Страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.56* а) $y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 2}$;

В) $y = \frac{1 - 2x^2}{3 + x^2}$;

Г) $y = \frac{2x^2 - 5}{4 + x^2}$;

Д) $y = \sqrt{\cos x}$;

е) $y = \sqrt{\operatorname{tg} x}$;

ж) $y = \sqrt{2^x}$;

з) $y = \sqrt{\log_2 x}$.

а) Для того чтобы найти область значений функции $y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1}$, преобразуем данное выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 - 2)}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + 1 - 3)}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + 1) + 3}{x^2 + 1} = -1 + \frac{3}{x^2 + 1}$.

Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого действительного числа $x$, то знаменатель $x^2 + 1 \geq 1$.

Следовательно, для дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ справедлива оценка: $0 < \frac{3}{x^2 + 1} \leq \frac{3}{1} = 3$.

Теперь, чтобы получить значения для $y$, прибавим $-1$ ко всем частям двойного неравенства:

$-1 + 0 < -1 + \frac{3}{x^2 + 1} \leq -1 + 3$,

что дает $-1 < y \leq 2$.

Таким образом, область значений функции есть полуинтервал $(-1, 2]$.

Ответ: $E(y) = (-1, 2]$.

б) Найдем область значений функции $y = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 2}$. Преобразуем выражение:

$y = \frac{x^2 + 2 - 7}{x^2 + 2} = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} - \frac{7}{x^2 + 2} = 1 - \frac{7}{x^2 + 2}$.

Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 2 \geq 2$.

Отсюда для дроби $\frac{7}{x^2 + 2}$ получаем: $0 < \frac{7}{x^2 + 2} \leq \frac{7}{2}$.

Теперь найдем значения $y = 1 - \frac{7}{x^2 + 2}$. Умножим неравенство на $-1$ (знаки неравенства изменятся): $-\frac{7}{2} \leq -\frac{7}{x^2 + 2} < 0$.

Прибавим $1$ ко всем частям:

$1 - \frac{7}{2} \leq 1 - \frac{7}{x^2 + 2} < 1 + 0$,

что дает $-\frac{5}{2} \leq y < 1$.

Следовательно, область значений функции есть полуинтервал $[-\frac{5}{2}, 1)$.

Ответ: $E(y) = [-2.5, 1)$.

в) Найдем область значений функции $y = \frac{1 - 2x^2}{3 + x^2}$. Выполним преобразование:

$y = \frac{1 - 2x^2}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2 - 1/2)}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2 + 3 - 3.5)}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2+3) + 7}{x^2+3} = -2 + \frac{7}{x^2+3}$.

Поскольку $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 3 \geq 3$.

Тогда для дроби $\frac{7}{x^2 + 3}$ имеем: $0 < \frac{7}{x^2 + 3} \leq \frac{7}{3}$.

Прибавим $-2$ ко всем частям неравенства:

$-2 + 0 < -2 + \frac{7}{x^2 + 3} \leq -2 + \frac{7}{3}$,

что дает $-2 < y \leq \frac{1}{3}$.

Область значений функции — это полуинтервал $(-2, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $E(y) = (-2, \frac{1}{3}]$.

г) Найдем область значений функции $y = \frac{2x^2 - 5}{4 + x^2}$. Преобразуем выражение:

$y = \frac{2x^2 - 5}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4) - 8 - 5}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4) - 13}{x^2 + 4} = 2 - \frac{13}{x^2 + 4}$.

Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 4 \geq 4$.

Следовательно, $0 < \frac{13}{x^2 + 4} \leq \frac{13}{4}$.

Умножим неравенство на $-1$: $-\frac{13}{4} \leq -\frac{13}{x^2 + 4} < 0$.

Прибавим $2$ ко всем частям:

$2 - \frac{13}{4} \leq 2 - \frac{13}{x^2 + 4} < 2 + 0$,

что дает $-\frac{5}{4} \leq y < 2$.

Область значений функции — это полуинтервал $[-\frac{5}{4}, 2)$.

Ответ: $E(y) = [-1.25, 2)$.

д) Для функции $y = \sqrt{\cos x}$ сначала найдем ее область определения. Аргумент квадратного корня должен быть неотрицательным: $\cos x \geq 0$.

Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих промежутках значения функции $\cos x$ изменяются от $0$ до $1$. То есть $0 \leq \cos x \leq 1$.

Так как функция $f(t) = \sqrt{t}$ является монотонно возрастающей для $t \geq 0$, мы можем применить ее к неравенству:

$\sqrt{0} \leq \sqrt{\cos x} \leq \sqrt{1}$,

что дает $0 \leq y \leq 1$.

Область значений функции — это отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $E(y) = [0, 1]$.

е) Для функции $y = \sqrt{\tan x}$ область определения задается условием $\tan x \geq 0$.

Функция $\tan x$ неотрицательна в первой и третьей четвертях, то есть при $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На каждом из этих интервалов значения $\tan x$ изменяются от $\tan(\pi k) = 0$ до $+\infty$ (при $x \to (\frac{\pi}{2} + \pi k)^-$).

Таким образом, для $x$ из области определения имеем $0 \leq \tan x < +\infty$.

Применяя возрастающую функцию $\sqrt{t}$ к этому неравенству, получаем:

$\sqrt{0} \leq \sqrt{\tan x} < \sqrt{+\infty}$,

то есть $0 \leq y < +\infty$.

Область значений функции — это луч $[0, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

ж) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{2^x}$.

