \to 0$ при $x \to -\infty$).
   • Точка пересечения с осью $Ox$: $2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1$. Точка: $(1, 0)$.
   • Точка пересечения с осью $Oy$: $y = 2^0 - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка: $(0, -1)$.
4. Применяем преобразование $y = |y_1|$. Часть графика $y_1$, находящаяся ниже оси $Ox$, отражается относительно неё.
5. Функция $y_1 = 2^x - 2$ отрицательна, когда $2^x < 2$, то есть при $x < 1$.
6. Следовательно:
   • При $x \ge 1$ график $y = |2^x - 2|$ совпадает с графиком $y = 2^x - 2$.
   • При $x < 1$ график $y_1$ отражается относительно оси $Ox$, и мы строим график $y = -(2^x - 2) = 2 - 2^x$.
7. Отраженная часть графика будет иметь горизонтальную асимптоту $y=2$ (отражение от $y=-2$). Точка $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$.

Итоговый график имеет "излом" в точке $(1, 0)$. При $x \to \infty$ он неограниченно растет. При $x \to -\infty$ он приближается к горизонтальной асимптоте $y=2$.

Ответ:

1.80 a) $y = 1 - \frac{1}{|x|}$;

б) $y = \frac{1}{|x|} + 2$;

В) $y = 3^{|x|}$;

Г) $y = 3^{-|x|}$.

a) $y = 1 - \frac{1}{|x|}$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = 1 - \frac{1}{|-x|} = 1 - \frac{1}{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY). Для построения графика можно сначала построить его для $x > 0$, а затем симметрично отразить относительно оси OY.

1. Построение для $x > 0$:
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = 1 - \frac{1}{x}$. Этот график можно получить из графика гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ путем сдвига вверх на 1 единицу.
- График $y = -\frac{1}{x}$ расположен во II и IV координатных четвертях.
- График $y = 1 - \frac{1}{x}$ получается сдвигом графика $y = -\frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх. Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=1$. Вертикальная асимптота остается $x=0$.
Для $x > 0$ мы рассматриваем только правую ветвь гиперболы $y = 1 - \frac{1}{x}$. Она пересекает ось OX в точке, где $y=0 \implies 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies x=1$. Точка пересечения — $(1, 0)$. Эта ветвь возрастает.

2. Построение для $x < 0$:
Отражаем часть графика, построенную для $x > 0$, симметрично относительно оси OY. Левая ветвь будет симметрична правой и будет убывать на интервале $(-\infty, 0)$. Она пересечет ось OX в точке $(-1, 0)$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Область значений: так как $\frac{1}{|x|} > 0$, то $-\frac{1}{|x|} < 0$, и $y = 1 - \frac{1}{|x|} < 1$. $E(y) = (-\infty, 1)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: $y = 0$ при $1 - \frac{1}{|x|} = 0 \implies |x| = 1 \implies x = \pm 1$.
5. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$; горизонтальная асимптота $y=1$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Ветви расположены ниже горизонтальной асимптоты $y=1$ и имеют вертикальную асимптоту $x=0$. Функция убывает на интервале $(-\infty, 0)$ и возрастает на интервале $(0, +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{|x|} + 2$

Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x|} + 2 = \frac{1}{|x|} + 2 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Построим график для $x > 0$ и отразим его.

1. Построение для $x > 0$:
При $x > 0$, $|x| = x$, функция имеет вид $y = \frac{1}{x} + 2$. Этот график получается из графика гиперболы $y = \frac{1}{x}$ сдвигом вверх на 2 единицы.
- Для $x>0$ график $y = \frac{1}{x}$ — это ветвь в I координатной четверти.
- График $y = \frac{1}{x} + 2$ получается сдвигом этой ветви на 2 единицы вверх. Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=2$. Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется. Эта ветвь убывает.

2. Построение для $x < 0$:
Симметрично отражаем построенную для $x > 0$ часть графика относительно оси OY. Получаем вторую ветвь, которая возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.

Свойства функции:
1. Область определения: $x \neq 0$, то есть $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
2. Область значений: так как $\frac{1}{|x|} > 0$, то $y = \frac{1}{|x|} + 2 > 2$. $E(y) = (2, +\infty)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: $y = 0 \implies \frac{1}{|x|} + 2 = 0 \implies \frac{1}{|x|} = -2$. Решений нет. График не пересекает ось OX.
5. Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$; горизонтальная асимптота $y=2$.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Ветви расположены выше горизонтальной асимптоты $y=2$ и имеют вертикальную асимптоту $x=0$. Функция возрастает на интервале $(-\infty, 0)$ и убывает на интервале $(0, +\infty)$.

