Страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.46 Докажите, что функция:

a) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;

б) $y = \pi^x$;

в) $y = \sqrt{x}$;

г) $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$

строго монотонна на полной области определения.

Чтобы доказать, что функция строго монотонна на своей полной области определения, мы можем исследовать знак её первой производной. Если производная сохраняет знак (всегда положительна или всегда отрицательна) на всей области определения, то функция является строго монотонной.

Рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{2}}x$.

Область определения логарифмической функции — это все положительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную функции. Используем формулу производной логарифма $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

В нашем случае основание $a = \frac{1}{2}$.

$y' = \frac{1}{x \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{x (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{x (0 - \ln 2)} = -\frac{1}{x \ln 2}$.

На всей области определения $x > 0$. Константа $\ln 2$ также положительна ($\ln 2 \approx 0.693 > 0$).

Следовательно, знаменатель $x \ln 2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Тогда вся дробь $y' = -\frac{1}{x \ln 2}$ всегда отрицательна.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ на всей области определения, функция является строго убывающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}x$ строго убывает на всей своей области определения $(0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

Рассмотрим функцию $y = \pi^x$.

Это показательная функция, ее область определения — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную, используя формулу $(a^x)' = a^x \ln a$.

В нашем случае основание $a = \pi$.

$y' = \pi^x \ln \pi$.

Выражение $\pi^x$ всегда положительно для любого действительного $x$.

Число $\pi \approx 3.14159$, что больше 1, поэтому его натуральный логарифм $\ln \pi$ положителен.

Произведение двух положительных величин ($\pi^x$ и $\ln \pi$) всегда положительно, то есть $y' > 0$ для любого $x$ из области определения.

Поскольку производная функции $y'(x) > 0$ на всей области определения, функция является строго возрастающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \pi^x$ строго возрастает на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$, что и требовалось доказать.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$.

Область определения этой функции — все неотрицательные действительные числа, то есть $x \in [0, +\infty)$.

Представим функцию в виде степенной: $y = x^{\frac{1}{2}}$. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$.

Функция $y = \sqrt{x}$ непрерывна на всей своей области определения $[0, +\infty)$ и ее производная положительна на интервале $(0, +\infty)$. Этого достаточно, чтобы утверждать, что функция строго возрастает на всей области определения.

Таким образом, функция является строго возрастающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \sqrt{x}$ строго возрастает на всей своей области определения $[0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

Рассмотрим функцию $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$.

Это степенная функция. Поскольку показатель степени $-\frac{\pi}{2}$ является отрицательным, область определения функции — все положительные действительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = -\frac{\pi}{2} x^{-\frac{\pi}{2} - 1} = -\frac{\pi}{2} x^{-(\frac{\pi}{2} + 1)} = -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{\pi}{2} + 1}}$.

На всей области определения $x > 0$.

Множитель $-\frac{\pi}{2}$ является отрицательной константой.

Показатель степени $\frac{\pi}{2} + 1$ положителен. Следовательно, для любого $x > 0$ выражение $x^{\frac{\pi}{2} + 1}$ также будет положительным.

Таким образом, производная $y'$ является произведением отрицательного числа ($-\frac{\pi}{2}$) и положительного числа ($\frac{1}{x^{\frac{\pi}{2} + 1}}$), а значит, $y' < 0$ для любого $x$ из области определения.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ на всей области определения, функция является строго убывающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$ строго убывает на всей своей области определения $(0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

1.47 Укажите промежутки строгой монотонности функции:

а) $y = \frac{1}{x};$

б) $y = \sqrt[3]{x^2};$

в) $y = \sqrt{5 - 4x};$

г) $y = \lg \cos x;$

д) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x};$

е) $y = \frac{-3}{x - 2} + 1;$

ж) $y = |x^2 - 3x + 2|;$

з) $y = \sqrt{x^2 - 1}.$

а) $y = \frac{1}{x}$
Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Найдем производную функции: $y' = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Для любого $x$ из области определения $x^2 > 0$, следовательно, производная $y' = -\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательна.
Таким образом, функция является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция строго убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{x^2}$
Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как корень третьей степени определен для любого действительного числа.
Представим функцию в виде $y = x^{2/3}$ и найдем производную: $y' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Производная не определена в точке $x=0$. Эта точка является критической.
При $x > 0$, $\sqrt[3]{x} > 0$, следовательно, $y' > 0$, и функция строго возрастает.
При $x < 0$, $\sqrt[3]{x} < 0$, следовательно, $y' < 0$, и функция строго убывает.
Так как функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку можно включить в концы промежутков.
Ответ: функция строго убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и строго возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