Показательная функция $g(x) = 2^x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее область значений — $(0, +\infty)$.

Так как $2^x > 0$ для любого $x$, подкоренное выражение всегда положительно, и функция $y$ определена на всей числовой оси.

Пусть $t = 2^x$. Тогда $t$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.

Наша функция принимает вид $y = \sqrt{t}$ для $t > 0$.

Поскольку $t > 0$, то $\sqrt{t} > \sqrt{0}$, то есть $y > 0$. Когда $t$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$.

Следовательно, область значений функции — это интервал $(0, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (0, +\infty)$.

з) Для функции $y = \sqrt{\log_2 x}$ найдем область определения. Она задается системой неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \geq 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство: $\log_2 x \geq \log_2 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому $x \geq 1$.

Область определения функции: $x \in [1, +\infty)$.

Теперь найдем, какие значения принимает $\log_2 x$ на этой области. При $x=1$, $\log_2 1 = 0$. При $x \to +\infty$, $\log_2 x \to +\infty$.

Таким образом, $0 \leq \log_2 x < +\infty$.

Пусть $t = \log_2 x$. Тогда $t \geq 0$. Наша функция имеет вид $y = \sqrt{t}$ для $t \geq 0$.

При $t \geq 0$, функция $\sqrt{t}$ принимает все значения от $\sqrt{0}=0$ до $+\infty$.

Следовательно, область значений функции $y$ — это луч $[0, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

1.57* a) $y = \sin^2 x$;

б) $y = \operatorname{ctg}^2 x$;

в) $y = \left(\frac{1}{2^x}\right)^2$;

г) $y = \left(\log_{\frac{1}{2}} x\right)^2$.

а) Для нахождения производной функции $y = \sin^2 x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Представим функцию в виде $y = u^2$, где внутренняя функция $u = \sin x$.
Производная сложной функции находится по формуле $y'(x) = y'(u) \cdot u'(x)$.
1. Находим производную внешней функции: $y'(u) = (u^2)' = 2u$.
2. Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
3. Подставляем полученные производные в формулу и заменяем $u$ на $\sin x$:
$y' = 2u \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x$.
Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$, упрощаем выражение:
$y' = \sin(2x)$.
Ответ: $y' = \sin(2x)$.

б) Для нахождения производной функции $y = \operatorname{ctg}^2 x$ также используем правило дифференцирования сложной функции. Представим функцию в виде $y = u^2$, где внутренняя функция $u = \operatorname{ctg} x$.
$y'(x) = y'(u) \cdot u'(x)$.
1. Производная внешней функции: $y'(u) = (u^2)' = 2u$.
2. Производная внутренней функции: $u'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
3. Подставляем производные в формулу и заменяем $u$ на $\operatorname{ctg} x$:
$y' = 2u \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 2 \operatorname{ctg} x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -2\frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2 x}$.
Этот результат можно также представить в другом виде, подставив $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$y' = -2 \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\sin^2 x} = -2 \frac{\cos x}{\sin^3 x}$.
Ответ: $y' = -2\frac{\operatorname{ctg} x}{\sin^2 x}$.

в) Функцию $y = \left(\frac{1}{2^x}\right)^2$ целесообразно упростить перед дифференцированием, используя свойства степеней:
$y = \left(2^{-x}\right)^2 = 2^{-2x}$.
Теперь найдем производную функции $y = 2^{-2x}$. Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = 2^u$, а внутренняя $u(x) = -2x$.
Воспользуемся формулой производной показательной функции $(a^v)' = a^v \ln a \cdot v'$, где $a=2$ и $v=-2x$.
$y' = 2^{-2x} \cdot \ln 2 \cdot (-2x)'$.
Производная от $-2x$ равна $-2$.
Следовательно, производная исходной функции равна:
$y' = 2^{-2x} \cdot \ln 2 \cdot (-2) = -2 \cdot 2^{-2x} \ln 2$.
Ответ: $y' = -2 \cdot 2^{-2x} \ln 2$.

г) Для нахождения производной функции $y = \left(\log_{\frac{1}{2}} x\right)^2$ используем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = u^2$, внутренняя функция $u(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$.
$y'(x) = f'(u) \cdot u'(x)$.
1. Производная внешней функции: $f'(u) = (u^2)' = 2u$.
2. Производная внутренней функции. Используем формулу $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$. В данном случае $a = \frac{1}{2}$.
$u'(x) = (\log_{\frac{1}{2}} x)' = \frac{1}{x \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{x \ln(2^{-1})} = \frac{1}{-x \ln 2} = -\frac{1}{x \ln 2}$.
3. Собираем все вместе, подставляя $u = \log_{\frac{1}{2}} x$:
$y' = 2u \cdot \left(-\frac{1}{x \ln 2}\right) = 2 \log_{\frac{1}{2}} x \cdot \left(-\frac{1}{x \ln 2}\right) = -\frac{2 \log_{\frac{1}{2}} x}{x \ln 2}$.
Для упрощения ответа преобразуем логарифм по основанию $\frac{1}{2}$ к натуральному логарифму по формуле $\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$:
$\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{\ln x}{\ln(\frac{1}{2})} = \frac{\ln x}{-\ln 2}$.
Подставим это выражение в полученную производную:
$y' = -\frac{2}{x \ln 2} \left(\frac{\ln x}{-\ln 2}\right) = \frac{2 \ln x}{x (\ln 2)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{2 \ln x}{x (\ln 2)^2}$.