Страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.37° Пусть функция $y = f(x)$ определена на промежутке $X$. В каком случае её называют: возрастающей, убывающей, строго монотонной на промежутке $X$?

возрастающей

Функцию $y = f(x)$ называют возрастающей (или, более точно, неубывающей) на промежутке X, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$.

Иными словами, большему значению аргумента из промежутка X соответствует не меньшее значение функции. Значения функции могут оставаться одинаковыми на некоторых участках.

Ответ: Функцию называют возрастающей на промежутке X, если для любых $x_1, x_2 \in X$ из условия $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) \le f(x_2)$.

убывающей

Функцию $y = f(x)$ называют убывающей (или, более точно, невозрастающей) на промежутке X, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \ge f(x_2)$.

Иными словами, большему значению аргумента из промежутка X соответствует не большее значение функции. Значения функции могут оставаться одинаковыми на некоторых участках.

Ответ: Функцию называют убывающей на промежутке X, если для любых $x_1, x_2 \in X$ из условия $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) \ge f(x_2)$.

строго монотонной

Функцию $y = f(x)$ называют строго монотонной на промежутке X, если она является либо строго возрастающей, либо строго убывающей на этом промежутке. В отличие от просто возрастающей или убывающей функции, для строго монотонной функции равенство значений в разных точках исключено.

Строго возрастающая функция: для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка X, таких что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) < f(x_2)$. То есть, большему значению аргумента соответствует строго большее значение функции.

Строго убывающая функция: для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка X, таких что $x_1 < x_2$, выполняется строгое неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. То есть, большему значению аргумента соответствует строго меньшее значение функции.

Ответ: Функцию называют строго монотонной на промежутке X, если она на этом промежутке либо строго возрастает (для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) < f(x_2)$), либо строго убывает (для любых $x_1, x_2 \in X$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется $f(x_1) > f(x_2)$).

1.38* Пусть функция $y = f(x)$ определена на промежутке $X$. В каком случае её называют: неубывающей, невозрастающей, монотонной на промежутке $X$?

Пусть дана функция $y = f(x)$, определенная на некотором промежутке $X$.

неубывающей

Функцию $y = f(x)$ называют неубывающей на промежутке $X$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \le f(x_2)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует не меньшее значение функции. График такой функции при движении слева направо никогда не идет вниз, он может идти вверх или горизонтально.

Ответ: функцию называют неубывающей на промежутке $X$, если для любых $x_1, x_2 \in X$ из условия $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) \le f(x_2)$.

невозрастающей

Функцию $y = f(x)$ называют невозрастающей на промежутке $X$, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) \ge f(x_2)$. Другими словами, большему значению аргумента соответствует не большее значение функции. График такой функции при движении слева направо никогда не идет вверх, он может идти вниз или горизонтально.

Ответ: функцию называют невозрастающей на промежутке $X$, если для любых $x_1, x_2 \in X$ из условия $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) \ge f(x_2)$.

монотонной

Функцию $y = f(x)$ называют монотонной на промежутке $X$, если на этом промежутке она является либо неубывающей, либо невозрастающей. То есть, на всем промежутке $X$ функция либо сохраняет направление изменения (не убывает), либо сохраняет его в противоположную сторону (не возрастает). Монотонные функции — это обобщающее название для неубывающих и невозрастающих функций.

Ответ: функцию называют монотонной на промежутке $X$, если она является на этом промежутке неубывающей или невозрастающей.

1.39 a) Докажите, что сумма возрастающих на промежутке $X$ функций является функцией, также возрастающей на $X$.

б) Докажите, что сумма убывающих на промежутке $X$ функций является функцией, также убывающей на $X$.

а)

Докажем, что сумма возрастающих на промежутке X функций является функцией, также возрастающей на X.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ являются возрастающими на некотором промежутке X. По определению возрастающей функции, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка X, таких что $x_1 < x_2$, выполняются следующие неравенства:
$f(x_1) < f(x_2)$
$g(x_1) < g(x_2)$

Рассмотрим сумму этих функций, которую обозначим как $h(x) = f(x) + g(x)$. Нам необходимо доказать, что функция $h(x)$ также является возрастающей на промежутке X. Для этого нужно показать, что для любых $x_1, x_2 \in X$ при условии $x_1 < x_2$ будет выполняться неравенство $h(x_1) < h(x_2)$.