в) $y = 3^{|x|}$

Функция является четной, поскольку $y(-x) = 3^{|-x|} = 3^{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

1. Построение для $x \geq 0$:
При $x \geq 0$, $|x| = x$, функция принимает вид $y = 3^x$. Это стандартная показательная функция с основанием больше 1. График проходит через точку $(0, 1)$ и возрастает.

2. Построение для $x < 0$:
Отражаем часть графика $y=3^x$ для $x \geq 0$ симметрично относительно оси OY. Можно также заметить, что при $x < 0$, $|x| = -x$, и тогда $y = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$. Это убывающая показательная функция. Обе части графика "стыкуются" в точке $(0, 1)$.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: Минимальное значение достигается при $|x|=0$, то есть $x=0$. $y_{min} = 3^0 = 1$. $E(y) = [1, +\infty)$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: $3^{|x|} = 0$. Уравнение не имеет решений.
5. Асимптоты: вертикальных и горизонтальных асимптот нет.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.
7. Точки экстремума: $x=0$ — точка минимума, $y_{min}=1$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY, имеет V-образную форму с плавной кривизной. Точка минимума находится в $(0, 1)$. Функция убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.

г) $y = 3^{-|x|}$

Функцию можно записать как $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$. Она является четной, так как $y(-x) = 3^{-|-x|} = 3^{-|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

1. Построение для $x \geq 0$:
При $x \geq 0$, $|x| = x$, функция имеет вид $y = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$. Это стандартная убывающая показательная функция. График проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближаясь к оси OX ($y=0$).

2. Построение для $x < 0$:
Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. При $x < 0$, $|x| = -x$, тогда $y = 3^{-(-x)} = 3^x$. Это возрастающая показательная функция. Обе ветви графика "стыкуются" в точке $(0, 1)$.

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
2. Область значений: Максимальное значение достигается при $|x|=0$, то есть $x=0$. $y_{max} = 3^0 = 1$. Значения функции всегда положительны. $E(y) = (0, 1]$.
3. Четность: функция четная.
4. Нули функции: $3^{-|x|} = 0$. Уравнение не имеет решений.
5. Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=0$ (ось OX) при $x \to \pm\infty$.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$.
7. Точки экстремума: $x=0$ — точка максимума, $y_{max}=1$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY, имеет форму "холма" или "колокола". Точка максимума находится в $(0, 1)$. Ось OX является горизонтальной асимптотой. Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$.

1.81 a) $y = x^2 - 5 |x - 1| + 1;$

Б) $y = |x^2 - 3x + 2| + 2x - 3;$

В) $y = (x + 1) (|x| - 2);$

Г) $y = |x^2 + 3x - 2| - |5x - 2|;$

Д) $y = \frac{2x - 6}{|3 - x|};$

е) $y = \frac{2 |x| + 1}{2 - x};$

Ж) $y = \sin |x|;$

З) $y = |\cos |x||.$

а) Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо раскрыть модуль $|x - 1|$. Выражение под модулем меняет знак в точке $x = 1$.
1. При $x \ge 1$, имеем $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 5(x - 1) + 1 = x^2 - 5x + 5 + 1 = x^2 - 5x + 6$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх.
2. При $x < 1$, имеем $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 5(-(x - 1)) + 1 = x^2 + 5(x - 1) + 1 = x^2 + 5x - 5 + 1 = x^2 + 5x - 4$.
Это также парабола с ветвями вверх.
Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6, & \text{если } x \ge 1 \\ x^2 + 5x - 4, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

б) В данном уравнении модуль содержит квадратичную функцию $x^2 - 3x + 2$. Найдем корни этого выражения: $x^2 - 3x + 2 = 0$, что равносильно $(x-1)(x-2)=0$. Корни: $x=1$ и $x=2$. Парабола $x^2 - 3x + 2$ неотрицательна при $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$ и отрицательна при $x \in (1, 2)$.
1. При $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$, имеем $|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2$. Функция принимает вид:
$y = (x^2 - 3x + 2) + 2x - 3 = x^2 - x - 1$.
2. При $x \in (1, 2)$, имеем $|x^2 - 3x + 2| = -(x^2 - 3x + 2) = -x^2 + 3x - 2$. Функция принимает вид:
$y = (-x^2 + 3x - 2) + 2x - 3 = -x^2 + 5x - 5$.
Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x - 1, & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \\ -x^2 + 5x - 5, & \text{если } x \in (1, 2) \end{cases}$