в) $y = \sqrt{5 - 4x}$
Область определения функции находится из условия $5 - 4x \ge 0$, что дает $4x \le 5$, или $x \le \frac{5}{4}$. Итак, $D(y) = (-\infty, \frac{5}{4}]$.
Найдем производную: $y' = (\sqrt{5 - 4x})' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 4x}} \cdot (5 - 4x)' = \frac{-4}{2\sqrt{5 - 4x}} = -\frac{2}{\sqrt{5 - 4x}}$.
На интервале $(-\infty, \frac{5}{4})$ знаменатель $\sqrt{5 - 4x}$ положителен. Числитель равен -2. Следовательно, $y' < 0$ на всей области определения, где она существует.
Функция строго убывает на всей своей области определения.
Ответ: функция строго убывает на промежутке $(-\infty, \frac{5}{4}]$.

г) $y = \lg \cos x$
Область определения функции задается условием $\cos x > 0$. Это выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для всех целых $k$.
Найдем производную: $y' = (\lg \cos x)' = \frac{1}{\cos x \cdot \ln 10} \cdot (\cos x)' = \frac{-\sin x}{\cos x \cdot \ln 10} = -\frac{\tan x}{\ln 10}$.
Производная равна нулю, когда $\tan x = 0$, то есть $x = \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. Из этих точек в область определения входят только $x = 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим знак производной на одном периоде, например, на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
- На интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$: $\tan x < 0$, поэтому $y' = -\frac{\tan x}{\ln 10} > 0$, функция строго возрастает.
- На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$: $\tan x > 0$, поэтому $y' < 0$, функция строго убывает.
Обобщая на все периоды и включая точки непрерывности:
Ответ: функция строго возрастает на каждом из промежутков $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi k]$ и строго убывает на каждом из промежутков $[2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

д) $y = \sqrt{\ctg x}$
Область определения задается условием $\ctg x \ge 0$. Котангенс неотрицателен в первом и третьем квадрантах. С учетом того, что $\ctg x$ не определен в точках $x=\pi k$, получаем область определения $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$.
Найдем производную: $y' = (\sqrt{\ctg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (\ctg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
На всей области определения, где производная существует (т.е. на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$), множители $\sin^2 x$ и $\sqrt{\ctg x}$ положительны. Следовательно, $y' < 0$.
Функция строго убывает на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция строго убывает на каждом из промежутков $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е) $y = \frac{-3}{x - 2} + 1$
Область определения функции: $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.
Найдем производную: $y' = (\frac{-3}{x - 2} + 1)' = (-3(x-2)^{-1})' = -3 \cdot (-1)(x-2)^{-2} = \frac{3}{(x-2)^2}$.
Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен для $x \neq 2$. Числитель равен 3. Следовательно, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения.
Функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция строго возрастает на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, +\infty)$.

ж) $y = |x^2 - 3x + 2|$
Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем нули подмодульного выражения: $x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2)=0$. Корни $x_1=1, x_2=2$.
Раскроем модуль: $y = \begin{cases} x^2 - 3x + 2, & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) \\ -(x^2 - 3x + 2) = -x^2+3x-2, & \text{если } x \in (1, 2) \end{cases}$.
Найдем производную: $y' = \begin{cases} 2x - 3, & \text{если } x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \\ -2x + 3, & \text{если } x \in (1, 2) \end{cases}$.
В точках $x=1$ и $x=2$ производная не существует ("изломы" графика). Найдем нули производной: $-2x+3=0 \implies x=1.5$. Это критическая точка.
Проанализируем знаки производной на интервалах:
- $(-\infty, 1)$: $y' = 2x - 3 < 0 \implies$ убывает.
- $(1, 1.5)$: $y' = -2x + 3 > 0 \implies$ возрастает.
- $(1.5, 2)$: $y' = -2x + 3 < 0 \implies$ убывает.
- $(2, +\infty)$: $y' = 2x - 3 > 0 \implies$ возрастает.
Включая точки непрерывности:
Ответ: функция строго убывает на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[1.5, 2]$; строго возрастает на промежутках $[1, 1.5]$ и $[2, +\infty)$.