Возьмем два неравенства, которые верны по определению возрастающих функций $f(x)$ и $g(x)$:
$f(x_1) < f(x_2)$
$g(x_1) < g(x_2)$

Сложим эти два неравенства одного знака почленно. Согласно свойству числовых неравенств, при сложении двух верных неравенств одного знака получается верное неравенство того же знака:
$f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)$

Поскольку $h(x) = f(x) + g(x)$, мы можем переписать полученное неравенство в виде:
$h(x_1) < h(x_2)$

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка X выполняется $h(x_1) < h(x_2)$, это по определению означает, что функция $h(x)$ является возрастающей на промежутке X.
Ответ: Утверждение доказано.

б)

Докажем, что сумма убывающих на промежутке X функций является функцией, также убывающей на X.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ являются убывающими на некотором промежутке X. По определению убывающей функции, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка X, таких что $x_1 < x_2$, выполняются следующие неравенства:
$f(x_1) > f(x_2)$
$g(x_1) > g(x_2)$

Рассмотрим сумму этих функций, которую обозначим как $h(x) = f(x) + g(x)$. Нам необходимо доказать, что функция $h(x)$ также является убывающей на промежутке X. Для этого нужно показать, что для любых $x_1, x_2 \in X$ при условии $x_1 < x_2$ будет выполняться неравенство $h(x_1) > h(x_2)$.

Возьмем два неравенства, которые верны по определению убывающих функций $f(x)$ и $g(x)$:
$f(x_1) > f(x_2)$
$g(x_1) > g(x_2)$

Сложим эти два неравенства одного знака почленно:
$f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2)$

Поскольку $h(x) = f(x) + g(x)$, мы можем переписать полученное неравенство в виде:
$h(x_1) > h(x_2)$

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка X выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, это по определению означает, что функция $h(x)$ является убывающей на промежутке X.
Ответ: Утверждение доказано.

1.40* а) Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на промежутке $X$ и возрастает на нём, то для любой пары чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$ из справедливости неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ следует справедливость неравенства $x_1 > x_2$.

б) Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на промежутке $X$ и убывает на нём, то для любой пары чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка $X$ из справедливости неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ следует справедливость неравенства $x_1 < x_2$.

в) Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена и строго монотонна на промежутке $X$, то для любой пары чисел $x_1$ и $x_2$ из $X$ из справедливости равенства $f(x_1) = f(x_2)$ следует справедливость равенства $x_1 = x_2$.

а) Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на промежутке X и возрастает на нём, то для любой пары чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка X из справедливости неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ следует справедливость неравенства $x_1 > x_2$.

Доказательство.
Для доказательства воспользуемся методом от противного. Пусть даны условия задачи: функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, и для некоторых $x_1, x_2 \in X$ выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Предположим, что заключение неверно, то есть $x_1 \le x_2$. Это предположение разбивается на два возможных случая:

1. $x_1 = x_2$. Если аргументы равны, то и значения функции в этих точках должны быть равны: $f(x_1) = f(x_2)$. Это прямо противоречит исходному условию $f(x_1) > f(x_2)$. Следовательно, этот случай невозможен.

2. $x_1 < x_2$. По определению, возрастающая функция (в данном контексте — строго возрастающая) — это функция, у которой большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, из $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Это также противоречит исходному условию $f(x_1) > f(x_2)$. Следовательно, и этот случай невозможен.

Поскольку оба случая, вытекающие из нашего предположения $x_1 \le x_2$, приводят к противоречию, само предположение является ложным. Это означает, что единственно верным является неравенство $x_1 > x_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Для возрастающей на промежутке $X$ функции $f(x)$ из неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ следует неравенство $x_1 > x_2$.

б) Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на промежутке X и убывает на нём, то для любой пары чисел $x_1$ и $x_2$ из промежутка X из справедливости неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ следует справедливость неравенства $x_1 < x_2$.

Доказательство.
Снова используем метод доказательства от противного. Пусть функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$, и для некоторых $x_1, x_2 \in X$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$.