в) Раскроем модуль $|x|$. Выражение под модулем меняет знак в точке $x = 0$.
1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = (x + 1)(-x - 2) = -(x + 1)(x + 2) = -x^2 - 3x - 2$.
Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x - 2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 3x - 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

г) В этом уравнении два модуля: $|x^2 + 3x - 2|$ и $|5x - 2|$. Найдем точки, в которых выражения под модулями равны нулю.
1. $x^2 + 3x - 2 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
2. $5x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{5} = 0.4$.
Точки $\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \approx -3.56$, $0.4$ и $\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0.56$ делят числовую ось на четыре интервала. Раскроем модули на каждом из них.
- При $x \le \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$: $y = (x^2 + 3x - 2) - (-(5x-2)) = x^2 + 8x - 4$.
- При $\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} < x \le 0.4$: $y = -(x^2 + 3x - 2) - (-(5x-2)) = -x^2 + 2x$.
- При $0.4 < x < \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$: $y = -(x^2 + 3x - 2) - (5x-2) = -x^2 - 8x + 4$.
- При $x \ge \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$: $y = (x^2 + 3x - 2) - (5x-2) = x^2 - 2x$.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 8x - 4, & x \le \frac{-3-\sqrt{17}}{2} \\ -x^2 + 2x, & \frac{-3-\sqrt{17}}{2} < x \le 0.4 \\ -x^2 - 8x + 4, & 0.4 < x < \frac{-3+\sqrt{17}}{2} \\ x^2 - 2x, & x \ge \frac{-3+\sqrt{17}}{2} \end{cases}$

д) Функция $y = \frac{2x - 6}{|3 - x|}$ не определена в точке $x=3$, так как знаменатель обращается в ноль. Заметим, что числитель можно преобразовать: $2x - 6 = 2(x - 3) = -2(3 - x)$.
Тогда $y = \frac{-2(3 - x)}{|3 - x|}$.
1. При $x > 3$, $3 - x < 0$, поэтому $|3 - x| = -(3 - x)$.
$y = \frac{-2(3 - x)}{-(3 - x)} = 2$.
2. При $x < 3$, $3 - x > 0$, поэтому $|3 - x| = 3 - x$.
$y = \frac{-2(3 - x)}{3 - x} = -2$.
Функция является кусочно-постоянной.
Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x > 3 \\ -2, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

е) Раскроем модуль $|x|$ в функции $y = \frac{2|x| + 1}{2 - x}$. Точка смены знака подмодульного выражения: $x = 0$. Область определения функции: $x \ne 2$.
1. При $x \ge 0$ и $x \ne 2$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2x + 1}{2 - x}$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2(-x) + 1}{2 - x} = \frac{-2x + 1}{2 - x}$.
Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} \frac{2x + 1}{2 - x}, & \text{если } x \in [0, 2) \cup (2, \infty) \\ \frac{-2x + 1}{2 - x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

ж) Функция $y = \sin|x|$ является четной, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.
1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sin(x)$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \sin(-x) = -\sin(x)$ (так как синус - нечетная функция).
Для построения графика можно взять часть графика $y=\sin(x)$ для $x \ge 0$ и отразить ее симметрично относительно оси OY.
Ответ: $y = \begin{cases} \sin(x), & \text{если } x \ge 0 \\ -\sin(x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$, что эквивалентно описанию четной функции $y = \sin|x|$.

з) Рассмотрим функцию $y = |\cos|x||$. Преобразование можно выполнить в два шага.
1. Сначала рассмотрим внутреннюю функцию $y_1 = \cos|x|$. Так как функция косинуса является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$ для любого $x$, то $\cos|x| = \cos(x)$ для всех действительных $x$.
2. Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = |\cos(x)|$.
Для получения этой функции необходимо взять график $y = \cos(x)$ и все его части, которые лежат ниже оси абсцисс (где $\cos(x) < 0$), симметрично отразить относительно этой оси вверх. В результате получается неотрицательная периодическая функция с периодом $\pi$.
Ответ: Функция $y = |\cos|x||$ эквивалентна функции $y = |\cos(x)|$.