з) $y = \sqrt{x^2 - 1}$
Область определения функции: $x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1$, что равносильно $x \le -1$ или $x \ge 1$. $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.
Найдем производную: $y' = (\sqrt{x^2 - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2-1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
Знаменатель $\sqrt{x^2-1}$ положителен на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$. Знак производной совпадает со знаком числителя $x$.
- При $x \in (1, +\infty)$, $x > 0$, следовательно $y' > 0$ и функция строго возрастает.
- При $x \in (-\infty, -1)$, $x < 0$, следовательно $y' < 0$ и функция строго убывает.
Ответ: функция строго убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и строго возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

1.48 Укажите промежутки монотонности функции:

а) $y = x - [x];$

б) $y = [x] + x;$

в) $y = |x - 4| + |x + 4|;$

г) $y = |x - 8| - |x + 8|;$

д) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 2x + 1};$ •

е) $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}.$

а) $y = x - [x]$. Эта функция представляет собой дробную часть числа $x$, часто обозначаемую как $\{x\}$. Функция $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Рассмотрим поведение функции на промежутках вида $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). На любом таком промежутке значение $[x]$ постоянно и равно $n$. Таким образом, для $x \in [n, n+1)$ функция принимает вид $y = x - n$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=1$. Поскольку $k > 0$, функция является строго возрастающей на каждом из этих промежутков. В целых точках $x=n$ функция претерпевает разрывы первого рода (скачки), поэтому нельзя говорить о монотонности на промежутках, включающих целые числа в качестве внутренних точек.

Ответ: функция возрастает на каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = [x] + x$. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим промежутки $[n, n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$. На таком промежутке $[x] = n$, и функция принимает вид $y = n + x$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=1$, поэтому она строго возрастает на каждом таком промежутке. Проверим, является ли функция монотонной на всей числовой оси $\mathbb{R}$. Пусть $x_1 < x_2$.
1. Если $[x_1] = [x_2]$, то $y(x_2) - y(x_1) = (x_2 + [x_2]) - (x_1 + [x_1]) = x_2 - x_1 > 0$.
2. Если $[x_1] < [x_2]$, пусть $[x_1] = n_1$ и $[x_2] = n_2$, где $n_1 < n_2$. Тогда $x_1 < n_1+1 \le n_2 \le x_2$. $y(x_1) = x_1 + n_1 < (n_1+1) + n_1 = 2n_1+1$. $y(x_2) = x_2 + n_2 \ge n_2 + n_2 = 2n_2$. Так как $n_1, n_2$ — целые и $n_1 < n_2$, то $n_2 \ge n_1+1$, откуда $2n_2 \ge 2n_1+2$. Следовательно, $y(x_1) < 2n_1+1 < 2n_1+2 \le 2n_2 \le y(x_2)$, что означает $y(x_1) < y(x_2)$. Таким образом, функция строго возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

в) $y = |x - 4| + |x + 4|$. Для раскрытия модулей рассмотрим три промежутка, на которые числовую ось делят точки $x=4$ и $x=-4$:
1. При $x \in (-\infty, -4]$, $y = -(x-4) - (x+4) = -2x$. Функция убывает.
2. При $x \in [-4, 4]$, $y = -(x-4) + (x+4) = 8$. Функция постоянна.
3. При $x \in [4, +\infty)$, $y = (x-4) + (x+4) = 2x$. Функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -4]$, постоянна на промежутке $[-4, 4]$, возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

г) $y = |x - 8| - |x + 8|$. Раскроем модули, рассмотрев промежутки, определяемые точками $x=8$ и $x=-8$:
1. При $x \in (-\infty, -8]$, $y = -(x-8) - (-(x+8)) = 16$. Функция постоянна.
2. При $x \in [-8, 8]$, $y = -(x-8) - (x+8) = -2x$. Функция убывает.
3. При $x \in [8, +\infty)$, $y = (x-8) - (x+8) = -16$. Функция постоянна.

