Номер 1.57, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.57, страница 21.

Условие.

1.57* a) $y = \sin^2 x$;

б) $y = \operatorname{ctg}^2 x$;

в) $y = \left(\frac{1}{2^x}\right)^2$;

г) $y = \left(\log_{\frac{1}{2}} x\right)^2$.

Решение 1.

Решение 4.

а) Для нахождения производной функции $y = \sin^2 x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Представим функцию в виде $y = u^2$, где внутренняя функция $u = \sin x$.
Производная сложной функции находится по формуле $y'(x) = y'(u) \cdot u'(x)$.
1. Находим производную внешней функции: $y'(u) = (u^2)' = 2u$.
2. Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
3. Подставляем полученные производные в формулу и заменяем $u$ на $\sin x$:
$y' = 2u \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x$.
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, упрощаем выражение:
$y' = \sin(2x)$.
Ответ: $y' = \sin(2x)$.

б) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{ctg}^2 x$ также используем правило дифференцирования сложной функции. Представим функцию в виде $y = u^2$, где внутренняя функция $u = \operatorname{ctg} x$.
$y'(x) = y'(u) \cdot u'(x)$.
1. Производная внешней функции: $y'(u) = (u^2)' = 2u$.
2. Производная внутренней функции: $u'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
3. Подставляем производные в формулу и заменяем $u$ на $\operatorname{ctg} x$:
$y' = 2u \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 2 \operatorname{ctg} x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -2\frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2 x}$.
Этот результат можно также представить в другом виде, подставив $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$y' = -2 \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\sin^2 x} = -2 \frac{\cos x}{\sin^3 x}$.
Ответ: $y' = -2\frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2 x}$.

в) Функцию $y = \left(\frac{1}{2^x}\right)^2$ целесообразно упростить перед дифференцированием, используя свойства степеней:
$y = \left(2^{-x}\right)^2 = 2^{-2x}$.
Теперь найдем производную функции $y = 2^{-2x}$. Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = 2^u$, а внутренняя $u(x) = -2x$.
Воспользуемся формулой производной показательной функции $(a^v)' = a^v \ln a \cdot v'$, где $a=2$ и $v=-2x$.
$y' = 2^{-2x} \cdot \ln 2 \cdot (-2x)'$.
Производная от $-2x$ равна $-2$.
Следовательно, производная исходной функции равна:
$y' = 2^{-2x} \cdot \ln 2 \cdot (-2) = -2 \cdot 2^{-2x} \ln 2$.
Ответ: $y' = -2 \cdot 2^{-2x} \ln 2$.

г) Для нахождения производной функции $y = \left(\log_{\frac{1}{2}} x\right)^2$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = u^2$, внутренняя функция $u(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$.
$y'(x) = f'(u) \cdot u'(x)$.
1. Производная внешней функции: $f'(u) = (u^2)' = 2u$.
2. Производная внутренней функции. Используем формулу $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае $a = \frac{1}{2}$.
$u'(x) = (\log_{\frac{1}{2}} x)' = \frac{1}{x \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{x \ln(2^{-1})} = \frac{1}{-x \ln 2} = -\frac{1}{x \ln 2}$.
3. Собираем все вместе, подставляя $u = \log_{\frac{1}{2}} x$:
$y' = 2u \cdot \left(-\frac{1}{x \ln 2}\right) = 2 \log_{\frac{1}{2}} x \cdot \left(-\frac{1}{x \ln 2}\right) = -\frac{2 \log_{\frac{1}{2}} x}{x \ln 2}$.
Для упрощения ответа преобразуем логарифм по основанию $\frac{1}{2}$ к натуральному логарифму по формуле $\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{\ln x}{\ln(\frac{1}{2})} = \frac{\ln x}{-\ln 2}$.
Подставим это выражение в полученную производную:
$y' = -\frac{2}{x \ln 2} \left(\frac{\ln x}{-\ln 2}\right) = \frac{2 \ln x}{x (\ln 2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{2 \ln x}{x (\ln 2)^2}$.