1.82 a) $y = x|x|;$

В) $y = |x||x - 2|;$

Д) $y = (|x| - 1)(|x| + 4);$

б) $y = (x - 1)|x - 1|;$

Г) $y = |x + 2||x - 2|;$

е) $(|x| - 3)(|x| + 2).$

а) $y = x|x|$

Для того чтобы раскрыть модуль в выражении $y = x|x|$, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от знака переменной $x$.

1. Если $x \ge 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:
$y = x \cdot x = x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вверх, для неотрицательных $x$.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Подставив это в исходное уравнение, получаем:
$y = x \cdot (-x) = -x^2$.
Это ветвь параболы, направленная вниз, для отрицательных $x$.

Объединяя оба случая, мы можем представить функцию в виде кусочно-заданной функции.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x \ge 0 \\ -x^2, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = (x - 1)|x - 1|$

Для раскрытия модуля в выражении $y = (x - 1)|x - 1|$ рассмотрим знак выражения под модулем, то есть $x - 1$. Критической точкой является $x=1$.

1. Если $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$, то $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:
$y = (x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$, то $|x - 1| = -(x - 1)$. Функция принимает вид:
$y = (x - 1)(-(x - 1)) = -(x - 1)^2$.

Объединяя эти два случая, получаем кусочно-заданную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} (x - 1)^2, & \text{при } x \ge 1 \\ -(x - 1)^2, & \text{при } x < 1 \end{cases}$

в) $y = |x||x - 2|$

В данном выражении два модуля: $|x|$ и $|x - 2|$. Критические точки, в которых подмодульные выражения равны нулю, это $x=0$ и $x=2$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала, на каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны.

1. При $x < 0$: $|x| = -x$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
$y = (-x) \cdot (-(x - 2)) = x(x - 2) = x^2 - 2x$.

2. При $0 \le x < 2$: $|x| = x$ и $|x - 2| = -(x - 2)$.
$y = x \cdot (-(x - 2)) = -x(x - 2) = -x^2 + 2x$.

3. При $x \ge 2$: $|x| = x$ и $|x - 2| = x - 2$.
$y = x \cdot (x - 2) = x^2 - 2x$.

Объединяя полученные результаты, получаем кусочно-заданную функцию. Также можно заметить, что исходное выражение эквивалентно $y = |x(x-2)| = |x^2-2x|$.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{при } x < 0 \text{ или } x \ge 2 \\ -x^2 + 2x, & \text{при } 0 \le x < 2 \end{cases}$

г) $y = |x + 2||x - 2|$

Воспользуемся свойством модулей $|a| \cdot |b| = |a \cdot b|$:
$y = |(x + 2)(x - 2)|$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению в скобках:
$y = |x^2 - 4|$.

Теперь раскроем модуль, рассмотрев знак выражения $x^2 - 4$. Оно равно нулю при $x = -2$ и $x = 2$.

1. Если $x^2 - 4 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, то $|x^2 - 4| = x^2 - 4$.

2. Если $x^2 - 4 < 0$, то есть $x \in (-2, 2)$, то $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.

Таким образом, функция задается кусочно.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{при } |x| \ge 2 \\ 4 - x^2, & \text{при } |x| < 2 \end{cases}$

д) $y = (|x| - 1)(|x| + 4)$

Сначала раскроем скобки, рассматривая $|x|$ как единую переменную:
$y = |x|^2 + 4|x| - |x| - 4 = |x|^2 + 3|x| - 4$.
Поскольку $|x|^2 = x^2$ для любого действительного $x$, мы можем переписать функцию как:
$y = x^2 + 3|x| - 4$.

Теперь раскроем модуль $|x|$:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3x - 4$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3(-x) - 4 = x^2 - 3x - 4$.

Заметим, что это четная функция, так как $y(-x) = (-x)^2 + 3|-x| - 4 = x^2 + 3|x| - 4 = y(x)$.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 3x - 4, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 - 3x - 4, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

е) $y = (|x| - 3)(|x| + 2)$

Аналогично предыдущему пункту, раскроем скобки:
$y = |x|^2 + 2|x| - 3|x| - 6 = |x|^2 - |x| - 6$.
Используя свойство $|x|^2 = x^2$, получаем:
$y = x^2 - |x| - 6$.

Теперь раскроем модуль $|x|$, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = x^2 - x - 6$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = x^2 - (-x) - 6 = x^2 + x - 6$.