Ответ: функция постоянна на промежутке $(-\infty, -8]$, убывает на промежутке $[-8, 8]$ и постоянна на промежутке $[8, +\infty)$.

д) $y = \sqrt{x^2+2x+1} + \sqrt{x^2-2x+1}$. Упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения и свойство $\sqrt{a^2}=|a|$: $y = \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{(x-1)^2} = |x+1| + |x-1|$. Задача сводится к исследованию функции, аналогичной пункту (в). Критические точки $x=1$ и $x=-1$.
1. При $x \in (-\infty, -1]$, $y = -(x+1) - (x-1) = -2x$. Функция убывает.
2. При $x \in [-1, 1]$, $y = (x+1) - (x-1) = 2$. Функция постоянна.
3. При $x \in [1, +\infty)$, $y = (x+1) + (x-1) = 2x$. Функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$, постоянна на промежутке $[-1, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

е) $y = \sqrt{x^2+6x+9} - \sqrt{x^2-6x+9}$. Упростим выражение: $y = \sqrt{(x+3)^2} - \sqrt{(x-3)^2} = |x+3| - |x-3|$. Задача сводится к исследованию функции, аналогичной пункту (г). Критические точки $x=3$ и $x=-3$.
1. При $x \in (-\infty, -3]$, $y = -(x+3) - (-(x-3)) = -6$. Функция постоянна.
2. При $x \in [-3, 3]$, $y = (x+3) - (-(x-3)) = 2x$. Функция возрастает.
3. При $x \in [3, +\infty)$, $y = (x+3) - (x-3) = 6$. Функция постоянна.

Ответ: функция постоянна на промежутке $(-\infty, -3]$, возрастает на промежутке $[-3, 3]$ и постоянна на промежутке $[3, +\infty)$.

1.49 Укажите промежутки знакопостоянства функции:

а) $y = x^2 - 4;$

б) $y = x^2 - 4x;$

в) $y = x^2 - 5x + 4;$

г) $y = 9 - x^2;$

д) $y = -x^2 + 2x;$

е) $y = -2x^2 - 3x + 5;$

ж) $y = \frac{4}{x+3} + 1;$

з) $y = \frac{-2}{x-2} - 1;$

и) $y = -|x-2| + 2.$

а) Для функции $y = x^2 - 4$ найдем промежутки знакопостоянства. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).
Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$x^2 - 4 = 0$
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Нули функции: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна между ними.
Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$, и $y < 0$ при $x \in (-2; 2)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2; 2)$.

б) Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x$. Это квадратичная функция, график — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).
Найдем нули функции:
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Корни 0 и 4 делят числовую ось на три интервала.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция положительна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(4; +\infty)$, и отрицательна на интервале $(0; 4)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0; 4)$.

в) Рассмотрим функцию $y = x^2 - 5x + 4$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$).
Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Либо через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$, откуда $x_1 = \frac{5-3}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{5+3}{2} = 4$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция положительна вне отрезка $[1; 4]$ и отрицательна на интервале $(1; 4)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; 4)$.

г) Рассмотрим функцию $y = 9 - x^2$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля).
Найдем нули функции:
$9 - x^2 = 0$
$(3 - x)(3 + x) = 0$
Нули функции: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна вне интервала между ними.
Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-3; 3)$, и $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-3; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

д) Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-1<0$).
Найдем нули функции:
$-x^2 + 2x = 0$
$-x(x - 2) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция положительна на интервале $(0; 2)$ и отрицательна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

е) Рассмотрим функцию $y = -2x^2 - 3x + 5$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-2<0$).
Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 - 3x + 5 = 0$ (или $2x^2 + 3x - 5 = 0$).
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
$x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Ветви параболы направлены вниз, значит функция положительна между корнями, то есть на интервале $(-2.5; 1)$, и отрицательна вне этого интервала.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-2.5; 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2.5) \cup (1; +\infty)$.