Предположим, что заключение неверно, то есть $x_1 \ge x_2$. Это предположение также рассмотрим в двух случаях:

1. $x_1 = x_2$. В этом случае значения функции должны быть равны: $f(x_1) = f(x_2)$. Это противоречит условию $f(x_1) > f(x_2)$. Значит, этот случай невозможен.

2. $x_1 > x_2$. По определению, убывающая функция (в данном контексте — строго убывающая) — это функция, у которой большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, из $x_1 > x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$. Это снова противоречит исходному условию $f(x_1) > f(x_2)$. Значит, и этот случай невозможен.

Так как оба варианта, следующие из предположения $x_1 \ge x_2$, привели к противоречию, наше предположение неверно. Следовательно, верным является неравенство $x_1 < x_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Для убывающей на промежутке $X$ функции $f(x)$ из неравенства $f(x_1) > f(x_2)$ следует неравенство $x_1 < x_2$.

в) Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена и строго монотонна на промежутке X, то для любой пары чисел $x_1$ и $x_2$ из X из справедливости равенства $f(x_1) = f(x_2)$ следует справедливость равенства $x_1 = x_2$.

Доказательство.
Применим метод от противного. Пусть функция $y = f(x)$ строго монотонна на промежутке $X$ и для $x_1, x_2 \in X$ выполняется равенство $f(x_1) = f(x_2)$.

Предположим, что заключение неверно, то есть $x_1 \ne x_2$. Это означает, что либо $x_1 > x_2$, либо $x_1 < x_2$.

Строго монотонная функция является либо строго возрастающей, либо строго убывающей. Рассмотрим оба этих варианта:

1. Функция $f(x)$ является строго возрастающей.
- Если $x_1 > x_2$, то по определению строго возрастающей функции $f(x_1) > f(x_2)$. Это противоречит условию $f(x_1) = f(x_2)$.
- Если $x_1 < x_2$, то по определению строго возрастающей функции $f(x_1) < f(x_2)$. Это также противоречит условию $f(x_1) = f(x_2)$.

2. Функция $f(x)$ является строго убывающей.
- Если $x_1 > x_2$, то по определению строго убывающей функции $f(x_1) < f(x_2)$. Это противоречит условию $f(x_1) = f(x_2)$.
- Если $x_1 < x_2$, то по определению строго убывающей функции $f(x_1) > f(x_2)$. Это также противоречит условию $f(x_1) = f(x_2)$.

Во всех возможных случаях предположение $x_1 \ne x_2$ приводит к противоречию с условием $f(x_1) = f(x_2)$. Следовательно, наше предположение ложно, и должно выполняться равенство $x_1 = x_2$.

Ответ: Утверждение доказано. Если функция $f(x)$ строго монотонна на промежутке $X$, то она каждое своё значение принимает только один раз, то есть из $f(x_1) = f(x_2)$ следует $x_1 = x_2$.

1.41 Докажите, что функция $y = |x|$ на промежутке:

a) $[0; +\infty)$ возрастает;

б) $(-\infty; 0]$ убывает.

Для решения этой задачи мы воспользуемся определением возрастающей и убывающей функции, а также определением модуля (абсолютной величины) числа.
Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Функция $y = f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Функция $y = |x|$ по определению модуля равна: $|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

а)

Докажем, что функция $y = |x|$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
На этом промежутке $x \ge 0$, поэтому, согласно определению модуля, функция принимает вид $y = x$.
Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.
Поскольку $x_1, x_2 \in [0; +\infty)$, имеем $0 \le x_1 < x_2$.
Найдем значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = |x_1| = x_1$
$y_2 = f(x_2) = |x_2| = x_2$
Так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, то из этого следует, что $y_1 < y_2$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, что по определению означает, что функция является возрастающей на данном промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем, что функция $y = |x|$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
На этом промежутке $x \le 0$, поэтому, согласно определению модуля, функция принимает вид $y = -x$.
Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ так, чтобы $x_1 < x_2$.
Поскольку $x_1, x_2 \in (-\infty; 0]$, имеем $x_1 < x_2 \le 0$.
Найдем значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = |x_1| = -x_1$
$y_2 = f(x_2) = |x_2| = -x_2$
Рассмотрим исходное неравенство $x_1 < x_2$. Умножим обе его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:
$-x_1 > -x_2$
Следовательно, $y_1 > y_2$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, что по определению означает, что функция является убывающей на данном промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.