Данная функция также является четной.

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x - 6, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + x - 6, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

1.83**

a) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|};$

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|};$

в) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|} + \frac{\cos x}{|\cos x|};$

г) $y = \sin x + |\sin x|;$

д) $y = \cos x + |\cos x|.$

а) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть, как раскрывается модуль $|\sin x|$ в зависимости от знака $\sin x$. Также следует учесть область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель $|\sin x| = 0$ тогда и только тогда, когда $\sin x = 0$. Это происходит при $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

2. Раскрытие модуля.
- Если $\sin x > 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.
Неравенство $\sin x > 0$ справедливо для $x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.
- Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1$.
Неравенство $\sin x < 0$ справедливо для $x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция является кусочно-постоянной, принимая значения $1$ и $-1$.

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } \sin x > 0 \\ -1, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$. Область определения: $x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|}$

Решение аналогично предыдущему пункту, но для функции косинуса.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Знаменатель $|\cos x| = 0$ тогда и только тогда, когда $\cos x = 0$. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, область определения функции: $x \in \mathbb{R}$, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

2. Раскрытие модуля.
- Если $\cos x > 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$.
Неравенство $\cos x > 0$ справедливо для $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.
- Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид: $y = \frac{\cos x}{-\cos x} = -1$.
Неравенство $\cos x < 0$ справедливо для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$ при $k \in \mathbb{Z}$.

Функция также является кусочно-постоянной.

Ответ: $y = \begin{cases} 1, & \text{если } \cos x > 0 \\ -1, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$. Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|} + \frac{\cos x}{|\cos x|}$

Эта функция является суммой функций из пунктов а) и б). Ее значение зависит от знаков $\sin x$ и $\cos x$ одновременно.

1. Область определения функции (ОДЗ).
Функция определена, когда оба знаменателя не равны нулю: $|\sin x| \neq 0$ и $|\cos x| \neq 0$.
Это означает $\sin x \neq 0$ ($x \neq k\pi$) и $\cos x \neq 0$ ($x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$).
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ не может быть кратным $\frac{\pi}{2}$.
ОДЗ: $x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2. Анализ по четвертям.
- I четверть ($x \in (2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$): $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$.
$y = \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 1 + 1 = 2$.
- II четверть ($x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \pi + 2k\pi)$): $\sin x > 0$ и $\cos x < 0$.
$y = \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{\cos x}{-\cos x} = 1 - 1 = 0$.
- III четверть ($x \in (\pi + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$): $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$.
$y = \frac{\sin x}{-\sin x} + \frac{\cos x}{-\cos x} = -1 - 1 = -2$.
- IV четверть ($x \in (\frac{3\pi}{2} + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$): $\sin x < 0$ и $\cos x > 0$.
$y = \frac{\sin x}{-\sin x} + \frac{\cos x}{\cos x} = -1 + 1 = 0$.

Функция принимает значения $2, 0, -2$ в зависимости от координатной четверти, в которой находится угол $x$.

Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } \sin x > 0 \text{ и } \cos x > 0 \\ 0, & \text{если } \sin x \cdot \cos x < 0 \\ -2, & \text{если } \sin x < 0 \text{ и } \cos x < 0 \end{cases}$. Область определения: $x \neq \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \sin x + |\sin x|$

Область определения этой функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как нет ни деления, ни корней. Раскроем модуль в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x \ge 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x + \sin x = 2\sin x$.
Условие $\sin x \ge 0$ выполняется для $x \in [2k\pi, \pi + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\sin x < 0$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид:
$y = \sin x - \sin x = 0$.
Условие $\sin x < 0$ выполняется для $x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, график функции состоит из удвоенных положительных полуволн синусоиды и отрезков на оси абсцисс, где синусоида отрицательна.

Ответ: $y = \begin{cases} 2\sin x, & \text{если } \sin x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \sin x < 0 \end{cases}$.

д) $y = \cos x + |\cos x|$

Решение полностью аналогично пункту г), но для функции косинуса. Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

1. Если $\cos x \ge 0$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид:
$y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.
Условие $\cos x \ge 0$ выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид:
$y = \cos x - \cos x = 0$.
Условие $\cos x < 0$ выполняется для $x \in (\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

График функции состоит из удвоенных положительных полуволн косинусоиды и отрезков на оси абсцисс, где косинусоида отрицательна.

Ответ: $y = \begin{cases} 2\cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 0, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$.