ж) Рассмотрим функцию $y = \frac{4}{x+3} + 1$. Это дробно-рациональная функция.
Область определения: знаменатель не равен нулю, $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Найдем нули функции:
$\frac{4}{x+3} + 1 = 0$
$\frac{4}{x+3} = -1$
$4 = -(x+3) \Rightarrow 4 = -x - 3 \Rightarrow x = -7$.
Точка разрыва $x=-3$ и нуль функции $x=-7$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -7)$, $(-7; -3)$ и $(-3; +\infty)$.
Приведем функцию к общему знаменателю для удобства: $y = \frac{4 + (x+3)}{x+3} = \frac{x+7}{x+3}$.
Определим знак функции на каждом интервале методом подстановки:
- При $x \in (-\infty; -7)$ (например, $x=-8$): $y = \frac{-8+7}{-8+3} = \frac{-1}{-5} > 0$.
- При $x \in (-7; -3)$ (например, $x=-4$): $y = \frac{-4+7}{-4+3} = \frac{3}{-1} < 0$.
- При $x \in (-3; +\infty)$ (например, $x=0$): $y = \frac{0+7}{0+3} = \frac{7}{3} > 0$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -7) \cup (-3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-7; -3)$.

з) Рассмотрим функцию $y = \frac{-2}{x-2} - 1$.
Область определения: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Найдем нули функции:
$\frac{-2}{x-2} - 1 = 0$
$\frac{-2}{x-2} = 1$
$-2 = x - 2 \Rightarrow x = 0$.
Точка разрыва $x=2$ и нуль функции $x=0$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Приведем к общему знаменателю: $y = \frac{-2 - (x-2)}{x-2} = \frac{-2 - x + 2}{x-2} = \frac{-x}{x-2}$.
Определим знак на интервалах:
- При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x=-1$): $y = \frac{-(-1)}{-1-2} = \frac{1}{-3} < 0$.
- При $x \in (0; 2)$ (например, $x=1$): $y = \frac{-1}{1-2} = \frac{-1}{-1} > 0$.
- При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$): $y = \frac{-3}{3-2} = \frac{-3}{1} < 0$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

и) Рассмотрим функцию $y = -|x - 2| + 2$.
Найдем нули функции:
$-|x - 2| + 2 = 0$
$|x - 2| = 2$
Это уравнение распадается на два:
1) $x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4$.
2) $x - 2 = -2 \Rightarrow x = 0$.
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.
График функции $y = -|x-2|+2$ — это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вправо, отраженный относительно оси Ox и смещенный на 2 единицы вверх. Вершина графика находится в точке $(2; 2)$. Так как "ветви" направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна за их пределами.
Проверим подстановкой:
- При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x=-1$): $y = -|-1-2|+2 = -3+2 = -1 < 0$.
- При $x \in (0; 4)$ (например, $x=2$): $y = -|2-2|+2 = 0+2 = 2 > 0$.
- При $x \in (4; +\infty)$ (например, $x=5$): $y = -|5-2|+2 = -3+2 = -1 < 0$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 4)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

1.50* Функция $y = \text{sgn} \, x$ (читается «сигнум икс» — знак числа $x$) определяется так: если $x > 0$, то $y = 1$; если $x = 0$, то $y = 0$; если $x < 0$, то $y = -1$. Определите промежутки монотонности, промежутки знакопостоянства функции:

a) $y = \text{sgn} \, x$;

б) $y = \text{sgn}(x^2 - 4)$;

в) $y = \text{sgn}(\lg x)$;

г) $y = \text{sgn} \frac{1}{x}$.

Функция $y = \text{sgn}(x)$ (сигнум) определяется знаком своего аргумента. Для любого выражения $u(x)$ функция $y = \text{sgn}(u(x))$ принимает значения:

Промежутки монотонности для данной ступенчатой функции — это промежутки, на которых она постоянна. Промежутки знакопостоянства — это промежутки, где функция сохраняет свой знак (положительна, отрицательна или равна нулю).

а) $y = \text{sgn}(x)$

Анализируем функцию непосредственно по её определению.

Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($y=1$), когда её аргумент $x > 0$, то есть на промежутке $(0, +\infty)$.
- Функция отрицательна ($y=-1$), когда её аргумент $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty, 0)$.
- Функция равна нулю, когда её аргумент $x = 0$.