1.42 Докажите, что функция $y = x^2 - 2x$ на промежутке:

а) $[1;+\infty)$ возрастает;

б) $(-\infty; 1]$ убывает.

Для доказательства воспользуемся определением возрастающей и убывающей функции. Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Функция называется убывающей, если при $x_2 > x_1$ выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Для анализа характера монотонности функции $y = x^2 - 2x$ исследуем знак разности $y(x_2) - y(x_1)$.

$y(x_2) - y(x_1) = (x_2^2 - 2x_2) - (x_1^2 - 2x_1) = x_2^2 - x_1^2 - 2x_2 + 2x_1$

Преобразуем выражение, сгруппировав слагаемые и разложив на множители:

$(x_2^2 - x_1^2) - (2x_2 - 2x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$

Теперь исследуем знак этого выражения на заданных промежутках.

Докажем, что функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

Из принадлежности точек промежутку $[1; +\infty)$ следует, что $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$.

Оценим знак каждого множителя в выражении $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$:

1. Множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен, так как по нашему выбору $x_2 > x_1$.

2. Оценим второй множитель: так как $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$, то их сумма $x_1 + x_2 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, разность $(x_2 + x_1 - 2)$ также положительна.

Произведение двух положительных выражений является положительным числом:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2) > 0$

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что равносильно $y(x_2) > y(x_1)$.

Согласно определению, это доказывает, что функция $y = x^2 - 2x$ возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

Докажем, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

Из принадлежности точек промежутку $(-\infty; 1]$ следует, что $x_2 \le 1$ и $x_1 < 1$.

Оценим знак каждого множителя в выражении $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$:

1. Множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен, так как по нашему выбору $x_2 > x_1$.

2. Оценим второй множитель: так как $x_1 < 1$ и $x_2 \le 1$, то их сумма $x_1 + x_2 < 1 + 1 = 2$. Следовательно, разность $(x_2 + x_1 - 2)$ отрицательна.

Произведение положительного и отрицательного выражений является отрицательным числом:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2) < 0$

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что равносильно $y(x_2) < y(x_1)$.

Согласно определению, это доказывает, что функция $y = x^2 - 2x$ убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

Ответ: Утверждение доказано.

1.43 Докажите, что функция $y = -x^2 + 4x$ на промежутке:

а) $[2; +\infty)$ убывает;

б) $(-\infty; 2]$ возрастает.

а) Докажем, что функция $y = -x^2 + 4x$ убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

Функция является убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем произвольные числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[2; +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $2 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$y(x_2) - y(x_1) = (-x_2^2 + 4x_2) - (-x_1^2 + 4x_1) = x_1^2 - x_2^2 + 4x_2 - 4x_1$

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:

$(x_1^2 - x_2^2) - (4x_1 - 4x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$

Оценим знак полученного выражения, определив знак каждого множителя:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ отрицательна: $x_1 - x_2 < 0$.
2. Так как $x_1 \ge 2$ и $x_2 > 2$, то их сумма $x_1 + x_2 > 2 + 2 = 4$. Следовательно, разность $(x_1 + x_2 - 4)$ положительна: $x_1 + x_2 - 4 > 0$.

Произведение отрицательного и положительного множителей дает отрицательный результат, поэтому:

$y(x_2) - y(x_1) < 0$

Это неравенство равносильно $y(x_2) < y(x_1)$, или $y(x_1) > y(x_2)$.

Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[2; +\infty)$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, функция является убывающей на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что функция $y = -x^2 + 4x$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.

Функция является возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

Возьмем произвольные числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 2$.

Воспользуемся преобразованной в пункте а) разностью значений функции:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$

Оценим знак этого выражения для данного промежутка, определив знак каждого множителя:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ отрицательна: $x_1 - x_2 < 0$.
2. Так как $x_1 < 2$ и $x_2 \le 2$, то их сумма $x_1 + x_2 < 2 + 2 = 4$. Следовательно, разность $(x_1 + x_2 - 4)$ отрицательна: $x_1 + x_2 - 4 < 0$.