Промежутки монотонности:
Функция является кусочно-постоянной.- На промежутке $(-\infty, 0)$ функция постоянна: $y = -1$.
- На промежутке $(0, +\infty)$ функция постоянна: $y = 1$.
Это и есть искомые промежутки монотонности.

Ответ: Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(0, +\infty)$, $y < 0$ на $(-\infty, 0)$. Промежутки монотонности (постоянства): $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

б) $y = \text{sgn}(x^2 - 4)$

Чтобы найти значения функции, сначала определим знак её аргумента $u(x) = x^2 - 4$.
- $u(x) > 0 \implies x^2 - 4 > 0 \implies x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
- $u(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = -2$ или $x = 2$.
- $u(x) < 0 \implies x^2 - 4 < 0 \implies -2 < x < 2 \implies x \in (-2, 2)$.

Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($y=1$) при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
- Функция отрицательна ($y=-1$) при $x \in (-2, 2)$.
- Функция равна нулю в точках $x = -2$ и $x = 2$.

Промежутки монотонности:
Функция постоянна на каждом из интервалов, где знак её аргумента не меняется.- На промежутке $(-\infty, -2)$ функция постоянна: $y = 1$.
- На промежутке $(-2, 2)$ функция постоянна: $y = -1$.
- На промежутке $(2, +\infty)$ функция постоянна: $y = 1$.

Ответ: Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, $y < 0$ на $(-2, 2)$. Промежутки монотонности (постоянства): $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, +\infty)$.

в) $y = \text{sgn}(\lg x)$

Область определения функции задается условием $x > 0$. Определим знак аргумента $u(x) = \lg x$.
- $u(x) > 0 \implies \lg x > 0 \implies x > 10^0 \implies x > 1$, то есть $x \in (1, +\infty)$.
- $u(x) = 0 \implies \lg x = 0 \implies x = 1$.
- $u(x) < 0 \implies \lg x < 0 \implies 0 < x < 1$, то есть $x \in (0, 1)$.

Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($y=1$) при $x \in (1, +\infty)$.
- Функция отрицательна ($y=-1$) при $x \in (0, 1)$.
- Функция равна нулю в точке $x = 1$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(0, 1)$ функция постоянна: $y = -1$.
- На промежутке $(1, +\infty)$ функция постоянна: $y = 1$.

Ответ: Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(1, +\infty)$, $y < 0$ на $(0, 1)$. Промежутки монотонности (постоянства): $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

г) $y = \text{sgn}\left(\frac{1}{x}\right)$

Область определения функции: $x \neq 0$. Определим знак аргумента $u(x) = \frac{1}{x}$.
- $u(x) > 0 \implies \frac{1}{x} > 0 \implies x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.
- $u(x) < 0 \implies \frac{1}{x} < 0 \implies x < 0$, то есть $x \in (-\infty, 0)$.
- Аргумент $u(x) = \frac{1}{x}$ никогда не равен нулю, следовательно, и функция $y$ никогда не равна нулю.

Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($y=1$) при $x \in (0, +\infty)$.
- Функция отрицательна ($y=-1$) при $x \in (-\infty, 0)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty, 0)$ функция постоянна: $y = -1$.
- На промежутке $(0, +\infty)$ функция постоянна: $y = 1$.

Ответ: Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(0, +\infty)$, $y < 0$ на $(-\infty, 0)$. Промежутки монотонности (постоянства): $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

1.51 При каких значениях $b$ и $c$ функция $y = x^2 + bx + c$ принимает отрицательные значения только при $x \in (-4; -2)$?

Заданная функция $y = x^2 + bx + c$ является квадратичной. График этой функции — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Условие, что функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) только на интервале $x \in (-4; -2)$, означает, что парабола пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точках $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$. Эти точки являются корнями квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$. Между этими корнями значения функции отрицательны, а в самих точках $x_1$ и $x_2$ и за их пределами — неотрицательны, что полностью соответствует условию задачи.

Для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = b$ и $q = c$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -4 + (-2) = -6$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -b$. Отсюда получаем:

$-b = -6$

$b = 6$

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-2) = 8$

По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c$. Отсюда получаем:

$c = 8$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $b = 6$ и $c = 8$.

Ответ: $b = 6, c = 8$.