Произведение двух отрицательных множителей дает положительный результат, поэтому:

$y(x_2) - y(x_1) > 0$

Это неравенство равносильно $y(x_2) > y(x_1)$, или $y(x_1) < y(x_2)$.

Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, функция является возрастающей на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

1.44 При каких значениях $k$ функция $y = kx + b$ является:

а) возрастающей;

б) убывающей?

Функция $y = kx + b$ является линейной функцией. Её монотонность, то есть возрастание или убывание, зависит от знака углового коэффициента $k$.

По определению, функция $y(x)$ называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) > y(x_1)$. Аналогично, функция называется убывающей, если при $x_2 > x_1$ выполняется неравенство $y(x_2) < y(x_1)$.

Рассмотрим два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$, для которых $x_2 > x_1$.

Значения функции в этих точках равны:

$y_1 = kx_1 + b$

$y_2 = kx_2 + b$

Вычислим разность $y_2 - y_1$:

$y_2 - y_1 = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = kx_2 + b - kx_1 - b = k(x_2 - x_1)$

Так как мы изначально взяли $x_2 > x_1$, то разность $(x_2 - x_1)$ всегда будет положительным числом. Это означает, что знак разности $y_2 - y_1$ полностью определяется знаком коэффициента $k$.

а) возрастающей;

Для того чтобы функция была возрастающей, необходимо, чтобы выполнялось условие $y_2 > y_1$, что эквивалентно $y_2 - y_1 > 0$.

Подставим наше выражение для разности:

$k(x_2 - x_1) > 0$

Поскольку $(x_2 - x_1) > 0$, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы коэффициент $k$ был положителен.

Ответ: $k > 0$.

б) убывающей?

Для того чтобы функция была убывающей, необходимо, чтобы выполнялось условие $y_2 < y_1$, что эквивалентно $y_2 - y_1 < 0$.

Подставим наше выражение для разности:

$k(x_2 - x_1) < 0$

Поскольку $(x_2 - x_1) > 0$, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы коэффициент $k$ был отрицателен.

Ответ: $k < 0$.

1.45 При каких значениях $a$ функция $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ является:

a) возрастающей на промежутке $[x_0; +\infty);$

б) убывающей на промежутке $[x_0; +\infty);$

в) возрастающей на промежутке $(-\infty; x_0];$

г) убывающей на промежутке $(-\infty; x_0]$?

Данная функция $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ является квадратичной. Её график — это парабола с вершиной в точке с координатами $(x_0, y_0)$. Поведение функции, в частности её возрастание и убывание, полностью определяется знаком коэффициента $a$. Осью симметрии параболы является прямая $x = x_0$, и именно в вершине параболы происходит смена характера монотонности.

Проанализируем поведение функции в зависимости от знака $a$:

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. В этом случае точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума. Функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, +\infty)$.
• Если $a = 0$, функция становится постоянной: $y = y_0$. Такая функция не является ни строго возрастающей, ни строго убывающей. Поскольку в задаче используются термины "возрастающая" и "убывающая", которые подразумевают строгую монотонность, мы полагаем, что $a \neq 0$.

На основе этого анализа дадим ответы на каждый пункт задачи.

а) возрастающей на промежутке $[x_0; +\infty)$

Функция является возрастающей на промежутке справа от вершины параболы. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вверх, а вершина является точкой минимума. Такое поведение функции обеспечивается при положительном значении коэффициента $a$.

Ответ: $a > 0$.

б) убывающей на промежутке $[x_0; +\infty)$

Функция является убывающей на промежутке справа от вершины параболы. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вниз, а вершина является точкой максимума. Такое поведение функции обеспечивается при отрицательном значении коэффициента $a$.

Ответ: $a < 0$.

в) возрастающей на промежутке $(-\infty; x_0]$

Функция является возрастающей на промежутке слева от вершины параболы. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вниз. При приближении к вершине (точке максимума) слева значения функции увеличиваются. Это происходит при отрицательном значении коэффициента $a$.

Ответ: $a < 0$.

г) убывающей на промежутке $(-\infty; x_0]$

Функция является убывающей на промежутке слева от вершины параболы. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вверх. При приближении к вершине (точке минимума) слева значения функции уменьшаются. Это происходит при положительном значении коэффициента $a$.

Ответ: $a > 0$.